线路测量通用公式的推导及编程

1、线路测量通用公式的推导及编程何艳维（中铁五局集团第一工程有限公司，湖南 长沙 410117）摘 要：用定积分的方法推导出求线路中线点坐标的积分通式，采用复化辛卜生（Simpson）公式给出其数值积分式。在此基础上推导出了求地面点与线路中线相对位置关系的公式。并进行工程实例计算，给出基于CASIO fx-4500P的计算器程序，大大提高了工作效率。关键词：测量；通用公式；编程；曲线元在线路中线及边线点坐标计算中，我们通常采用切线支距等公式计算各点坐标，但在不同线型上计算时就需要使用不同的公式，计算公式不具备通用性，给计算带来了不便。在缓和曲线计算时，螺旋线方程式的取项数对计算精度的影响随缓和曲线

2、长度及圆曲线半径的不同而不同，取项不当会出现较大计算误差，取项太多又会增加计算难度。在道路的设计、施工、竣工阶段，经常需要测定地面点与线路中线的位置关系，以便为设计、施工及竣工提供准确数据。用常规方法及公式测定计算地面点与线路中线的位置关系难度相当大。针对以上问题，笔者用定积分的方法给出了求线路中线点的积分通式，并采用复化辛卜生公式给出其数值积分式，进而推导出了求地面点与线路中线相对位置关系的公式。并进行了工程实例计算及编程。1求线路中线坐标的通用公式推导线路形式多种多样，但都是由直线、圆曲线及缓和曲线组成。而这3种线型都具有曲率随弧长作线性变化这一共性，故可用曲线元代表3种线型中的任意一种。

3、由此易推出已知弧长l求任意点i的坐标的积分通式如下： （1）式中：XA、YA为曲线元起点的坐标，i为曲线元上任意点i的切线方位角，其计算通式为： （2）式中，A为曲线元起点切线方位角，PA为曲线元起点曲率，PB为曲线元终点曲率，L为曲线元长度，l为任意点距曲线元起点的弧长。±表示曲线元的偏向，左偏取“-”，右偏取“+”。A、i单位均为度。由于用式（2）代入式（1）所表示的积分是不可积的，故采用复化辛卜生公式给出其数值积分式为： （3）式中，m为积分区间等分数n的一半，2K-1为曲线元上n等分点（偶数点）处的切线方位角，2K为曲线元上n/2等分点（奇数点）处的切线方位角。式（3）即为求

4、线路中线坐标的复化辛卜生公式，也就是通用公式，它具有如下特点：1、适用于直线、圆曲线及各种类型的缓和曲线（完整或不完整）；2、计算精度可人为控制，即随积分区间等分数n的取值不同，其计算精度也不同，可以根据实际情况选用合适的n值以保证计算精度和提高计算效率，3、计算方向是可逆的，即可以沿里程递增方向计算也可以沿里程递减方向计算。2线路边线点坐标的计算用式（3）求得线路中线点坐标后，根据式（2）所求得的切线方位角，易得出求边线点坐标的计算公式： （4）式中，S为所求边线点与中线点之间的距离，Q为边线点方向与线路切线方向的夹角。±表示边线点相对于中线的方向，左边线点取“-”，右边线点取“+

5、”。3地面点与线路中线相对位置关系的公式推导3.1计算原理从线路中线坐标的通用公式推导可知，求地面点与线路中线相对位置关系即为求地面点与线路中线曲线元的相对位置关系。如图1，AB为一曲线元，点P为一地面点，点P的坐标为已知或可用仪器测得。过点P作垂线PP，lP为垂足点P到起点A之间的弧长，DP为点P与线路中线的垂距，由图可知，点P与线路中线相对位置可由2个唯一的量lP和DP确定。由于点P可能位于中线的左边或右边，所以为了区分，DP也分正负，当P点位于线路左边时取负值，反之取正值。图1 地面点与曲线元相对位置关系由此，根据DP的符号，可以确定点P相对于线路的边向，而DP的值则确定了点P与中线的垂

6、距，点P相对于线路的里程LP可由曲线元起点的里程LA和弧长lP计算得：LP=LA+lP因此，确定地面点与线路中线的相对位置关系就转化为求DP和lP了。直接求解DP和lP十分困难，在此采用趋近原理来达到计算目的。如图2，已知曲线元起点A的坐标（XA，YA），过点A的切线方位角A，起点A和终点B的曲率KA和KB，曲线元的长度L，地面点P的坐标（XP，YP），现求lP 和DP。图2 DP与LP的趋近计算原理在lP 和DP两个量中，如果求得lP ，即可用式（3）求得P的坐标，由此可方便求出DP。因此问题的关键在于求lP ，在此趋近也就是指lP 趋近。由图可知，曲线元的法线有无穷条，但通过点P的法线却只

7、有一条（点P为圆心时除外），即PP，因此，只要求得P点到曲线元的某一法线的距离为0，则问题得解。取点P到起点A法线的垂距l1的绝对值作为lP的近似值代入式（3）可求得曲线元上一点P1，再以P点到通过P1点法线的垂距l2加上l1作为新的lP的近似值代入式（3）。为了确保循环收敛，l2的符号必须满足：当P1点位于P点后（l1lP）时，l2取正值，当P1点位于P点前（l1lP）时，l2取负值。根据点到直线的垂距公式得：（5）当通过曲线元上点的法线方位角法指向左边桩时，l2的符号正好满足以上要求，因此，规定法指向左边桩，即法=切-90°。如此，用新的lP的近似值代入式（3）后，又得一点P2。

8、同理，用P点到过P2点的法线的垂距l3加上l1及l2作为新的LP近似值，代入式（3），求得一点P3，如此循环，当P点到通过曲线元上一点Pn的法线的垂距为0或小于某一微小值（即达到所需精度要求）时，这时的即为所求的lP值，用lP代入式（3）易求出P。根据P和P的坐标，经反算可求得DP，为了达到前面所说的当P点位于线路左边时DP取负值，反之取正值的目的，DP值用如下公式计算： （6）如此就能保证DP的符号“左负右正”，同时，也可根据DP的符号判断P点是位于线路的左侧还是右侧。3.2计算步骤1、用下式求得点P到通过A点的法线的垂距的绝对值l1：2、以l1作为lP的近似值，即以l1作为l代入式（3），

9、求得曲线元上一点P1的坐标（XP1，YP1）。3、将P1点的坐标代入式（5）求得P点到过P1点的法线的垂距l2，式中法可用式（2）求得切后减90°得到。4、以（l1+l2）作为新的lP的近似值代入式（3）可求得曲线元上一点P2的坐标（XP2，YP2）。5、用求得的P2的坐标和法代替P1的坐标和法代入式（5），求得点P到过P2点的法线的垂距l3。6、如果l3的绝对值为0或小于某一微小值（即达到所需精度要求），则即为所求的lP值，如果l3的绝对值不能满足精度要求，则重复45步直到ln的绝对值满足精度要求，最终得：7、用lP代替l，代入式（2）和式（3），求得曲线元上点P的切线方位角切和坐

10、标（XP，YP），由切减90°得法线方位角法。8、将P的坐标和法线方位角代入式（6）得DP，按DP的符号“左负右正”的规律判断P点相对于线路中线的边向，而P点相对于线路中线的桩号LP=LA+lP。4工程实例计算4.1求线路中、边桩坐标图3为某公路一卵形曲线线路，相关要素如图，相关设计数据见表1。表1 某公路线路设计数据表主点桩号坐标切线方位角XY°K0+153.3237970.5662853.12677-36-53.2K0+203.3237975.7882902.60596-42-48.1K0+312.6587900.9892968.837180-14-20.9K0+360

11、.8337857.4242951.506226-14-34.4K0+425.1827850.2292891.940299-58-53.1K0+485.1827897.3442856.352334-21-32图3 某公路线路图4.1.1计算K0+302.658中、边桩坐标由K0+216.308起计算K0+312.658中桩坐标，积分区间等分数n取8。曲线元起点曲率PA=0，终点曲率PB=1/75=0.0133，用式（2）计算各等分点处切线方位角如表2：表2 K0+216.308K0+312.658方位角计算表桩号n/2等分点n等分点K0+228.352144-00-40.3K0+240.3961

12、45-44-10.7K0+252.439148-36-41.6K0+264.483152-38-12.7K0+276.527157-48-44.3K0+288.571164-08-16.2K0+300.614171-36-48.3用式（3）计算K0+312.658中桩坐标如下：X=7987.176+(312.658-216.308)/4/6×cos143°2610.1+4×(cos144°0040.3+cos148°3641.6+cos157°4844.3+cos171°3648.3)+2×(cos145°

13、;4410.7+cos152°3812.7+cos164°0816.2)+cos180°1420.9=7900.990Y=2929.851+(312.658-216.308)/4/6×sin143°2610.1+4×(sin144°0040.3+sin148°3641.6+sin157°4844.3+sin171°3648.3)+2×(sin145°4410.7+sin152°3812.7+sin164°0816.2)+sin180°1420.9

14、=2968.838用式（4）计算K0+312.658右侧5m边桩坐标如下：XB=7900.990+5×cos(180°1420.9+90°)=7901.001YB=2968.838+5×sin(180°1420.9+90°)=2963.8384.1.2计算K0+360.833中、边桩坐标由K0+425.182起计算K0+360.833中桩坐标，积分区间等分数n取4。曲线元起点曲率PA=1/50=0.02，终点曲率PB=1/50=0.02，用式（2）计算各等分点处切线方位角如表3：表3 K0+425.182K0+360.833方位角计算

15、表桩号n/2等分点n等分点K0+409.095101-32-48.4K0+393.00883-06-43.8K0+376.92064-40-39.1用式（3）计算K0+360.833中桩坐标如下：X=7850.229+(425.182-360.833)/2/6×cos119°5853.1+4×(cos101°3248.4+cos64°4039.1)+2×cos83°0643.8+cos46°1434.4=7857.425Y=2891.940+(425.182-360.833)/2/6×sin119

16、6;5853.1+4×(sin101°3248.4+sin64°4039.1)+2×sin83°0643.8+sin46°1434.4=2951.510用式（4）计算K0+360.833右侧5m边桩坐标如下：XB=7857.425+5×cos(226°1434.4+90°)=7861.036YB=2951.510+5×sin(226°1434.4+90°)=2948.0524.2确定地面点与线路中线相对位置关系用求线路中、边桩坐标所用线路计算，相关要素见图3，相关设计数据见表

17、1，现测得若干地面点坐标如表4，如3.2计算步骤计算得结果一并列于表4：表4 确定地面点与线路中线相对位置关系计算结果表点号所测地面点坐标（m）lP（m）DP（m）桩号边向P17967.9302889.96837.0668.384K0+190.389右P27955.1092959.00957.260-9.516K0+260.583左P37884.1552957.91819.5388.499K0+332.196右P47839.7112936.73220.557-7.332K0+381.390左P57869.3402882.44321.1188.415K0+446.300右由以上算例可以看出，通用

18、公式的顺、逆运算都很方便，而且可以任取其中的一段进行计算，这对于计算不完整的曲线显得尤为方便。计算时应根据曲线半径的大小和曲线的长度选取合适的n值，以达到计算准确和简便的目的。对于一般曲线，n取46即可，对于小半径曲线，视计算长度而定，长度越长n也要相应取大，一般不少于8。5程序的编写为了提高计算效率，保证计算的准确性，根据已推导的计算公式，编写了基于CASIO fx-4500P的计算器程序，程序如下：5.1求线路中、边桩坐标程序F1 XPSL1 I=L(B-A)/GL2 J=N+90(I+2A)L/L3 M=N+22.5(I/4+2A)L/:P=N+67.5(3I/4+2A)L/:K=N+45(I/2+2A)L/L4 X=E+L(cosN+4(cosM+cosP)+2cosK+cosJ)/12L5 Y=F+L(sinN+4(sinM+sinP)+2sinK+sinJ)/12L6 U=X+Scos(J+Q) V=Y+Ssin(J+Q) 程序中符号意义：L计算点至曲线元起点距离；A曲线元起点曲率（曲率=1/R，直线曲率为0），曲线左偏为负、右偏为正；B曲线元终点曲率（曲率=1/R，直线曲率为0），曲线左偏为负、右偏为正；G曲线元长度；J计算点切线方位角；N曲线元起点切线方位角；X计算点中桩X坐标；Y计算点中桩Y坐标；E曲线元起点中桩X坐标；F曲