柯西不等式与排序不等式及应用

1、第42讲柯西不等式与排序不等式及应用【考点解读】1. 认识一般形式的柯西不等式，会用函数思想方法证明一般形式的柯西不等式，并应用其解决一些不 等式的问题；2. 了解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式分析解决一些简单问题，体会运用经典不等式的一 般方法【知识扫描】1. 柯西（Cauchy）不等式（afy+ajb +anbn $ 兰（a；+ +a； Jb； +b； + +b； Hag R,i =1,2n）等号当且仅当a1 =a2= an =0或bi = kai时成立（k为常数，i =1,2n）2. 排序不等式（即排序原理）：设有两个有序实数组：& _a2 _ _an; bi _b _bn. c

2、1,c2, cn 是 b,b2，,bn 的 任一排列，则有aQ+a2b2 + + anbn （同序和）_aiCi - a2C2 + + anCn （乱序和） _aib - a2bn+ +anb （反序和）当且仅当印=a2 =an或d =b2 = bn时，反序和等于同序和.【考计点拔】牛刀小试：1. 若a,bR,且a2 b2 =10,则a-b的取值范围是（）A .- 2525B. 一2、危 210C .、10,jD .- * 5,j2.3.已知x1,那么2x2 3y2的最小值是（5 62536A.B.C.D.-6 5 3625函数y =2丁1 -x + J2x+1的最大值为4, 设实数x,y满足

3、3x2+2y2兰6，则P=2x + y的最大值是 5. 已知3x 2y =1，求x2 - y2的最小值。参考答案：1. A 25.(凑配法)x2 y21(x2 y2)(32 22) _ (3x 2y)2 1131313【典例解析】柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而 解，这个不等式结构和谐，应用灵活广泛，利用柯西不等式可处理以下问题：考点一：证明相关命题例1用柯西不等式推导点到直线的距离公式。 2 2已知点 m x0,y0 及直线丨:ZX my C =0-0设点p是直线丨上的任意一点，则2 2-X1 乂一*(1)(2)点p1p2两点间的距离P

4、p2就是点p到直线丨的距离，求（2）式有最小值，有xx/ - y。一Xo-为缈TyoyAx（）+Ey0 +C （直论 +E% +C ）由（1）（ 2）得：J直2 +e2Lp1 P2*|Ax0 +Ey +C| 即(3)6 / 5当且仅当y -如：怡-捲二二P-ip2- l （ 3）式取等号 即点到直线的距离公式PlP2|Ax+By+CB2考点二：证明不等式例2：已知正数a,b,c满足a b 1证明a3 b3 c3 a2 b2 c证明：利用柯西不等式r 3彳a2f 3弋 + b23332=a b c a b ci i 2 2 2 2 2 2 又因为 abcabbc ca 在此不等式两边同乘以2，再

5、加上a b 得：a bc 3abc24 4 d 2.22 爼 ,3.3i 3 爼 小, 2 i.2.2 ,a b c _ a b c *3 a b c2 2 2,333 a +b +c故 a3 b3 c3 .3考点三：解三角形的相关问题例3设p是LI ABC内的一点，x,y,z是p到三边a,b,c的距离，R是LI ABC外接圆的半径，证明、些、z 一1a2 b2 c2V2R证明：由柯西不等式得,x , y z+-ax by c;111abc记S为L ABC的面积，则ax by cz 二 2S4R 2R故不等式成立。考点四：求最值ab bc caabc、x y , z z=.ab bc c _、

6、a2 b2 c22R2R例4：已知实数a,b,c ,d满足a b c d=3， a2 2b2 3c2 6d 5 试求 a 的最值解：由柯西不等式得，有j 222 M 11 2启(b+c + d )即 2b2 +3c2 +6d2 启(b +c+d )2 2由条件可得， 5_a H(3_a)解得，s当且仅当逸嚅嚅时等号成立11amax - 2代入b = 1, c, d 时，36b =1,c = 2,d =1 时33amin - 1考点五：利用柯西不等式解方程 例5.在实数集内解方程9-8x 6y -24y = 39解：由柯西不等式，得(X2 +y2 +z2 )(8 卄62+ (一24 )2*( x

7、 +6y _24y + 62 +(24 打64 36 4 144 严3922 2又(8x+6y _24y ) =39x2 y2 z2 j i 8 $ 62 弋-24 2 = -8x 6y - 24z 2即不等式中只有等号成立从而由柯西不等式中等号成立的条件，得x _ y _ z-8 6 -24它与x 6y -24y =39联立，可得x 二13y =2618z 二13【变式训练1】 已知ad - b2- a2 1,求证：a2 2=1。证明：由柯西不等式，得 a 1b2 b11a2 - a2 1a2 b2 1b2 】=1bJ1 _b2当且仅当 b时，上式取等号，的a2 aa2b2 =1aa21-b2, a2b2 = 1-a2 1-b2 ,于【变式训练2】解方程【解析】：(x+1)22(x+1)2+ (x + 1)由柯西不等式知X222 (x 1)2