插值拟合2资料

1、西南交通大学数值分析题库题库分类填空题1. 绪论部分xy. u=xy,其绝对误差限的估计(1) . 设 x=3.214, y=3.213，欲计算 u= x y , 请给出一个精度较高的算式 u=(2). 设 y=f (x1,x2) 若 x1,x2,的近似值分别为 x1*, x2*,令 y*=f(x1*,x2*)作为 y 的近似值 式为 :|f(x1*,x2*)|x1-x* 1|+ |f(x1*,x2*)|x2-x* 2|(3) . 要使 20 的近似值的相对误差限 0.1%, 应至少取 位有效数字？1 -(n-1)20 0.4 10, a1=4, r10-(n-1)< 0.1%2a1故可

2、取 n 4, 即 4 位有效数字。(4) . 要使 17 的近似值的相对误差限 0.1%, 应至少取 位有效数字？1 -(n-1)17 0.4 10, a1=4, r10-(n-1)< 0.1%2a1故可取 n 3.097,即 4 位有效数字。(5). 对于积分 In=e-xnexdx 试给出一种 数值稳定的递推公式24In- 1=(1- In)/n , In 0 易知 I0=1- e- 1In=1- nIn- 1故 In- 1=(1- In)/n0<In 1/(n+1) 0 (n ) 取 In 0选择填空(6) . 计算 f=( 2 -1)6 , 取 2 1.4 , 利用下列算式

3、，那个得到的结果最好？ (C)(A)1( 2 1) 62(B) (3-2 2 )2,1(C) 3 , (D) 99-70 2 (3 2 2)32. 方程的根3(1) . 用 Newton 法求 方 程 f(x)=x3+10x- 20=0 的根 ， 取初值 x0= 1.5, 则 x1= (3) x1=1.5970149(2) . 迭代公式 xk+1=xk(xk2+3a)/ (3xk2+a)是求 a1/2的 (12) 阶方法(3) .3. 方程组直接解法4. 迭代解法2 1 4 3 8413(1). 设线 性方程组的系数矩阵为(13)A=,全主元消元法的第一次可选的主元素为1 3 5 17 4 8

4、 6第二次可选的主元素为 (14) .列主元消元法的第一次主元素为(15) ；第二次主元素为 (用小数表示 ) (16) ; 记此方程组的高斯 - 塞德尔迭代矩阵为 BG=(aij)4 4 ，则 a23= (17) ； -8，或 8； 8+7/8 或 -8-7/8 ； -8； 7 .5；第 1 章 插值§ 1. 填空(1). 设 Pk(xk,yk) , k=1,2,5 为函数 y=x2- 3x+1 上的 5 个互异的点，过 P1,P5 且次数不超过 4 次的插 值多项式是 。y=x2- 3x+1(2) . 设 x0,x1,x3是区间 a, b上的互异节点， f(x)在 a, b上具有

5、各阶导数，过该组节点的2 次插值多项式的余项为： .f (3)( ) 2R2(x)= f 3! k 0(x xk )(3). 设li(x)(xx0)(xxi1)(xxi1)(xxn)(i=0,1,n,)，则 nxklk(x) , 这i(xi x0 ) (xi xi 1)(xi xi 1) (xi xn)k 0里( xi xj,i j, n 2)。(4). 三次样条插值与一般分段 3次多项式插值的区别是三次样条连续且光滑，一般分段 3 次连续不一定光滑。(5). 插 值多项式与 最小二乘拟合多项式都是对某个函数f(x)的 一种逼近，二者的侧重点分别为用 n+ 1 个作不 超过 n 次的多项值插值

6、，分别采用 Lagrange 插值方法与 Newton 插 值方法所得多项式 相等 ( 相等 , 不相等 )(6).§2. 计算题(1). (a10 分 )依据下列函数值表，建立不超过3 次的 lagrange 插值多项式 L3(x).x0123f(x)19233解：基函数分别为8841328l1(x)=x3 2 x 2x331352l2(x)=xxx4413121l2(x)=xxx248121 3 7 2 7 l 0(x)=- x + x - x+1Lagrange 插值多项式L 3(x)=f(xk)lk(x)= 11x3 45 x2 1 x 1. k 0 4 4 2(2). (b

7、10 分)已知由插值节点 (0,0),(0.5,y),(1,3)和(2,2)构造的 3次插值多项式 P3(x)的 x 3的系数为 6，试确 定数据 y.n解：P3(x)f (xk)lk(x)k0故最高次项系数为f(x0)(x0 x1)(x0 x2 )(x0 x3)f ( x1 )(x1 x0)(x1 x2)(x1 x3 )f ( x2 )2(x2 x0)(x2 x1 )( x2 x3)f(x3)(x3 x0)(x3 x1)(x3 x2 )带入数值解得 y=4.25.(3) . (c15 分 )设 lk(x) 是关于 互异节点 x0, x1, xn, 的 Lagrange 插值基函数，证明nxk

8、jlk(0)k01,0,( 1)n x0x1.xnj0j 1,2,., njn1nf (n 1)( )证明：f(x) k 0xkn1lk(x) f(n 1()!)wn1(x)n其中 ， wn+1( x)=(x x j )j0n故当 0 j n 时，xkjlk(x)=xj,k0n当 j=n+1 时， xn+1= f(x)xkn 1lk(x) wn 1(x)k0将 x=0 带入 ok!(4) . (c10 分 )设 lk(x) 是关于互异节点 x0, x1, xn, 的 Lagrange 插值基函数，证明nf (x)xkn 1lk (x) 是 n 次多项式，且最高次系数为x0+ + xn,k0证：

9、查xn 1nxkn 1lk (x)k0f (n 1)( )(n 1)!wn 1(x)-5 分注意余项f (n 1)( )(n 1)!wn 1(x)n=wn 1(x)(x xj)j0nn 1 n 1 n+1xxk lk(x)=x -w n+1(x)k0-5 分ok!(5) . (c10 分)设函数 f(x)是 k次多项式，对于互异节点 当n k时，该差商是 k-n次多项式。x1, xn,， 证明当 n>k 时， 差商 f x, x1, ,xn 0，证明：因fx, x1, ,xn f n!( )n!注意到 n>k 时， f(n)(x)=0 ，(7f)n=k 时， f(n)(x)=k!a

10、 k，ak为 f(x)的k 次项系数。n k-1 由差分定义递推 , 查 n=k-1,k-2, (3f)ok!(6). (c10 分)设 g(x)和 h(x)分别是 f(x) 关于互异节点 x1, xn-1以及互异节点 x2, xn的插值多项式，试 用 g(x)和 h(x)表示 f(x) 关于互异节点 x1, xn 的插值多项式 .解：令 q(x)=Ag(x)(x-x n)+Bh(x)(x-x 1)为待定 n 次多项式， A,B 为待定系数，注意到g(x k)=f(x k ), k=1, ,n-1h(x k)=f(x k ), k=2,n (7f)带入得 A=1/x 1-xn,B=1/x n-

11、x1, 带入 ok!(7) . (a10f)设 lk(x)是关于互异节点 x0, x1, xn, 的 Lagrange 插值基函数，证明n mm(1) xk lk(x) xm=0,1,nk0n(2)(xk x)mlk (x) 0 m=1,2, ,nk0证明：由插值唯一性定理知 (1)。展开知( 2)(8) . (a10f)证明对于不超过 k 次的多项式 p(x)有n p(xk)lk(x) p(x), k n k0lk( x)是关于互异节点 x0, x1, , xn, 的 Lagrange 插值基函数 证明：由插值唯一性定理知。(9) . (a10f)设 p(x)是任意首次项系数为 1的 n+1

12、 次多项式， lk(x)是关于互异节点 x0, x1, xn, 的 Lagrange 插值基函数n证明 p(x)p(xk)lk(x) wn 1(x)k0n其中 wn 1(x)(x xj)j0证明：插值余项直接计算(10).(a10f)已知函数lhim0 fx0, x1,证明：因 fx0 ,x1,ok! y=f(x)在点 x0的某邻域内有 n 阶连续导数，记 xk=x0+kh (k=1,2,n), 证明 ,x f (n)(x0) , xnn!f (n) ( ) ,xn f ( )(x 0,x 0+nh)注意到 n 阶导数连续性，两边取极限n!ok!0,1 上近似函数 ex, 如何估算节点数目使插

13、值误差(11) . (c10f) 用等节距分段二次插值函数在区间12 10-6 .解：考虑子区间 xi-1,xi二次插值余项f ( x) P2( x)f ( 3) ( )3!( x x i )( xxi 1/2 )( x xi 1)max (x xi )(x xi 1/ 26 x i x x i 1 i i 1/ 2)( x xi 1 )令 x=xi+1/2+s(h/2) 上式化简为emax6 1 s 16h3(s 1)s( s 1) 8eh 3 2 348 912 10 6得 h 0.0284133 令 eh3 2 3 令 48 9故子区间个数为 N=2/h 70.4, 取 N=71 故插值

14、节点数为 2N+1=143(12) . (b10分)设 f(x) 在区间a,b上有二阶连续导数， P1(x)为其以 a,b为节点的一次插值多项式，证明f(x) P1( x)(b a) 28amaxxb f (x)x a,b 证明：利用插值余项结果可得线性插值多项式P1(x)在子区间 a,b上的余项估计式，再估计最值 ok!f(x) P1( x)f ( )(x a)(x b) 2!hi2 max f/(x)8axbx a, b(13) . (b10 分)已知 s(x)是0,2上的已知自然边界条件的三次样条函数，试确定s(x)= 1 2 x x , 2 30 x 12 b( x 1) c(x 1)

15、2 d( x 1)3, 1 x 2中的参数 b,c,d 解：利用边界条件 s/(2-0)=0 及样条函数定义可得 b=-1,c=-3,d=1(14) . (b10分)判断下面 2个函数是否是 -1,1上以 0为内节点的三次样条函数。设32x3 3x2 x 2, -1 x 0(1) S(x)= 3 2x 3 3x 2 x 2,0 x 1(2)S(x)=5 x3 3 x2 x 2, x 3 3 x 2 x 2,-1 x 00x1解： (1)是， (2)否。74(15) .(a10f)令 f(x)=x 7+ x 4+3x+1 求 f20, 21,27及 f20, 21,28 f (n)( )解： f

16、x0,x1, ,xnn!0 1 7f20, 21,27=10 1 8f20, 21,28=0(16) .(a10f)证 明 n 阶均差有下列性质：(1) 若 F(x)=cf(x), 则 Fx0, x1,xn=c fx0, x1,xn(2) 若 F(x)=f(x)+g(x), 则Fx0, x1, ,xn= fx0, x1,xn+ gx0, x1, ,xnn证明： fx0,x1, ,xnak f(xk)k0其中，1ak=(xk x0 ) (xk xk 1)(xk xk 1 ) (xk xn )ok!(17) .(a10f)回答下列问题：( 1)什么叫样条函数？( 2)确定 n+1 个节点的三次样条

17、函数所需条件个数至少需要多少？( 3) 三转角法中参数 mi 的数学意义是什么？答：(1)略( 2) 4n 个( 3) mi=S/(xi) 即样条函数在节点 xi 处的一阶导数。(18) .(a10f)回答下列问题：( 1)何谓 Hermite 插值问题？( 2) Hermite 插值与一般多项式插值有什么区别？第 2 章 拟合(1). 采 用正交多项式拟 合可避免最小 二乘或最佳平方逼近中常见的 (9) 问题.(2) . 在函数的最佳一致逼近问题中 , 评价逼近程度的指标用的是函数的 (10) 范数. 在函数的最佳平 方逼近问题中 ,评价逼近程度的指标用的是函数的(11) 范数. 无穷范数

18、|f| ；2-范数(3) .§3. 计算题(1). (b10f) 设 f(x) -a,a 的最佳一致逼近多项式为 P(x),试证明(1) f(x) 是偶函数时 P(x) 也是偶函数；(2) f(x) 是奇函数时 P(x) 也是奇函数。 证明：( 1)令 t=-x, 考查ma axxa|f(x)-P(x)|=max |f(-t)-P(-t)|= max |f(t)-P(-t)|, 故 P(-x) 也是 f(x) -a,a 的最佳一致逼近多项式，由 a t a a t a最佳一致逼近多项式的唯一性知 P(-x)=P(x).( 2)略。(2). (a10f)试确定 0,1 区间上 2x3的

19、不超过二次的最佳一致逼近多项式p(x), 该多项式唯一否？解： p(x)=(3/2)x, 唯一。32(3) . 求 f(x)=2x3+x2+2x-1在- 1,1上的最佳二次逼近多项式 P(x)。已知T 0(x)=cos0=1T 1(x)=cos =x2T2(x)=cos2 =2x 2-1T 3(x)=cos3 =4x 3-3x42T4(x)=cos4 =8x4-8x2+1解 : f(x)=2 x3+x2+2 x- 1- P(x)=2123 1 T3(x)=1 T 3( x)2故 P(x)= f(x)- 1T3(x)= 2x3+x2+2x- 1- 2 x3+ 13x 2227= x + x -

20、1 2(4) . 求 f(x)=2x4在- 1,1上的 3次最佳一致逼近多项式 P(x)。已知T 0(x)=cos0=1T 1(x)=cos =x2T 2(x)=cos2 =2x -13T 3(x)=cos3 =4x -3xT4(x)=cos4 =8x4-8x2+1 解：P(x)=2x2- 1/4(5) . 求 f(x)=2x4在0,2上的 3 次最佳一致逼近多项式 P(x)。已知T 0(x)=cos0=1T 1(x)=cos =xT 2(x)=cos2 =2x 2-1T 3(x)=cos3 =4x 3-3xT4(x)=cos4 =8x4-8x2+1解：令 x=t+1, t -1,1, f(x

21、)=g(t)=(t+1) 4故 g(t)的 3 次最佳一致逼近多项式为32 P3(t)=4t 3+7t2+4t+7/8故 f(x)的 3 次最佳一致逼近多项式为32 P(x)=P3(x-1)= 4x 3-5x2+2x-1/8(6) . 设 f(x) Ca,b, ,证明 f(x)的最佳零次一致逼近函数为 s(x)=(M+m)/2 , 其中 M 和 m分别为 f(x)在a,b上的最大与最小值。(7) . 证明a,b上的正交函数系 H=h 1(x), h 2(x), , hm(x) 是线性无关的函数系。 证：写出线性组合式子 2 分 作内积求系数 2 分(8) . (10分)求 f(x)=ln x

22、,x 1,2上的二次最佳平方逼近多项式的法 (正规 )方程组。(要求精确表示，即 不使用小数) 解：取 =span1,x,x 2,a,b=1,2 法方程组为0, 00, 10, na0( f, 0)1, 01, 11, na1( f , 1)n , 0n , 1 n , nan( f, n)计算知2ln22ln 2 3/ 48ln 2 7/ 91 3/ 2 7/3 a0 3/2 7/3 15/ 4 a17 /3 15/ 4 31/ 5 a2解之得：a0=-1.142989, a1=1.382756, a2=-0.233507 最佳平方逼近多项式为 P2(x)=-1.42+1.38x-0.233

23、x 2 平方误差为2 -5|f-P2|22=(f,f)-a 0(f, 0) a1(f, 1) a2(f, 2) 0.4 10-5(9) . 设 f(x) 在有限维内积空间 span 0, n 上的最佳平方逼近为 p(x),试证明， f(x)-p(x) 与 中所有 函数正交。n证明：查 p(x)ak k ( x)k0(f(x)-p(x), j)=(f, j)- (p(x), j)注意到 ak 是法方程组的解。而法方程组0, 00, 1 0, na0( f, 0)1, 01, 11, na1( f, 1)n, 0n, 1 n, nan( f, n)两边的 j- th 分量为( j, 0) ( j,

24、 1) (j, n) =(p(x), j) ok!n(10) .设 p(x)ak k (x) 是在空间 span 0, n中对 f(x) Ca,b的最佳平方逼近 ,证明： (f-p,k0nf-p)=(f,f)-ak( k, f)k0证：注意到 ak 是法方程组的解。而法方程组0, 00, 1 0, na a0( f, 0)1, 01, 11, na1( f , 1)n , 0n , 1 n , nan( f, n)故 k=1,n, (f(x)-p(x), k)=0, (5 分)(p-f),p)=0 (5 分 )(f-p, f-p)=(f,f)-2(f,p)+(p,p)=(f,f)-(f,p)+

25、(p-f),p)=(f,f)-(f,p) (5 分)(11) . 求 下列矛盾方程组的最小二乘解x 1 x2 1 x1 x2 22 x1 2 x 2 33x1 x 2 4解： x1=-29/12, x2=-39/12写出相应的法方程组 A TAx=A Tb 5 分求解 x1=-29/12, x 2=-39/12 5 分(12) . 推 导用最小二 乘法解矛盾方程组 Ax=b 的法方程组 A TAx=A Tb 解：给出目标函数2h (x)=|Ax-b| 2 5=xTATAx-2x TA Tb+b Tb 5求偏导得到驻点方程组A TAx-A Tb=0 5(13) .证明： 0, ,n为点集 xi

26、mi= 1上的线性无关族 法方程 GTGa=GTy有唯一解。其中0(x0)1( x0 )n(x0)0(x1)1( x1)n(x1)G0(xm) 1(xm )n (xm)证：充分性) 。首先注意到若 a0,a1,.,an为方程组a0 0+a 1 1+an n=0 的解，则必为方程组( 0,0) a 0+ (1,0)a 1 + +(n,0)an=0( 0,1) a0+ (1,1)a1 + +(n,1)an=0( 0,n) a0+ (1,n)a1 + +(n,n)an=09)(10) 25的解。事实上，令 0, 1,n 分别与 (9)两端作内积得 (10)，知也！ 设|GTG| 0 (10)仅有 0

27、解 (9) 也仅有 0 解故 0, ,n无关。证必要性)。 0, ,n无关 (9)仅有 0解 即a =(a0,a1,.,an) 0 Ga 0 aTGTGa=(Ga)T(Ga)2 T T T=|Ga |22 >0 GTG 正定 |GTG|>0 |GTG| 0.证明：(y, k ) ak ( k, k )k 0,1, , n0, 00, 1证：法方程系数矩阵为QTQ=1, 01, 10, n1, n(14).若 0(x), 1(x), , n(x)是点集 x1,x2, ,xm上的离散正交族。n(x)ak k(x) 为给定数据对k0(xi,yi) (i =1,2, m,)的最小二乘拟和函

28、数。330 , 00001, 1=00 0n , n( y, k)( k, k )k 0,1, , n此时法方程为( 0, 0)( 1, 1)a0a1( y, 0)( y, 1)( n , n)an(y, n )故 akn(15) .若 0(x), 1(x), ,n(x)是a,b上的正交族。 (x)ak k(x)为 f(x)的最佳平方逼近。k0证明：( f, k)( k, k )k 0,1, ,n证：法方程系数矩阵为QTQ=0, 00, 11, 01, 10, n1, n0 , 0001, 1=00此时法方程为( 0 , 0)( 1, 1 )1)0n( n,故a(y, k )( k, k )k

29、 0,1, , n(16) . 求 函数 f(x)=|x| 在 -1,1 上求关于函数 族 span1, x2,x4 的最佳平方逼近多项式。1解：由内积 (f,g)=f (x)g( x)dx, 令 0=1， 1=x2, 2=x4,0, 00, 1 0, na0(f , 0)1, 01, 11, na1(f, 1)计算知法方程n, 0 n, 1n, nan(f, n)2 2/3 2/ 5a01得2/3 2/5 2/ 7a11 / 22/5 2/7 2/ 9a21/3解之得：a0=15/185=0.117a1=105/64=1.64 a2=-105/128=-0.820 最佳平方逼近多项式为 : 0.117+1.64x 2-0.820x 41(17) .求函数 f(x)=在1,3上求关于函数族 span1, x 的最佳平方逼近多项式。x3解：由内积 (f,g)=f( x)g( x)dx, 令 0=1， 1=x,计算法方程0, 00, 1 0, na0( f, 0)1, 01, 11, na1( f , 1)n , 0n , 1 n , nan( f, n)2 4 a 0ln34 26/ 3 a12解之得：a0=(13/2)ln3-6=1.14 a1=3-3ln3=0.295 最佳平方逼近多项式为 : 1.14