二次函数的图像与性质及练习.

1、二次函数的图像与性质一、二次函数概念：1二次函数的概念：一般地，形如yax2bxc（ a ，b ，c是常数， a0 ）的函数，叫做二次函数。【说明】这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 a 0 ，而 b，c 可以为零二次函数的定义域是全体实数2. 二次函数yax2bxc 的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2 a ，b ，c是常数， a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常数项二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：yax2 的性质：a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a00 ，0x0 时， y 随 x 的增大而增大； x0 时，

2、y 随向上y 轴x 0 时， y 有最小值 0 x 的增大而减小；a00 ，0x0 时， y 随 x 的增大而减小； x0 时， y 随向下y 轴x 0 时， y 有最大值 0 x 的增大而增大；a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。2. yax2c 的性质：上加下减。a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a00 ，cx0 时， y 随 x 的增大而增大； x0 时， y 随向上y 轴x 0 时， y 有最小值 c x 的增大而减小；a00 ，cx0 时， y 随 x 的增大而减小； x0 时， y 随向下y 轴x 0 时， y 有最大值 c x 的增大而增大；23. y a x h 的性质：左加

3、右减。a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a0向上h ，0xh 时， y 随 x 的增大而增大；X=hx h 时，随 x 的增大而减小；a0h ，0xh 时， y 随 x 的增大而减小；向下X=hx h 时，随 x 的增大而增大；x h 时， yy 有最小值 0 x h 时， yy 有最大值 0 24.ya xhk 的性质：a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a0h ，kxh 时， y 随 x 的增大而增大；向上X=hx h 时，随 x 的增大而减小；a0h ，kxh 时， y 随 x 的增大而减小；向下X=hx h 时，随 x 的增大而增大；5. 二次函数2c 的性质y ax bxx h 时

4、， yy 有最小值 k x h 时， yy 有最大值 k 1.当 a0 时，抛物线开口向上，对称轴为xb，顶点坐标为b ，4acb22a2a4a当 xb 时， y 随 x 的增大而减小； 当 xb时， y 随 x 的增大而增大； 当 xb2a2a2a2时， y 有最小值 4ac b 4a2.当 a0 时，抛物线开口向下，对称轴为xb，顶点坐标为b ，4acb 2当2a2a4axb 时， y 随 x 的增大而增大；当 xb 时， y 随 x 的增大而减小；当xb 时， y2a2a2a2有最大值4acb 4a三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一： 将抛物线解析式转化成顶点式y a x h2

5、h ，k ；k ，确定其顶点坐标 保持抛物线 yax 2 的形状不变，将其顶点平移到h，k 处，具体平移方法如下：向上 (k>0)【或向下 (k<0)】平移 |k|个单位y=ax2y=ax 2+k向右 (h>0) 【或左 (h<0)】向右 (h>0) 【或左 (h<0) 】向右 (h>0)【或左 (h<0)】平移 |k|个单位平移 |k| 个单位平移 |k|个单位向上 (k>0) 【或下 (k<0) 】平移 |k|个单位y=a (x-h)2向上 (k>0) 【或下 (k<0)】平移 |k|个单位y=a(x-h)2+k2.

6、平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减，上加下减”方法二： yax2bxc 沿 y 轴平移 :向上（下）平移m 个单位， yax2bxc 变成yax2bx cm （或 yax2bxcm ） yax2bxc 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位， yax 2bxc 变成ya( xm)2b(xm)c （或 y a(xm) 2b( xm)c ）四、二次函数 yax2k 与 yax2bxc 的比较h从解析式上看，yax2k 与 yax2bxc是两种不同的表达形式，后者通过配h2b2b ，k2方可以得到前者，即yaxb4ac，其中 h4acb2a4a

7、2a4a五、二次函数解析式的表示方法1.一般式： y2bxc （ a ， b ， c 为常数， a 0 ）；ax2.顶点式： ya( xh)2k （ a ， h ， k 为常数， a0 ）；3.两根式： ya( xx1 )( xx2 ) （ a 0， x1 ， x2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标） .注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式， 但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 x 轴有交点，即 b 2 4ac 0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.六、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数 a二次函数y2ax b

8、x c 中， a作为二次项系数，显然 a 0 当 a0时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； 当 a0时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大总结起来， a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小2. 一次项系数 b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴 在 a0 的前提下，当 b0 时，b0，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；2a当 b0 时，b0，即抛物线的对称轴就是y 轴；2a当 b0 时，b0，即抛物线对称轴在y 轴的右侧2a 在 a0 的前提下，结论刚好与上述相反，即当

9、 b0 时，b0，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；2a当 b0 时，b0，即抛物线的对称轴就是y 轴；2a当 b 0 时，b0 ，即抛物线对称轴在 y 轴的左侧2a总结起来，在 a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置ab 的符号的判定：对称轴 xb0 ，在 y 轴的右侧则 ab0 ，在 y 轴左边则 ab2a概括的说就是“左同右异”总结：3. 常数项 c 当 c0时，抛物线与y 轴的交点在 x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； 当 c0 时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为 0 ； 当 c0时，抛物线与y 轴的交点在 x 轴下方，即抛物线与y 轴交

10、点的纵坐标为负/ 总结起来， c 决定了抛物线与 y 轴交点的位置总之，只要 a，b ，c 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的4.利用二次函数与 x 轴的交点的个数来确定判别式 的符号， 利用特殊点的坐标确定特殊代数式的值的范围。有时还要利用等量代换来判断特殊代数式的值的范围。二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式， 通常利用待定系数法 用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与 x 轴的两个

11、交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式二次函数的图像与性质应用举例：例 1：小强从如图所示的二次函数yax2bxc 的图象中， 观察得出了下面五条信息： （ 1）a0 ；（ 2） c1；（ 3） b0 ；（ 4） abc0 ； （5） abc0 . 你认为其中正确信息的个数有（C）A2个B3 个C4 个D5 个y1xy3y1121012x11 O12 x1Ox1例2 ：已知二次函数yax2bxc 的图象如图所示，有以下结论：abc 0 ；/ a b c 1； abc0 ； 4a2bc0； c a 1 其中所有正确结论的序号是（ C ）AB CD 例3：小

12、明从图所示的二次函数yax2bxc的图象中，观察得出了下面五条信息：c0 ； abc0 ； abc 0 ；2a3b0； c4b0，你认为其中正确信息的个数有（C）A2个B3 个C4 个D5 个分析：错误.由b13b0 ；由前面的分析知a3得 2ab ，又由题图知当2a32x2时， y4a2bc 0 ，将 x2 代入 4a 2bc0 中得 c4b 0.【练】已知二次函数yax2bx c(a0) 的图象如图所示，有下列5个结论： abc0 ； bac ； 4a2bc0 ；2c 3b ；ab m( amb) ，（ m1的实数）其中正确的结论有（C ）A.2 个B.3 个C.4个D.5 个分析： 由图

13、可知， a0,b1,c 0 ，从而 b2a0, abc0 ，错误；又当 x1 时2ay a b c0 ，错误；由抛物线的对称轴为直线x1 知，当 x0 与 x2 时函数值相等，所以正确；因为2c3b2c2bb2c2b2a2(ab c)0，所以正确；因为二次函数的对称轴为直线x 1 ，所以当x1 时，函数取得最大值，即当m 1, x m时 的 函数 值 小于 当 x1时的函数值，所以2， 得a b c am bm cabm( am b) ，所以正确 .例 4：如图，是二次函数yax2 bx c（ a0）的图象的一部分，给出下列命题： a+b+c=0； b2a； ax2的两根分别为 -3+bx+c

14、=0和 1； a-2b+c 0其中正确的命题是（只要求填写正确命题的序号）分析：由图知正确且b1，所以 b2a0 ，所以2aca b错误；由正确得， 所 以a2bc2 ab 3a，所以b错误 .b【练】 1. 已知二次函数 y ax2bxc a0 的部分图象如图所示，它的顶点的横坐标为 1，由图象可知关于x 的方程 ax 2bxc=0的两根为 x11,x2 32.二次函数图象的对称轴是直线 x 1 ，其图象的一部分如图所示 对于下列说法： abc 0； abc 0； 3ac 0； 当 1 x 3 时， y 0其中正确的是（把正确的序号都填上）分析：由图可知，抛物线的对称轴为直线x 1 ，与 x

15、 轴的一个交点为3,0，得b1，2ab2a ，与 x 轴的另一个交点为1,0，所以 ab c0 ， 3ac ab c 0.例 5：在同一直角坐标系中，函数 ymxm 和 ymx22x 2（ m 是常数， 且 m0 ）的图象可能是（C ）yyyyOxOxOxOx例 6：（ 1）已知二次函数的图象 以 A（ 1， 4）为顶点，且过点 B （ 2， 5）求该函数的关系式；求该函数图象与坐标轴的交点坐标；答： yx22x3 ，交点坐标1,0 , 3,0（ 2）抛物线过（ 1， 0），（ 3， 0），（ 1， 4）三点，求二次函数的解析式；答： y x2 2x 3例 7：已知函数 ym2 xm2m 48

16、x1 是关于 x 的二次函数，求：（ 1）求满足条件的m 的值；（ 2） m 为何值时，抛物线有最低点？最低点坐标是多少？当x 为何值时， y 随 x 的增大而增大？（ 3）m 为何值时， 抛物线有最大值？最大值是多少？当x 为何值时， y 随 x 的增大而减小？答：（ 1） m3 或 m2 ；例 8：（ 1）利用配方求函数y1 x2x4 的对称轴、顶点坐标。1 x 24y254（ 2）利用公式求函数y1 x26x17 的对称轴、顶点坐标。2b64acb2411762366 ，2342a14a1124222例 9：已知二次函数ym22 x24mxn 的图象的对称轴是x2 ，且最高点在直线y 1

17、 x 1 上，求这个二次函数的解析式。2答： yx24x2例 10.如图，二次函数 yax24xc 的图象经过坐标原点，与x 轴交于点 A（ 4， 0）（ 1）求二次函数的解析式；（ 2）在抛物线上存在点P，满足 S AOP8 ，请直接写出点P 的坐标答： yx24x ， P 的坐标为222,2或222,2例 11.如图， 抛物线 yx2bxc 经过直线yx3 与坐标轴的两个交点 A 、 B，此抛物线与 x 轴的另一个交点为 C，抛物线顶点为 D.（ 1）求此抛物线的解析式；（ 2）点 P 为抛物线上的一个动点，求使SAPC：SACD5 ：4的点 P 的坐标。答： yx2 2x 3 ， C1,

18、0，D 1,4 ，SACD 8，所以S APC10 ， P 的坐标为4,5 或2,5 .二次函数练习试题一、选择题1. 二次函数 y x2 4x 7 的顶点坐标是 ( )A.(2, 11)B.（ 2， 7）C.（ 2， 11）D. （ 2， 3）2.函数ykx2k 和yk(k0)在同一直角坐标系中图象可能是图中的()x3. 已知二次函数 yax2bxc(a0) 的图象如图所示 ,则下列结论 : a,b 同号 ;当x 1 和 x 3 时 函数值相等; 4ab 0 当y2时,x的值只,能取 0.其中正确的个数是 ()A.1 个B.2 个C.3个D.4个4.已知二次函数y ax2bx c(a0)的顶点坐标（ -1， -3.2）及部分图象 (如图 ), 由图象可知关于x 的一元二次方程ax2bx c0 的两个根分别是x11.3和 x2 （） .B.-2.3C.-