空间点、直线、平面之间的位置关系(20210204205240)

1、第八章 立体几何初步 第1课时空间点、直线、平面之间的 系 f寸应学生用书（文）9799页、 （理）99101页 丿 考情分析 考点新知 理解空间点、线、面的位置关系；会用数学 语言规范的表述空间点、线、面的位置关 系了解公理1、2、3及公理3的推论1、2、 3,并能正确判定；了解平行公理和等角定理. 理解空间直线、平面位置关系的定义， 能判定空间两直线的位置关系；了解异面直 线所成角. 喙回归教材 in H.i iiita in H.i iiita - : : 1.（原创）已知点P、Q,平面 a,将命题“ P a, Q? a T PQ? a”改成文字叙述是 答案：若点P在平面 a 内，点 Q

2、不在平面 a 内，则直线 PQ不在平面 a 内. 解析：正确理解符号语言表达空间点、线、面之间的位置关系，能正确进行自然语言、 图形语言和符号语言的相互转化. 2. （原创）有下列命题：空间四点共面，则其中必有三点共线；空间四点不共面， 则其中任何三点不共线； 空间四点中有三点共线， 则此四点共面；空间四点中任何三点 不共线，则此四点不共面其中正确的命题是 _ .（填序号） 答案： 解析：只须四点共面，任何三点不必共线；正确；错误. 3. （必修2P28习题1改编）在正方体 ABCD/BQD中，与AD平行的对角线有 答案：1 解析：与AD平行的对角线仅有 必修2P31练习12改编）如图所示，在

3、三棱锥 A BCD中，E, F, G, H分别是棱AB, DA的中点，贝y 当AC, BD满足条件 当AC, BD满足条件 答案：AC= BD AC= BD且 AC丄 BD 1 1 解析：易知 EH/ BD/ FG 且 EH= BB FG 同理 EF/ AC/ HG 且 EF= 2AC= HG 显然四 边形EFGH为平行四边形要使平行四边形 EFGH为菱形需满足 EF= EH,即AC= BD要使四 边形EFGH为正方形需满足 EF= EH且EF丄EH,即AC= BD且AC丄BD. 5. （必修2P24练习3改编）设P表示一个点，a , b表示两条直线，a、B 表示两个平面， 给出下列四个命题,

4、其中正确的命题是 _ .（填序号） P a , Pa T a la； a n b = P, b i 3 T a i 3； 位置关 4. （ BC CD （1） （2.时， 四边形EFGH为菱形； .时，四边形EFGH是正方形. a / b , a i a , P b , Pa T b i a； 位置关系 共面情况 公共点个数 相交直线 在冋一平面内 1 平行直线 在冋一平面内_ 没有 异面直线 不同在任何一个平面内 没有 平行直线的公理及定理 公理4:平行于同一条直线的两条直线平彳_ 定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同, 备课札记a, 答案： 解析： 图， a 确定唯一

5、平面 Y，但丫经过直线 当a na= P时，Pa，Pa，但a? a，A 错；P时，错；如 / b，P b，.P? a，. 由直线a与点P确定唯一平面 a .又a/ b，由a与b a与点P，.丫与 a 重合， b 1 a，故正确；两个 a, 平面的公共点必在其交线上，故正确. 1.公理 平面内. 公理2： 是一条直线. iir iir ；! I2TI! I2TI - 1:如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他的公共点，这些公共点的集合 公 理 推 论 推 论 推论 3： 1： 2： 3： 经过不在同一直线上的三点，有且只有一个

6、平面. 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面. 经过两条相交直线，有 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 2. 空间两条直线的位置关系 3. 相等. 那么这两个角 题型1平面的基本性质 例1 画一个正方体 ABCD/BiGD，再画出平面 ACD与平面BDC的交线，并且说明理由. 解: F CD、F平面 ACD、 平面DCB，则EF为所求. BD II BiD ,直线m与直线BD也成 a 角，即直线m为所求作的直线，如图(b).由 题型2共点、共线、共面问题 ,例2) 如图，四边形ABEF和 ABCD都是直角梯形，/ BAD=/ FAB= 90, BC/ g 四边形 BGHG是平行

7、四边形. E AC E 平面 ACD E BD E 平面 BDG、 F DC、F 备选变式(教师专享) 在长方体ABGDABiCD 的 AC面上有一点P(如图所示，其中P点不在对角线 (1)过P点在空间作一直线I，使I /直线BD应该如何作图？并说明理由； BiD) 上. 过P点在平面AiCi内作一直线m,使m与直线BD成 a 角，其中 a 0, 专这样 的直线有几条，应该如何作图? 解： 线，如图 (1)连结 BD, BD . BiD/ BD 在平面AC内过P作直线I，使I / BD，则I即为所求作的直 I / BiD， I / 直线 BD. _； /fl/fl 图 图知m与BD是异面直线，

8、且 m与BD所成的角 AD BE/ =尹, (1) 证明： (2) G 、 D G H分别为FA FD的中点. m有两条. 当 a= n 时，这样的直线 F、E四点是否共面？为什么? 点. / BC / =2AD, B 为 IM C D、F、E四点共面. 变式训练 如图，在正方体 ABCaABGD中，对角线 AQ与平面BDC交于点 0, AC BD交于点 M E为AB的中点，F为AA的中点. (1) C 1、O M三点共线； (2) E、C D、F四点共面. (1)证明：由已知 FG= GA FH= HD 可得 GH/ =扣.又 BC/ =2AD, GH / =BC.A 四 边形BCH助平行四

9、边形. 1 (2)解：(解法1)由BE/ =2AF, G为FA中点知, 边形. EF / BG.由(1)知 BG/ CH, EF / CH, F、E四点共面. BE/ =FG二 四边形BEFG为平行四 EF与CH共面.又D FH,.C、D (解法2)如图，延长FE、DC分别与AB交于点M BE B为MA中 F D FE与DC交于点 41例3 已知A是 BCD平面外的一点，E, F分别是BC, AD的中点. (1)求证：直线EF与BD是异面直线；求证: BDC,又 C1、 证明：(1) / C1、O M平面 O M在平面BDC与平面 AACC的交线上， C (2)连结 EF, A B C、D,v

10、 E、F 分别是 CD , EF / CD. E、C D、F 四点共面. 题型3空间直线位置关系问题 1、 fi O M平面AiACC,由公理2知，点C、 O M三点共线. AB, AiA 的中点， EF / AiB. / A iB/ 以上四个命题中，正确命题的是 .（填序号） AO BD,求EF与BD所成的角. EF与BD不是异面直线，则 EF与BD共面，从而 DF与BE共面，即AD B C D在同一平面内，这与 A是 BCD平面外的一点相矛盾故直线 （2）解：取CD的中点G连结EG FG,则EG/ BD,所以相交直线 EF与EG所成的角, 即为异面直线 EF与BD所成的角.在 Rt EGF

11、中，由EG= FG= -AQ求得/ FEG= 45，即 异面直线EF与BD所成的角为45 备选变式（教师专享）已知四棱锥PABCD勺顶点P在底面的射影恰好是底面菱形 ABCD勺两条对角线的交点， 若AB= 3, PB= 4，则PA长度的取值范围为 _ . 答案：（Q7, 5） 解析：由题意知 PO丄平面 ABCD AB= 3, PB=4,设 PO= h, OB= x，贝U PA2= h2+ 9 x2 =16 x2 x2 + 9= 25 2x2，因为 0 x3，所以 725 2x225,所以PA5. 1. （2013 福州检测）给出下列四个命题： 其中正确命题是 答案： 解析：没有公共点的两条直

12、线平行或异面， 故命题错；互相垂直的两条直线相交或异 面，故命题错；既不平行也不相交的直线是异面直线， 不同在任一平面内的两条直线是异 面直线，命题、正确. 下列命题错误的是 _ .（填序号） 如果平面 a 丄平面 B,那么平面 a 内一定存在直线平行于平面 B； 如果平面 a 不垂直于平面 B,那么平面 a 内一定不存在直线垂直于平面 B； 如果平面 a 丄平面 Y,平面B 丄平面丫， 门 8= l，那么直线I丄平面 Y； 如果平面 a 丄平面 B,那么平面 a 内所有直线都垂直于平面 B . 答案： 解析：根据长方体模型可知，是错的. 3. 如图是正四面体的平面展开图， （2）若 AC丄

13、BD 证明：假设 与BC共面，所以A、 EF与BD是异面直线. 没有公共点的两条直线平行； 互相垂直的两条直线是相交直线； 既不平行也不相交的直线是异面直线； 不同在任一平面内的两条直线是异面直线. .（填序号） 2. Y, H DE BE, EF, EC的中点，在这 以上四个命题中，正确命题的是 .（填序号） 个正四面体中： GH与EF平行； BD与MN为异面直线； GH与MN成60角； DE与MN垂直. 答案： 解析：还原成正四面体知 GH与EF为异面直线，BD与 MN为异面直线，GH与 MN成 60 角, DE1MN. 若直线I不平行于平面 a,且I ? a,则下列命题正确的是 a 内的

14、所有直线与I异面； a 内不存在与I平行的直线； a 内存在唯一的直线与I平行； a 内的直线与I都相交. 案： 从正方体ABCD- ABiGD的8个顶点中任意取4个不同的顶点，这4个顶点可能是: 矩形的4个顶点； 每个面都是等边三角形的四面体的 4个顶点； 每个面都是直角三角形的四面体的 4个顶点； 有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体的 个. ABCD适合(1)，四面体 ACBD适合(2) , DBGD适合(3) , DACD适合(4), 4个. P不存在一条直线与I、m都平行；是真命题，因为过 点P有且仅有一条直线与I、m都垂直，这条直线与两异面直线的公垂线平行或重合；

15、是 假命题，因为过点 P也可能没有一条直线与I、m都相交；是假命题，因为过点 P可以作 出无数条直线与I、m都异面，这无数条直线在过点 P且与I、m都平行的平面上.答5 (1) (2) (3) (4) 其中正确的结论有 答案：4 解析：四边形 因此正确的结论有 1.若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点” “既不充分又不必要”) 的 _ 条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、 答案：充分不必要 解析：若两条直线无公共点，则两条直线可能异面，也可能平行. 线，则两条直线必无公共点. 2. (2013 南昌模拟)若P是两条异面直线I、m外的任意一点,

16、.(填序号) P有且仅有一条直线与 P有且仅有一条直线与 P有且仅有一条直线与 P有且仅有一条直线与 若两条直线是异面直 则下列命题中假命题的 是 _ 过 点 过 点 过 点 过点 IIII、m都平行; 、m都垂直; 、m都相交; 、m都异面. 4个顶点. 答案： 解析： 是假命题，因为过点 3. 如图，在四面体 ABCD中作截面 交于N, RR DC的延长线交于 K. 求证：M、N、K三点共线. 证明：/ M PQ直线PQi平面 与平面BCD的个公共点，即 M在平面 同理可证：N、K也在I上. M、 若PQ CB的延长线交于 M RQ DB的延长线 M BC,直线BC 1平面 PQR PQF

17、与平面BCD的交线I上. N、K三点共线. BCD二M是平面PQR 4. 已知：a、b、c、d是不共点且两两相交的四条直线，求证： 证明：证法1:若当四条直线中有三条相交于一点， 不妨设a、b、 a、b、c、d 共面. c相交于一点A, 直 PQR 2:当四条直线中任何三条都不共点时，如图. b确定一个平面 a .设直线C与a、b分别交于点 .同理可证d 1 a . - a、b、c、d四条直线在同一平面 a 内. 证明点线共面的常用方法：一是依据题中所给条件先确定一个平面，然后证明其余 的点或线都在面内；二是将所有元素分成几个部分， 然后分别确定几个平面，再证这些平面 重合；三是采用反证法. 2. 证明三线共点的方法：通常先证明两条直线的交点在第三条直线上，而第三条直线 是两个平面的一条交线. 3. 异面直线的证明方法：一是应用判定定理（过平面内一点与平面外一点的连线与平面 内不经过该点的直线是异面直线 ）;二是采用反证法.判定异面直线时通常采用排除法 （既