含节理单元-三维P型自适应有限元解法

1、含节理单元-三维P型自适应有限元解法            摘要：本文提出了含三维无厚度节理单元、等厚度节理单元和变厚度节理单元的p型自适应有限元模型，给出了三维节理单元升阶谱有限元法的解题步骤，通过具体算例，验证了p型升阶谱有限元法在求解含三维节理单元的有限元问题时的可行性及优越性。 关键词：节理单元 升阶谱有限元 p型有限元     有限元法是求解微分方程数值解的一种重要方法，对于一个给定的问题，为改善其有限元解的精度，可以采用以下

2、3种方法。(1)h型有限元法1，这种方法通过减小单元尺寸来提高有限元解的精度。(2)p型有限元法2，这种方法通过增加基底函数的阶次来提高有限元解的精度。(3)hp型有限元法3，这种方法是以上两种方法的综合，它既减小单元尺寸，又增加基底函数的阶次。作者所在的研究小组从1995年开始研究水工结构的h型弹粘塑性有限单元方法，目前已建立了实用的二维分析软件体系4,5，并在三维分析方面取得了进展6。从1999年开始，在水工结构的p型自适应分析方面也有所突破，1999年，程昭7等人针对水工结构分析问题提出了三维升阶谱有限元分析方法。2001年，陈胜宏8等人进一步提出了二维问题的p型自适应分析策略，并将自适

3、应有限元方法归类为全域升阶方法、单元升阶方法和自由度升阶方法等三类。之后，费文平9等人将p型自适应有限元分析方法推广到三维弹粘塑性领域。但是，以上有关p型有限元的研究成果中均未涉及到断层、节理这一类特殊单元。    大坝坝基、坝肩和岩石高边坡等部位总是存在断层、节理和软弱夹层等大规模的不连续面，且对结构的变形和稳定影响巨大，故在有限元分析中应给予高度的重视。古德曼(Goodman)最初运用有限元技术模拟岩体工程中的非线性不连续面问题，并提出了无厚度的节理元的概念10。随后，朱伯芳于1979年提出了等厚度节理元模型，并将其与无厚度节理元模型形成统一的计算公式11，在

4、此基础上，王鸿儒等人提出了变厚度的节理单元的弹塑性模型并将其应用到工程实践中12。目前，国内外在有关p型自适应有限元分析的研究中，尚未涉及到这类特殊单元的处理问题，从而使研究成果的工程应用受到一定程度的限制。    对于常规块体单元的三维p型有限元模型，作者在文献9中已有详尽的论述，本文主要给出三维无厚度节理单元、等厚度节理单元和变厚度节理单元的p型有限元模型，并给了升阶谱的计算格式。实例分析结果表明，用p型有限元法来求解含三维节理单元的有限元问题具有收敛速度快、计算精度高的优点。    2007-04-23 &#

5、160;      (1)式中：。    棱基函数(p2)(2)    面基函数(p4)而(4)(6)    同理可以写出V下，V上，W下，W上及v，w的具体表达式。    将基函数Ni,pEi,pF统一记为i，位移差(uN,i+4-uNi)，(uE,i+4-uEi),(uF2-uF1)统一记为广义结点位移差ui，设单元基底函数个数为fe(p)，上式简化为,(7)1.3  坐标插值及坐标变换  对

6、于节理上、下面坐标的插值仍采用各面上的四个节点进行插值，即(9)式中：(xi,yi,zi)i=18为节理间面体单元8个顶点的整体坐标。    定义整体坐标系的x轴朝北，y轴朝西，z轴朝上，定义等厚度的节理单元或无厚度的节理的局部坐标系的z为中面的法线朝上方向，y指向节理面的倾向，x轴由右手法则确定，并设等厚度节理的倾角为，倾向为。    三维等厚节理或无厚节理单元局部坐标与整体坐标的转换矩阵为(11)；单元应变矩阵B'LB1/eLNp根据虚功原理，单元刚度矩阵为(14)(17)(19)式中：i,j2，i+j=p。 &

7、#160;  体基函数(p6)：(21)    将基底函数Ni,pEi,pFi,pB统一记为i，位移uNi,uEi,uFi,uB统一记为广义结点位移ui，设单元基底函数的个数为fe(p)，上式简化为。此处i=Ni(i=1,2 ,8),(xi,yi,zi)为立方体单元的8个顶点坐标。参见图2，取局部坐标系的xoy平面与变厚度六面体单元的中面重合，z轴垂直于中面。根据变厚度节理单元8个实结点的整体坐标，可按如下方法建立坐标转换矩阵及局部坐标系。    先求出变厚度六面体单元中面法向向量nx,y,z，其中x(y2+y6-y1-y5

8、)(z3+z7-z1-z5)-(z2+z6-z1-z5）（y3+y7-y1-y5),y(z2+z6-z1-z5)(x3+x7-x1-x5)-(x2+x6-x1-x5)(z3+z7-z1-z5)，z(x2+x6-x1-x5)(y3+y7-y1-y5)-（y2+y6-y1-y5)(x3+x7-x1-x5)。    转换矩阵L的形成，  令,(23)    向量l2 m2 n2T可根据右手法则，由向量l    2007-04-23     &

9、#160;  1 m1 n1T和l3 m3 n3T确定，即l2=m3n1-m1n3,m2=n3l1-n1l3,n2=l3m1-l1m3 (24)2.4  三维变厚度节理的单元刚度矩阵  变厚度节理单元的单元应变和应力分别为(26)    变厚度节理单元的单元刚度矩阵为(28)3  含节理单元的三维p型自适应有限元算法3.1  控制方程与离散  根据实际情况分类进行单元的网格剖分，形成三种特殊单元及常规块体单元的单元刚度矩阵，并组合成总体刚度矩阵。形成荷载列向量，即(31)总能范数为&#

10、160; (i=1,2,Ne)(33)    若i>1，则将该单元进行升阶，误差估计结束后，重新进行弹粘塑性的有限元分析，如此反复，直到所有的单元均满足精度要求。    4  算 例4.1  算例1  为验证含节理单元的三维p型自适应有限元理论及程序的可行性和优越性，考察具有代表性的三维变厚度节理单元，取如图3所示的计算试件，对程序进行考核，单元及结点编号如图3。其中，单元、为块体单元，单元为变厚度节理单元，试件尺寸1m×1m×2m试件顶部作用一面力荷载-10.MPa，

11、底部4结点固定结束，相对控制误差取3.0%，材料参数见表2。同时，将该试件进行网格细分，得到如图4所示的计算试件细分网格模型，进行常规有限元计算，并将p型有限元和各阶计算结果与细网格的常规有限元计算结点位移值进行比较，见表3。计算结果表明，在p=4时，p型有限单元法达到要求的计算精度，随着阶次的逐步升高，p型有限元的计算结果与细网格的常规有限元计算结果越来越接近，在p=4    2007-04-23        时两种有限单元法的计算结果相差甚微。这说明，p型有限元单元法在

12、处理三维节理单元时是切实可行的。 同时可以看出，与常规有限元法相比，p型有限单元法对网格划分的要求很低，用较少的单元数就能同等效果地模拟较复杂的常规有限单元网格，且具有很快的收敛速度。 表4  材料参数参数岩基坝体变厚度节理等厚度节理无厚度节理容重/(MN/m3)弹模/GPa泊松比凝聚力/MPa内摩擦角/(°)流动系数抗拉强力/MPa倾角/(°)倾向度/(°)法向刚度/(MN/m3)切向刚度/(MN/m3)0.026250.21.2451.00.2/0.024280.1671.6401.00.18/0.025240.21.0451.00.2/0

13、.025240.21.0450.10.233.69180/2.0451.00.201802510    以坝踵为坐标原点，x轴指向下游，z轴垂直向上，y轴由右手法则确定，两侧坝面无y向位移，坝基上下游面无x向位移，坝基底面无z向位移。假设坝基地应力场由坝基重力场产生，坝体一次浇筑完成，水库一次蓄满，下游无水，取相对控制误差能范为5.0%。计算结果表明，当p=3时，计算过程收敛，升阶过程的主要指标如表5所示。    整个升阶过程结束后的单元阶次分布图、屈服单元分布图、第一主应力、第三主应力、最大剪应力等值线图(单位：MPa)、位移矢量图

14、和等安全系数图分别见图6图12所示。    2007-04-23        5  结 论    (1)在求解含三维节理单元的有限元问题时，p型有限单元法是一种切实有效的方法，它具有很高的收敛速度。(2)用p型有限单元法对含三维节理单元的水工结构有限元问题进行自 适应分析时，不必对单元网格重新剖分加密，在整个计算过程中网格可以保持不变。(3)用p型有限单元法求解含三维节理单元的水工结构有限元问题时，用较为简单的网格就模拟常规有限单元法

15、中较为复杂的网格。(4)由于采用了升阶谱的单元模型，使得后一步的计算可以承袭前一步计算的结果，从而大大地减小了计算工作量。    参 考 文 献：1O C Zienkiewicz, D V Phillips. An automatic mesh generation scheme for plane and curved surface by isoparametric coordinatesJ. Int.J.Num. Meth. Eng.,1971,3:519-528.2O C Zieniewicz, J P DE, R. Gago，D. W. Kelly. The hierarchical concept in finite element analysisJ. Computers & structures,19