江苏省宿迁市2016-2017学年高二数学下学期期末考试试题

1、宿迁市 20162017 学年度第二学期期末考试高二数学试卷（考试时间 120 分钟，试卷满分 160 分）参考公式：nnV 球二一二 R3；E（X） = xpi，其中 Pi0,i =1,2,HI，n， pi=13i土一、填空题：本大题共14 小题，每小题 5 分，共计 70 分不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1 已知复数 z 满足z=2_i（i是虚数单位），则|z|的值为 2已知点A的极坐标为（2,二），则点A的直角坐标为6x 4 t3若直线l的参数方程为一 （t为参数），则直线I在y轴上的截距是” = _1+2t4已知向量ah2,-3,2 ,bp4,x,3，若 a_b

2、，则实数x的值是 35甲、乙、丙三人独立地翻译一密码，若每人译出此密码的概率均为，则该密码被译4出的概率为 a 016设矩阵M的一个特征值为 2,则实数a的值为 2 17若 3 名学生报名参加数学、物理、化学、计算机四科兴趣小组，每人选报一科，则不同的报名方法有 种.&设（3x -1）4=a0a1xa2x2a3x3-a4x4，则aoaia2a3a4的值为 P是曲线C1:T二-4COST上的动点，点Q是直线C2：卞inv -3上11 在四面体 OABC 中，已知点M , N分别在棱OA, BC上,11且OMOA,BN BC，MN =xOA yOB zOC，32A贝 U x y - z 的

3、值为 .9 在极坐标系下，点的动点，则线段PQ长的最小值是10已知（x6展开式中的常数项为 60,则正实数a的值为 CN（第 11 题）B1,p（0：p1），M-2 -12 两位同学参加一项比赛，通过综合分析，两人获得一等奖的概率分别为-3 -12贝U p的值为 .13已知函数f(X)Jx，数列an满足印=1，对于任意n N*都满足an 2= f(an),1 +x2且an,0.若a10= a8，贝Ua2016+a2o仃的值为14祖暅原理：两个等髙的几何体，若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.利用祖暅原理可以求旋转体的体积.如：设半圆方程为r 0，半圆与x轴正半轴交于点

4、A，作直线x = r，y = r交于点P，连接OP(O为原点)，利用祖暅原理可得：半圆绕y轴旋转所得半球的体积与OAP绕y轴旋转一周形成的几何体的体积相等.类比这个方法，可得半椭圆y2x2p=1(ab.O,戸 绕y轴旋转一周形成的几何体的体积是a b二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答.，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15 (本小题满分 14 分)已知复数乙二a - i (a R),z2=1 -2i，其中i是虚数单位，且 彳为纯虚数.Z2(1) 求复数z1；(2)若复数(乙b 2)2(b R)在复平面内对应的点在第四象限，求b的取值范围.16 (本

5、小题满分 14 分)已知矩阵M的逆矩阵(1)求矩阵M;(2)已知曲线C: x2y 1，在矩阵M对应的变换作用下得到曲线G，求曲线G且他们是否获得一等奖相互独立若这两位同学中恰有一位获得一等奖的概率为-4 -的方程.-5 -17.（本小题满分 14 分）在四棱锥 P 一 ABCD 中，PA_平面 ABCD， 底面 ABCD 为直角梯形，BA_ DA, BCIIAD 且PA=AB=BC =1,AD=3，点E为PD的中点.（1 ）求 CE 与AB所成角的余弦值；P（2 ）求二面角 C PD A 的余弦值.-（第 17 题）18.（本小题满分 16 分）某商场为刺激消费，让消费达到一定数额的消费者参加

6、抽奖活动.抽奖方案是：顾客从一个装有 2 个红球，3 个黑球，5 个白球的袋子里一次取出 3 只球，且规定抽到一个红球 得 3 分，抽到一个黑球得 2 分，抽到一个白球得 1 分，按照抽奖得分总和设置不同的奖 项.记某位顾客抽奖一次得分总和为 X.（1 ）求该顾客获得最高分的概率；（2 ）求X的分布列和数学期望.-6 -19.(本小题满分 16 分)已知函数f (x) = (1 ax)(1 a2x) (1 dx) (1 anx)，其中1in,i, n N(1 )若ai=1, n=10,求f (x)展开式中含x3项的系数；(2)若ai= i,n =8；求f (x)展开式中含x2项的系数；(3 )

7、当i为奇数时，ai=1，当i为偶数时，色-1,n为正偶数.n求证：当X=42时，f (x)(V x2)2为正整数.20.(本小题满分 16 分)如图，由若干个数组成的n行三角形数阵，第一行有 1 个数，第二行有 2 个数，依此类 推，第i行有i个数.除最后一行外，各行中每个数都等于它下方两个数之和，如：a32=a42 % .记第i行的第j个数为a;( Kjin, i, j,n N*).(1 )若n=4,当最后一行从左向右组成首项为1,公差为 2 的等差数列时，求 an；(2)若第n行从左向右组成首项为 1，公比为 2 的等比数列，求an(用含有n的式 子表示)；-7 -若存在，则求出该等差数列

8、的通项公式；若不存在，则说明理由.说明、证明过程或演算步骤.Z_ = a -i _ (a -i)(12i) = (a 2) (2a -1)iz21 -2i (1 -2i)(12i)5a 2z- =0,因为Z1为纯虚数，所以5Z22a_1=0,所以 a = 2 . 7 分(2)(z b+2)2=(b -i)2=b2-1 -2bi,(3)是否存在等差数列Xn，使得XnC2 Xn丄C3 Xn _2。4:;X2Cn X1Cn .1= Cn .3?an1an2an3an(n-1)ann(第 20 题)数学参一、 填空题：本大题共14 小题，每小题 5 分， 接填写在答题卡相应位置上.1. 5 ；2.C.

9、3,1);3. 7;443； 8 . 16;9. 1;10.2;11二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请.计 70 分.不需写出解题过程， 请把答案直2;5 .63.;6 .:2;7. 64 或364.2; 123;13.2-22;14 .- ab.3423匕答题卡指定.区域内作答，解答时应写出文字15. (1)aiia2i；2a3ia32a33a4ia42a43a442由已知b-1 O. ii 分-2b r，16. (1)设矩阵 Mb,cd，10a2cblI0仃分(:为 P X,P x, y 是曲线C上任一点，在矩阵M 对应的变换下，在曲线C1上的对应的点y，= 2,b=0,c1

10、0 分x=2x,.y-y, 1X = I X2,y 二 y12 分（2代入曲线C得x4y2,.214 分17.解:所以曲线C1的方程为X2y2（第 17题）-10 -设E x, y, z，则PE =：ix, y,z1, 由d得0,3,1 ,2I 2 2丿11所以CE二-1,丄,丄I 22丿又因为AB =1, 盂CE = 1CD - -1,2,0，设平面PCD的一个法向量为n二x, y,z,H T,n PD =0/曰3y-z=0由得，n CD =0-x2y=0令y=1得x=2,z=3，所以n= 2,1,3,则AB =1,nn=2,C213得分为 8 分的概率为P(X = 8)- =G3)120

11、403Pl七唱，CE，则所以cos：. AB,CEAB CAB CE故CE与AB所成角的余弦值为6310 分由条件知AB_平面PAD，所以平面PAD的一个法向量为AB二1,0,0,12 分18 解:(1)所以cos(AB, n)=B#AB n、.147，AB n所以二面角C -PD -A的余弦值为该顾客抽奖一次，当抽到2 个红球1471 个黑球时,14 分得分总和最高为 8 分，2 分(2)由题意知，袋子中共有 10 个球,-11 -(X=3, 4, 8 时算对一种得 1 分，X=5,6,7 时算对一种得 2 分)所以 X 的数学期望15 分答：(1)该顾客获得高分的概率是1；( 2)419

12、解：若ai=1, n=10,f(x)=(x)10展开式的第3310 9 8二x系数为C10120;3汉2汉1(2)若ai“,n=8，则f(x)=(1 x)(1 2x)(1 3x).(18x)，2方法 1:在 8 个括号中任选两个，展开式中x项的系数为所有任选的两个括号中项的系数之积的和，即1 2 1 3 1 4川1 8 2 3 2 4川2 8 | 7 8=1(2+3+8)+2(3+4+8)+3(4+5+8)+7X8=35 66 90 104 105 90 56 =546.10 分方法 2:展开式中x2项的系数为：1 2 1 3 1 4川1 8 2 3 2 4丨丨丨2 8丨丨丨7 8P(X=4)

13、C；cfC；030面，P(X=5)c2cfC；0+C32C；35P(X=6)c2c3c5丄C3G3。G031120 P(X=7)C；C1C1C32311C10C10120 c；c3P(X =8)3C1012013 分E(X) =3竺4竺5竺6邑7卫8卫120 120 120612 515.1.120120120120 10X 的数学期望为 5.1.16 分r+1 项为.1=C；0Xr,-12 -22222(1 + 2+3 + 111+8) (1 +2 +3 +|H + 8 ) _5彳6-13 -(3)由题意nnf(x) =(1 x)(1-x)(1 x) (1 x)(1 -x) =(1 x)2(

14、1 xfn(1 -x2f,12 分20 解:设F(x)=f (x) (1 x2)2，即F(x) = (1一x2) (1 x2尸,nn当x二42时，F(x)=(12尸(1、2尸nnnn=C cn(-.2) C；G2)2III C(-.2)2ccn( 2) C；(2III C(.2尸2 2 2 2 2 2 2 2= 2C0c；(：2)2111=2 C；2 c：22+l|l),2 2 2 2 2nn/C,Cn,Cn为正整数，F(X)=(1_、2)2(1、2)2为正整数,2 2 2n即f (x) - (1 x2)2为正整数.(1)方法 1：当n=4 时，a41= 1,a42= 3,a43= 5,a44

15、= 7,则a31-4, a32-8,a3312,a21=12,a22= 2,所以巧=32；15 分16 分方法 2 :当 n=4 时，a1= a21-a22= a31 2a32 a33二a41- 3a423a43a44=1 3 3 3 5 7=32.(2)811 =821 822= 831 2832833=841 39423943 844=C4851。4比2C4953 C4854。4玄55=Cn 48n1Cn8n2Cn8n 3丨丨丨Cn/8nn=0臨*422十|)+42心=(1+2)2=3 心.假设存在等差数列Xn.-14 -令n=1,得=C：,. x1;令 n=2,得x2clxQ：=C：,.

16、*2=2 ;猜想d =1,xn=1 (n -1)1= n .11 分证明如下：即证nC；(n-1)C|(n- 2)C：| 2C； C；严C：.3(方法一)：(用数学归纳法证明)当 n=1 时，左边=C；=1,右边=C：=1.左边=右边. 11 分假设当n=k时，等式成立，即kC；(k-1)C；(k-2)C：川2C2C2.LC爲，那么当n=k+1 时，(k 1)C；kC：(k -1)C：川c2 .2,=kC；(k-1)Ca(k -2)C：II) 2C：C1- (C；C；山C)C；213 分即当n=k+1 时，等式也成立,综合等式成立所以存在等差数列Xn,即xn=n使得222224xnC2xn 4C3xn J2C4x2Cnx1Cn 1 Cn 3(方法二)：左边=C；(n -1)Cf(n- 1)Ca (n-2)C：II