数值计算法方法实验指导书

1、数值计算法方法实验指导书实验一 插值法3实验二 曲线拟合的最小二乘法6实验三 矩阵的特征值和特征向量9实验四 数值积分12实验一 插值法一、 实验目的1掌握拉格朗日插值、牛顿插值、分段低次插值和样条插值的方法。2对四种插值结果进行初步分析。二、 实验内容插值问题的提法是： 给定函数在中互异个点的函数值或求函数使其在处与相等。称为的插值函数，为插值区间，为插直节点，为被插函数。1 拉格朗日插值插值基函数：为次多项式插值基函数的性质：（1） （2）（2）为插值节点唯一确定的次多项式。（3）拉格朗日插值所包含基函数个数与插值节点个数相同。 2 牛顿插值线性插值可用插商形式表示为由差商的定义知 将上式

2、依次代入得： 取 所以 且 3 分段低次插值给定函数在中互异个点的函数值，若要求的近似函数，可求一分段函数，使其在每一小区间上为线性插值函数，即 称为分段线性插值，即用折线代替曲线。4 样条插值区间的一个划分 上函数满足：（1）在为次多项式。（2）及其阶导数在区间连续，则为区间上对应于划分的次多项式样条，为样条节点，为内点，称为外点。三、实验任务1 已知函数满足： 0.0 0.1 0.195 0.3 0.401 0.5 0.39894 0.39695 0.39142 0.38138 0.36812 0.35206（1） 用分段线性插值；（2） 分段二次插值；（3） 拉格朗日插值。2 已知 x

3、2 4 6 8 y 1 3 5 7 构造差商表，求牛顿差值函数。四、实验报告 实验报告应包括以下内容： （1）题目；（2）写出算法设计思想； （3）程序清单；（4）运行的结果；（5）所得图形；（6）四种插值的比较；（7）对运行情况所作的分析以及本次调试程序所取的经验。如果程序未通过，应分析其原因。实验二 曲线拟合的最小二乘法一、实验目的1了解最小二乘法的定义。2掌握求解最小二乘法的方法。二、实验内容1多项式拟合 设已知点 。求次多项式来拟合函数 设，求使 最小 所以 即 得线性方程组： 2指数拟合对已知点在坐标纸上描点，若近似于一条指数曲线，则考虑用指数函数来拟合数据，即求使 最小，由于是非线

4、性方程，求解复杂。 又因为 所以为直线可用一次多项式拟合求出。 3线性最小二乘法的一般形式 设已知点。取线性无关基函数 构造 使 为加权系数 求驻点 即 令 三、实验任务1试用最小二乘法求形如的多项式，使以下列数据拟合 x 19 25 31 38 44 y 19.0 32.4 49.1 73.3 97.52用最小二乘法求形如的经验公式，使其与数据 x 1 2 3 4 y 2.5 3.4 4.1 4.4 相拟合。（计算取4位小数）。四、实验报告 实验报告应包括以下内容： （1）题目；（2）写出算法设计思想； （3）程序清单；（4）运行的结果；（5）所得图形；（6）对运行情况所作的分析以及本次调试

5、程序所取的经验。如果程序未通过，应分析其原因。实验三 矩阵的特征值和特征向量一、实验目的1掌握乘幂法、反幂法、雅可比方法和QR方法。2分析、比较四中求解矩阵特征值和特征向量的方法。二、实验内容1乘幂法 设阶实矩阵有完备的特征向量系，既有个线性无关的特征向量。设是矩阵的个线性无关的特征向量，且，其中是的特征值。假设，先讨论是实数且是单根的情形，此时有。设是任意的一个非零向量，则可以唯一地表示为： 令 则有 ， 设，由于得 ， 于是 所以只要充分大，就有 因此可以将作为与相应的特征向量的近似。由于 所以，其中表示的第个分量。 用这种方法计算矩阵的按模最大的特征值与相应的特征向量的方法就是乘幂法。2

6、反幂法 设有阶非奇异矩阵，其特征值与相应的特征向量分别是和，由定义。因为可逆，特征值军部为令，所以：。这说明一定是的特征值，它所对应的特征向量仍是。如果的特征值为如下情况： 则一定是的主特征值。所以，对采用乘幂法即可求得，从而得到按模最小的特征值，具体计算步骤为： 第一步：任取； 第二步：计算；第三步：如果从某时以后有（常数）；而就是与对应的特征向量。 由于这里采用的是对采用乘幂法，故称为反幂法。3 雅可比方法雅可比方法的基本思想是通过一次正交变幻，将中一对非零的对角元素化成零，并且使得非对角元素的平房和减小。反复进行上述过程，使得变换后的矩阵的非对角元素的平方和趋于零，从而使该矩阵近似为对角

7、矩阵，得到全部的特征值和特征向量。4 QR方法 因为任一非奇异矩阵都可以分解成一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积，而且当R的对角元符号取定时，分解是唯一的。基本QR方法的基本思想是利用矩阵的QR分解，通过迭代格式 将化成相似的上三角阵（或分块上三角矩阵），从而求出矩阵的全部特征值和特征向量。三、实验任务 1用乘幂法求矩阵 的按模最大的特征值及相应的特征向量，取，要求至少迭代6次。 2用反幂法计算矩阵 相应于特征值1.2679的特征向量。四、实验报告 实验报告应包括以下内容： （1）题目；（2）写出算法设计思想； （3）程序清单；（4）运行的结果；（5）所得图形；（6）对运行情况所作的分析以

8、及本次调试程序所取的经验。如果程序未通过，应分析其原因。实验四 数值积分一、实验目的 1掌握几种数值积分方法。 2掌握几种数值求导方法。二、实验内容1 牛顿-科特斯求积公式在区间上取个等距节点 ，其中，做次拉格朗日插值多项式，因为所以 记 截去第二项 显然与无关，只与节点有关。令，则当时，于是而 从而得 记 则 故求积公式为 上式称为牛顿-科特斯公式，称为科特斯系数。2 复化求积公式（1） 复化梯形公式将区间等分成个子区间，在每个区间上用梯形公式 相加后得复化梯形公式 其中。右端记为。当时， 即收敛于。（2） 复化辛浦生公式将区间等分成个子区间，每个子区间的中点为，子区间长度为，在每个区间上用辛浦生公式 相加后得复化辛浦生公式 其中。（3） 复化柯特斯求积公式 其中，。3 龙贝格求积算法将式 用与作线性组合会得到比更精确的值，且通过直接验证可得 再由式 用与作线性组合，又会得到比更精确的值，通常记为，即 上式称为龙贝格求积公式。4 高斯型求积公式把具有个节点的具有次代数精度的插值型求积公式 称为高斯型求积公式，节点称为高斯点，称为高斯系数。三、实验任务1 用梯形公式和辛浦生公式计算积分，并估计误差。（计算取5位