构造新数列求递推数列通项汇总

1、构造新数列求递推数列通项在研究数列问题时 , 数列的通项公式往往是首要解决的问题 . 在高中数学 中，数列的通项公式的求法有多种 , 但笔者认为利用构造新数列把非特殊数列转 化为等差 ,等比两种典型的特殊数列是最为重要的 . 但由于构造新数列需要比较 灵活的变形技巧 , 学生在应用构造新数列求数列通项时却往往会感到力不从心 . 为此本文以 2008 年数学高考试题中涉及的数列和平时教学中所遇到的典型的数 列为例,介绍利用构造新数列求数列通项的常用技巧 ,供读者参考 .1. 求由 an pan 1 f (n) 确定的数列通项公式例 1 已知an 满足a1 3,an 1 2an 1,n N * ，

2、求数列 an的通项公式 .解 令an 1 x 2(an x)，解得 x 1.则数列 an 1是首项为 4,公比为 2的等 比数列. 则an 1 (a1 1) 2n 1,得an 2n 1 1.故数列 an 的通项公式为 an 2n 1 1,n N* .2例 2 (2008湖北理科第 21题) 已知数列 an满足 a1 ,an 1 2an n 4,n N3其中 为常数 .求数列 an 的通项公式 .2解 令an 1 A(n 1) B(an An B),其中 A, B为待定系数 .n 1 3 n2 1 1 2即an 1anAn A B.又an 1an n 4,n N* ,则解得 A 3,B 21.3

3、 3 3 3 由此可得数列 an 3n 21 为等比数列 .则an 3n 21 (a1 3 21) (2)n 1,化简得 an (18 ) (2)n 1 3n 21.33故数列 an 的通项公式为 an (18 ) (2)n 1 3n 21,n N* .3评注 对于求由 an pan 1 f(n) 确定的数列的通项公式 , 一般方法为寻找关 于n的函数 g (n) ,构造递推关系 an g(n) pan 1 g(n 1) ,使得数列 an g(n) 为等比数列 ,进而求出数列 an的通项公式 .构造新数列最关键是寻找函数 g(n), 这需要根据 f (n)的结构而定 ,如 f(n)是关于 n的

4、一次式 ,则 g(n)也为一次式 , 如 f(n)是关于 n的二次函数 , 则 g(n) 也应为关于 n的二次函数 . 在确定 g(n)结构后再通过待定系数的方法求出 g(n) .2. 求由 an pan 1 f (n) r n 确定的数列的通项公式例 3 (2008年全国卷 II 第20题) 设数列 an的前 n项和为 Sn已知 a1 a， an 1 Sn 3n ， n N* ,求数列 an 的通项公式 .解 由于 an 1 Sn 3n,an Sn 1 3n1,则an 1 2an 2 3n 1 ,左右两边同除 3n 1得 3ann 11323ann92 .令 3ann11x32(a3nnx)

5、 ,(其中 x为待定系数 ,n 2),易得x2 .则数列 ann 2 从第 2项起为等比数列 .33n 3当n2时,ann2(a222)(2)n2,解得an(a 3)2n 223n 1.3 3 3 3 3故数列 an 的通项公式为a,n 1an (a 3) 2n 2 2 3n 1,n 2评注 求由an pan1 f(n) r n确定的数列的通项公式 , 一般可以通过左右两 边同除 r n ,消除不和谐的指数 rn, 使其化归为求由形如 an pan 1 f(n)确定的 数列的通项公式 .3. 求由 anpan 确定的数列的通项公式n qan r例 4 (2008 年陕西卷第 22 题) 已知数

6、列 an 的首项 a1 3,an13an ，n 1 5 n 1 2an 1n 1，2， 求 an 的通项公式 .3an解 由an 1 2a3nan 1,得 a1n 1 1312 11112.令 1x1( 1x),易得x1.3an 13anan11则数列 1 1为等比数列 .从而 1 1 anan11(a11 1) (13)n 1,解得an3n23n故数列 an 的通项公式为 a3 n ,n N *.2 3n评注 对于由分式递推关系确定的数列 ,对左右两边进行倒数是一种常用的技 巧和方法 .通过取倒数再构造新数列 ,最终把数列化归为等比或等差数列 ,进而求 出原数列的通项公式 .4.求由 an

7、2 p an 1 q an 确定的数列的通项公式例 5 (2008年天津卷文科第 20题)在数列 an 中,首项 a1 1,a2 2,且an 1 (1 q) an q an 1, (n 2,q 0) ,求数列 an 的通项公式 .解 令an 1 x an y(an x an 1),则an 1 (y x) an xy an 1 ,由条件得 yx1q,解得 xq, y 1,则数列 an qan 1为公差为 0的等差数列 .xy q故 an qan 1 a2 qa1 2 q,即 an qan 1 2 q.当 q 1时,an a1 n 1 n.当q 1时,令 an m q(an 1 m),则 m 2

8、q ,则数列 an q 2 是公比为 q, q 1 q 1首项为 1 的等比数列 .从而 an q1n1q即ann1qq2q1故数列 an 的通项公式为an n, qn 1 q 2q1q1,q 16例 6 (2008年广东理科第 21题)设 p, q为实数， , 是方程 x2 px q 0的 两个实根，数列 xn 满足 x1 p,x2 p2 q,xn pxn 1 qxn 2,n 3,n N* .求数 列xn 的通项公式 .解 令 xn mxn 1 n(xn 1 mxn 2),则xn (n m)xn 1 n mxn 2 ,由条件得或 m或n m p,解得 m, n的一组解为n m q则数列 xn

9、xn 1 是公比为 的等比数列 , 数列 xnxn 1 是公比为 的等 比数列.故 xnxn 1(x2x1)n 2 ,xnxn 1(x2x1)n 2.又 x1 p,x2 p2 q, p,q ，则 x22 2,x1.则 xnxn 1n ,xnxn 1n,当时, 解该两式有关 xn,xn 1的方程,得n 1 n 1()xn 1n n,( )xn n 1 n 1,即xnx1当时, xnxn1n,即为xnxn 1n,则 xnnxnn 111.则数列 xnn 是公差为 1的等差数列,则 xnnx1 n 1,解得 xnn n nn 1 n 1故数列 xn 的通项公式为 xn,nnn,评注 对于求由 an

10、2 p an 1 q an 确定的数列的通项公式 ,一般先构造形如 an 2 xan 1 y(an 1 xan) 的数列递推关系 ,使得数列 an xan 1 为等比数列 ,进而求数列 an 的通项公式 .其中的常数 x,y 利用待定系数法求得 .5.求由 an 2 an 1anq 确定的数列的通项公式例 7 (2008 年 重 庆 理 科 第 21 题) 设 各项 均 为 正 数 的 数列 an 满 足1 3 *a1 2,a2 ,an an 12 an 2,n N * .求数列 an的通项公式 .43解 对 an an 12 an 2 左右取对数得 log 2 an log 2(an 12

11、an 2 ) 33x2 xy 1即 log 2 an 22 log 2 an 1 log 2 an .令 log2 an 2 xlog2 an 1 y( log2 an 1 xlog2 an ) ,对照上式得 yx2 解得1 或解得 y 2 或 y 2x115x2. 由于log2 a22log2a10, log2a212 log 2 a125,故 得 数 列 l o2agn 2l o2gan1 是 各 项 为 0 的 常 数 数 列 , 数 列5log 2 anlog2 an 1 是首项为 25,公比为 2的等比数列 .1 n 3故得 log2 an 2log2an 1 0, log2 an

12、12log2 an 1 5 ( 2)n 3解上述有关 log2 an,log2 an 1的方程得 log2 an ( 2)n 1故数列 an 的通项公式为 an 2( 2)n 1评注 求由形如 an 2 an 1 np anq 确定的数列的通项公式 ,考虑到左右两边次数 的不统一,可以先左右两边取对数达到次数的统一,从而转化为求由 an 2 p an 1 q an 确定的数列的通项公式 .6.利用三角函数构造新数列求数列的通项公式a3例 8 已知数列 an 满足 a13,an 1 an 3 ,n N* ,求数列 an 的通项公3an 1式解 设 an tan n , 则 tan n anan 13tan n 1 tan3 tan( n 1n 1 1 tan tan n 13).故 an tan n tan( n 1 ) tan( n 2 2 ) tan 1 (n 1)33,(2 n)又 a13 tan ,则 an tan 1 (