常微分方程重点

1、常微分方程重点第一章初等积分法1、 什么是微分方程：联系自变量，未知函数以及它们导数的关系式。2、 微分方程的分类显式方程：八f(x”)。、隐式方程：F(x,y,y )=0通解：n阶常微分方程的含有n个任意常数C,C2,.Cn3、 解的分类的解使y =化0,22,.6)。特解：给通解中的任意常数以定值所得到的解。Fy = f (x y)4、 初值问题：dx ( y)(也叫柯西问题)y(xo) = yo例1:求下列方程满足所给初始条件的解：f 22(x -1)y +2xy=0y(0) =15、 变量可分离方程：岸M (x)N(y)dx P(x)Q(y)dy =0例 2:求解方程(1)矽=1一y-

2、 (2) x(y2-1)dx y(x2-1)dy = 0 dx 出_ x26、齐次方程：鱼C)(类似于色= f(a*x b*y c)=V=f(a* b* ”dx xdx arx+bry+cid- 耳*-*1(变量代换)例3：求解业二Udx x 十 y-37、一阶线性微分方程： 史=p(x)* y q(x)(采用常数变易法)dx|p(x)dxq(x) =0, y=c*ep(x)dxp(x)dxq(x)式0, y=(Jq(x)*e+c)*exf p( Ddxf p(s)ds定积分形式：y =(. q(s)* e x0 ds y0)ex0例 4：賽丄* y 2(x-2)2x(0) =2f (t)的所

3、例5：(证明题)设函数f(t)在0,=上连续且有界，试证明：方程生 x二dt有解解在0,=上有界。8、全微分方程：M (x, y)dx N (x, y)dy 二 0.:M.:N:x(X y)先x后 y, k M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0(Mdx+Ndy)=0xy先y后x 打 M (x, y)dx + Jy N(x0,y)dy=0(xo，yo).:M.:N:xSM cN与x有关，丄公NcM与y有关，-.M=f(x),得积分因子 u(x)二e -f(x)dx.N二二g(y),得积分因子v(y)=e *皿6 / 53例 6:求解方程(2xy x2y -y-)dx (x2 y

4、2)dy = 09、一阶隐式微分方程:不显含 y,F(x,y) = 0二 / =：(：)、=沪屮不显含 x,F(y,y)=0n ,W(t) =y J (t)x= (t)y(t) :(t)dty= (t)Adt c(参数表示法)克莱罗方程：y = xy (y)通解：y 二 ex (c)y 二 cx 亠；(c)特解：,消去C得特解(基解)|0 = x 十护(c)2例 7 :求解下列方程(1) xy y2 (2) x、. 1 y = y.1 I第二章基本定理1、奇解与包络线(x,y,c ) =0|,消去c得特解(类似于 克莱罗方程)(x,y,c ) =0例&求dy =3y3的奇解dx第三章一阶线性微

5、分方程组1、字 二 fi(x, yi,讨2、yn)dx頁=f2(x、yi、y2、.，yn学二 F(x,Y)dxyj(其中丫 = % )丫 (xddYn.dx=fn(x,yi, Y2,Yn)2、 一阶线性微分方程：dY -A(x)Y F(x)dx臥 aJIlainfi(x)其中 A(x) = *:j , F(x)=:Bi an2川 annjn(X)j3、线性相关，线性无关(1) 存在不全为零的常数Ci)C2).,Cn线性相关：使CiYi(x) C2Y2(x) . CnYn(x)二 0(2) W(x)=0ii(x).yin(x)其中 W(x) = :jJni(x).ynn(x) j线性无关：存在一

6、点x0使W( x0)04、齐次线性方程必存在基本解组(恰好为n个线性无关的解向量)Yi(x),.,Yn(x)Yi(x)，Yn(x)5、常系数线性微分方程(二元)-AY F(x) dx解题方法：A-证=0=得扎，求入的特征向量T单根:得解为二 GeixtC2e 2XT2. CnenXTn(A- jE) % = R重根：(A- jE) % = &(A-jE)kjRo =0dyi矿y2y3例9、求解方程组dy2.一二 yi y3dxdy3 丁 = yi + y2 dx第四章n阶线性微分方程i、 y：ai(x)y(n：ax)y (X),非齐次y(n) +ai(x)y(n_L) + +ax)y +an0

7、,齐次i (x)郎斯基行列式:W(x)i(x):(2)十1(x)申 2(X)n(x) 2(X) 9n(x)rwr4申 2Z(X)叮(X)刘维尔公式:W(x)二WX)/P(t)dtt例10：(证明题)对于二阶线性非其次方程 y p(x)y q(x)Q,已知有一个非零特解y1,试证明它的通解为y=C*yi，Cyi1- IP(x)dx尹 dx yi2、(i) f (x) =Pm(x)e：X:不是特征根，Y( x)Qm(x)eX：-是 k 重根，丫( x)二 xkQm(x)e X(2)二次：y + py + qy = e*不是特征根,Y(x)二Aex:是 k 重根，Y(x)二 Axke例11:求方程y 5y+6y =6x2 10x+2的通解（建议把R65页的例1,例2,例3, 例4都做一下）3、特解的假设形式（选择题）f（x）二 e：XFm（x）cos - x Pm（x）sin x:二i ：不是特根，y