基于系统的可控性进行配置极点系统仿真

1、1 题目背景与目的意义现代控制理论是在引入状态空间概念的基础上发展起来的。 与经典控制理论 一样，现代控制系统中仍然主要采用反馈控制结构，但不同的是， 经典控制理论 中主要采用输出反馈， 而现代控制系统中主要采用内部状态反馈。 状态反馈可以 为系统控制提供更多的信息反馈， 状态反馈系统的稳定性和瞬态性能主要由系统 闭环极点决定的。 如果引入状态反馈将系统的极点配置在 s 左半平面的希望位置 上，则可以得到满意的系统特性。一个系统引入状态反馈可以任意配置极点的条件是原系统完全能控。 配置系 统的极点，就是确定矩阵 K,通过计算合适的矩阵K,将系统极点配置在s平面 上所希望的位置。2 设计题目介绍

2、以自动控制理论、 现代控制理论、 MATLAB 及应用等知识为基础， 基于系统 的可控性进行配置极点，目的是使学生在现有的控制理论的基础上，学会用 MATLAB 语言编写控制系统极点校正的设计与性能分析的程序，通过上机实习 加深对课堂所学知识的理解，掌握实现极点校正的设计的方法。1 在理论上对连续系统推导出可控的判定方法和计算公式2 生成可控性矩阵3 判别可控性矩阵的秩数（画出计算机实现算法的框图、编写程序并调试和 运行）4 实现极点配置5 以下面的系统为例，进行计算1 2 10A 1 1 0 ，B 0 ，c 1 1 1 。0 4 311）判定系统是否可任意配置极点；2）若指定其极点在 -3+

3、i， -3-i， -5 处，求状态反馈矩阵 K。6 秩数计算选主元精度为 ep=0.0017 程序应具有一定的通用性，对不同参数能有兼容性。3设计步骤3.1理论基础系统方程x Ax Bu, y Cx，其中x为n维状态向量，A为nxn系数方阵； B为nx 1矩阵；C为1x n输出矩阵。选择控制信号为：卩=-KX对系统进行极点配置，其中系统矩阵 A必须是方阵，输入矩阵B和系统矩 阵A的行数必须相同，指定闭环极点 P的数量必须和A的行数相同，且P的实 部应小于0,以及P中的复数应共轭。图1状态反馈闭环控制原理图?所以状态反馈系统方程为X (A BK)x Bv,y Cx如果系统状态完全可控，K选择适当

4、，对于任意的初始状态，当t趋于无穷时,都可以使x(t)趋于0,得到满意的系统特性。3.2状态反馈极点配置系统可通过状态变量反馈来任意配置其全部极点的充要条件是该系统为完全能控的，特征值为Ki，设定的闭环系统的n个所期望的极点是(K1 , K2 ,:Kn )，因此，对于一个完全能控的线性系统的极点配置问题，实际上转化为求解状态反馈矩阵K。3.3 极点配置算法实现单输入系统极点配置的步骤如下 :(1)检查系统的能控性。如果系统能控，则按以下步骤计算状态反馈矩阵。(2)计算矩阵A的特征多项式，即detsl-A= sn a n isn 1 ? a“s a。(3)计算由希望的极点 12? n 所决定的状

5、态反馈系统特征多项式k*(s) (s1)(s2)?(sn)sna*n 1sn 1* *?a*1sa*0(4)计算 k*k a*0 a0a*1a1?*a*n 1an 1 。(5)确定变换矩阵 Tc110?00an 11?00?Tc1 An 1B ?AB B?a2a3?10a1a2?an 11(6)计算状态反馈矩阵 Kk kTc1当系统方程为能控标准形的情况，Tc1 1=l ，这时状态反馈矩阵 K=k在MATLAB中用rank指令求矩阵的秩，用place()函数得极点配置。4 理论计算由题目可知如下条件：1210110 ， B0 ，c 1 1 1 ，P=-3+i， -3-i， -50431A按步骤

6、进行计算：140139sA3 - 5*sA2 + 5*s -101) 系统能控性矩阵： Qc=B ABA2B= 01 经计算矩阵 Qc 的秩为 3，所以系统能控。2)计算矩阵A的特征多项式：(s)=detsl3) 计算给定希望极点所决定的状态反馈系统特征多项式：3i 1(s si ) sA3 +11*sA2 + 40*s +504) 计算 k： k=a*0-a0 a*1-a1 a*2-a2=51 35 160105)计算变换矩阵 Tc1 1=110231100由于 Td = A2B ABBa 2 10a1 a21410100=1005109315516)计算状态反馈矩阵Kk kTc11=-67

7、 -134165计算机实现框图5.1主程序流程框图5.2极点配置流程图6 仿真结果及分析6.1 仿真结果在 m 文件运行后，按照提示输入如下：请输入系统矩阵 A = 1,2,-1;1,1,0;0,-4,3请输入输入矩阵 B = 0;0;1请输入输出矩阵 C = 1,-1,1请输入指定极点 P= -3+i,-3-i,-5 之后按回车键，软件开始运算。结果如下： 系统可控，理论上能任意配置极点。K = -67., -134., 16.6.2 结果分析使用 MATLAB 软件，在菜单栏中点击 New File 新建一个 .m 文件，然后将设 计方案中的语句输入新建的文件中，之后在工具栏中点击 Deb

8、ug 找到 Save file and Ru n,运行所编的程序，在主窗口输出结果以及进行程序的修改。当得出结 果与计算结果一致时，说明所编程序完全正确。参考文献1 王正林 .MATLAB/Simulink 与控制系统仿真（第 2 版） .电子工业出版社， 1998.48-54.2 赵景波 .MATLAB 控制系统仿真与设计 .机械工业出版社， 2010-11-1.78-90.3 姚全珠 .软件技术基础 . 北京：电子工业出版社， 20064 王小丹 .基于 MATLAB 的系统分析与设计 . 西安：西安电子科技大学出版社， 20075 郑大钟 .线性系统理论 . 北京：清华大学出版社， 20

9、04附录程序清单A=input(' 请输入系统矩阵A = ');B=input(' 请输入输入矩阵B = ');C=i nput('请输入输出矩阵C = ');P=i nput('请输入指定极点P= ');nx,na=size(A);%判断 A 矩阵是否合法if na=nx,error('A 必须是方阵！')elseif nx=0,returnendn,m=size(B);%判断 B 矩阵是否合法if nx=n,error('B 和 A 的行数必须相同！')endS=ctrb(A,B);% S为能控

10、性矩阵B AB ? An1BQ=rref(rref(S)')'%初等行变换化行最简形if det(Q)=0.000%判断系统是否可控elsedisp ('系统不可控！不能任意配置极点！')disp ( '系统可控，理论上能任意配置极点。')endif length(P)=nx,%判P (系统指定闭环极点)是否合法error('P 的数量必须和 A 的行数相同！ ')endj=0;for i=1:n,if(real(P(i)>0),endj=1;end if j=0,error ('P 的实部应小于 0！ ')

11、 elseif isequal(sort(P(imag(P)>0),sort(conj(P(imag(P)<0)error ('P 中复数应共轭！ ') endendsyms s;I=eye(n);Det=det(s*I-A); aq=fliplr(sym2poly(Det);for i=1:nE(i)=s*P(i);E(i+2)=E(i)*E (i+1) ;ah=fliplr(sym2poly(E (i+2); k=ah-aq;%定义符号变量%创建单位阵%计算 A 的特征多项式%取 A 的特征多项式系数，并反转%取由 P 构成的特征多项式的系数，并反转k=k(1:

12、n);%计算 k10?00an 11?00?a=aq(2:n);%以下循环构建矩阵?a2a3?10a1a2?an 11Tc1=; for i=1:n,for j=1:n,if (i>j) for h= 1:n-1; if(i-j=n-h);A1(i,j)=a(h); end else if(j=i),A1(i,j)=1;elseA1(i,j)=0;endendendend%k kTc1K=vpa(k*inv(Tc1)冻“电力九橹课程设计报告学生姓名：吴香环学 号：1007240607学院：自动化工程学院班 级：自动106题 目：专业方向课程设计基于系统的可控性进行配置极点指导教师：顾大可姜文娟 职称：副教