概率论与数理统计答案

1、4习题答案第1章三、解答题1 .设P(AB) = 0，则下列说法哪些是正确的？A和B不相容；(2) A和B相容；(3) AB是不可能事件；(4) AB不一定是不可能事件；(5) P(A) = 0 或 P(B) = 0(6) P(A -B) = P(A)解：(4) (6)正确.2. 设 A, B 是两事件，且 P(A) = 0.6 , P(B) = 0.7,问：(1) 在什么条件下P(AB)取到最大值，最大值是多少？(2) 在什么条件下P(AB)取到最小值，最小值是多少？解：因为 P(AB)乞 P(A) P(B) -P(A B)，又因为 P(B)_P(A B)即 P(B)P(A B)_0.所以(

2、1)当 P(B) =P(A B)时 P(AB)取到最大值，最大值是 P(AB) =P(A)=o.6.P( A B) =1时P(AB)取到最小值，最小值是 P(AB)=0.6+0.7-1=0.3.3. 已知事件 A，B 满足 P(AB)二 P(AB)，记 P(A) = p,试求 P(B).解：因为 P(AB)二P(AB)，即 P(AB) =P( ) =1 _ P(A B) =1 _ P(A) _ P(B) P(AB)，所以 P(B) =1 -P(A) =1 - p.4. 已知 P(A) = 0.7，P(A -B) = 0.3,试求 P( AB).解：因为 P(A -B) = 0.3，所以 P(A

3、 ) -P(AB) = 0.3, P(AB) = P(A )-0.3,又因为 P(A) = 0.7 ,所以 P(AB) =0.7 -0.3=0.4, P(AB) =1 - P(AB) = 0.6.5. 从5双不同的鞋子种任取 4只，问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少?解：显然总取法有 n二C10种，以下求至少有两只配成一双的取法k :法一：分两种情况考虑：k C：（c；）2 + c；121 2法二：分两种情况考虑:其中：C5C4（C2）为恰有1双配对的方法数其中：1 11 C8 C6C5-为恰有1双配对的方法数2!25法三：分两种情况考虑：k 二c5（c； -c4）+c；121其中：

4、C5（C8 -C4）为恰有1双配对的方法数法四：先满足有1双配对再除去重复部分：k=c5c；-C；法五：考虑对立事件：k = c10 - c 5（c2）4其中：414C5 （C2）为没有一双配对的方法数法六：考虑对立事件：k C4c；0 c- c： c4k 一 c104!其中： G° C8 C6 C4为没有一双配对的方法数4!所求概率为p 4C；o13216在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任取3人记录其纪念章的号码求:（1）求最小号码为5的概率;求最大号码为5的概率.解：（1）法一:C5法二:C10右，法二:c3a；1c：1020，法二:c3a21207 .将3个

5、球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率.解：设M1, M2, M3表示杯子中球的最大个数分别为1，2，3的事件，则a3 3C3 x a29c41P（MJ 3, P（M2） J 4, P（M3）4438431643 168设5个产品中有3个合格品，2个不合格品，从中不返回地任取 2个，求取出的2个中全是合格品，仅有一个合 格品和没有合格品的概率各为多少？解：设M2, Mi, Mo分别事件表示取出的2个球全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品，则P(M2)Cf-0.3, P(M1)c3c26,P(MirC|C5= 0.19.口袋中有5个白球，3个黑球，从中任取两个，求

6、取到的两个球颜色相同的概率.解：设M1= “取到 两个球颜色相 同” ，M1= “取到 两个球均为白球”，M2= “取到两个球均为黑球”，则M = M1M2且M1 M2 二.C2 c2所以 P(M)=P(M1 M2 P(M1) P(M2)22C8 C8132810.若在区间（0，1）内任取两个数，求事件“两数之和小于6/5”的概率.解：这是一个几何概型问题.以x和y表示任取两个数，在平面上建立xOy直角坐标系，如图任取两个数的所有结果构成样本空间：=（x，y）: 0 :x，y : 1事件 A = “两数之和小于 6/5 ” = （x，y） : : x + y : 6/5因此A的面积P（A）二啲

7、面积125图？11.随机地向半圆 0 ： y ：, 2ax - x2 （ a为常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正兀比，求原点和该点的连线与 x轴的夹角小于一的概率.4解：这是一个几何概型问题.以x和y表示随机地向半圆内掷一点的坐标，表示原点和该点的连线与 x轴的夹角,在平面上建立xOy直角坐标系，如图.随机地向半圆内掷一点的所有结果构成样本空间= （x，y）： 0 x 2a,0 ： y ；： ：;'2ax x2ji事件A ="原点和该点的连线与 x轴的夹角小于 '4=(x，y)： 0 ： x ： 2a,0 ： y ： 2ax 一 x2,04因此

8、D/A A的面积P(A)=门的面积12已知 P(A)二14，p(ba)1= 3，P(AB)，求 P(A B) 1解：P(AB)二 P(A)P(B A)二4丄，P(B)=12P(AB)P(A|B)丄一12 213设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率是多少?解：题中要求的“已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率”应理解为求“已知所取 两件产品中至少有一件是不合格品，则两件均为不合格品的概率”。设A= “所取两件产品中至少有一件是不合格品”，B= “两件均为不合格品”； C 2C15P(A) =1-P(A)

9、=1-C|，P(B)=#C103 C1014. 有两个箱子，第1箱子有3个白球2个红球，第2个箱子有4个白球4个红球，现从第1个箱子中随机地取1个 球放到第2个箱子里，再从第2个箱子中取岀一个球，此球是白球的概率是多少？已知上述从第2个箱子中取岀的球是 白球，则从第1个箱子中取岀的球是白球的概率是多少？解：设 A= “从第1个箱子中取出的1个球是白球”，B= “从第2个箱子中取出的1个球是白球”，则C；3-2P(A) 1, P( A)，由全概率公式得C555由贝叶斯公式得15. 将两信息分别编码为 A和B传递出去，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02,而B被误收作A的概率为 0.01，信

10、息A与信息B传送的频繁程度为2 : 1,若接收站收到的信息是 A,问原发信息是A的概率是多少？解：设M= “原发信息是A”，N= “接收到的信息是 A”，已知所以 由贝叶斯公式得16 三人独立地去破译一份密码，已知各人能译岀的概率分别为1 1 -，问三人中至少有一人能将此密码译岀的534概率是多少?解：设Ai= “第i个人能破译密码”，i= 1,2,3.111423已知 P(Ai),P(A2),P(Aa),所以 P(A),P(A2),P(Aa),534534至少有一人能将此密码译岀的概率为17. 设事件A与B相互独立，已知 P(A) = 0.4 , P(AU B) = 0.7，求 P(BA).

11、解：由于A与B相互独立，所以 P(AB)=P(A)P(B),且P(A U B)=P(A)+ P(B) - P(AB)= P(A)+ P(B) - P(A)P(B)将 P(A) = 0.4 , P(A U B) = 0.7 代入上式解得 P(B) = 0.5，所以或者，由于A与B相互独立 所以A与B相互独立，所以18. 甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率是多少？解：设A="甲射击目标”，B="乙射击目标”，M="命中目标”， 已知 p(a)=p(B)=1, P(M A)=0.6,P(M B)=0.5,

12、所以由于甲乙两人是独立射击目标，所以19 某零件用两种工艺加工，第一种工艺有三道工序，各道工序岀现不合格品的概率分别为0.3，0.2，0.1 ;第二种工艺有两道工序，各道工序岀现不合格品的概率分别为0.3，0.2,试问：(1) 用哪种工艺加工得到合格品的概率较大些？(2) 第二种工艺两道工序出现不合格品的概率都是0.3时，情况又如何？解：设Ai= “第1种工艺的第i道工序岀现合格品”，i= 1,2,3; Bi= “第2种工艺的第i道工序岀现合格品”，i=1,2.(1) 根据题意,P(A1)=0.7，P(A2)=0.8，P(A3)=0.9，P(B1)=0.7,P(B2)=0.8,第一种工艺加工得

13、到合格品的概率为P(A1A2A3)= p(A1)p(A2)p(a3)= 0.7 0.8 0.9 二 0.504,第二种工艺加工得到合格品的概率为p(B1B2)= p(B1)P(B2)= 0.7 0.8 二 0.56,可见第二种工艺加工得到合格品的概率大。(2) 根据题意，第一种工艺加工得到合格品的概率仍为0.504,而P(B1)=P(B2)=0.7,第二种工艺加工得到合格品的概率为P(B1B2)= P(B1)P(B2)= 0.70.7 二 0.49.P(A) = P(B)=P(C)讨，且已知可见第一种工艺加工得到合格品的概率大。1 .设两两相互独立的三事件A，B和C满足条件ABC =:p(a

14、B »16求 P(A).解：因为ABC =，所以P(ABC) =0,因为a, B, c两两相互独立，P(A)二P(B)二P(C),所以由加法公式 P(A B C) =P(A) P(B) P(C) - P(AB) - P(BC) - P(AC) P(ABC)得293P(A) -3P(A)2即4P(A)-34P(A)-1=01611考虑到P(A)，得P(A).241 2.设事件a, b, C的概率都是 ，且P( ABC ) = P( ABC)，证明：212P(ABC)二 P(AB) P(AC) P(BC) -证明：因为P(ABC) =P(ABC)，所以P(ABC) =1 _ P(A B

15、C) =1 _P(A) P(B) P(C) _ P(AB) _ P(BC) _ P(AC) P(ABC)将1P(A) =P(B) =P(C)代入上式得到整理得3. 设 0 < P(A) < 1 , 0 < P(B) < 1 , P(A|B) + P(A|B)=1, 试证A与B独立.证明：因为P(A|B) +P(A|B) =1，所以将 P(A B) =P(A) P(B) -P(AB)代入上式得两边同乘非零的P(B)1- P(B)并整理得到所以A与B独立.4设A, B是任意两事件，其中 A的概率不等于0和1,证明P(B | A)二P(B | A)是事件A与B独立的充分必要条

16、件.证明：充分性，由于 P(B | A)二P(B | A)，所以P(AB)= P(AB),即P(A) P(A)两边同乘非零的P(A)1-P(A)并整理得到P(AB)二P(A)P(B),所以A与B独立.必要性：由于A与B独立，即P(AB) = P(A)P(B),且P(A) = 0, P(A) = 0,所以一方面 另一方面所以 P(B | A) = P(B | A).5.学生接连参加同一课程的两次考试第一次及格的概率为p，若第一次及格则第二次及格的概率也为p;若第一次不及格则第二次及格的概率为2(1) 若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率.(2) 若已知他第二次及格了，求他第第

17、一次及格的概率.解：设Ai= “第i次及格”，i=1, 2已知 P(Ai) = p, P© |A) = p,P(A2 |A)专，由全概率公式得(1) 他取得该资格的概率为(2) 若已知他第二次及格了，他第一次及格的概率为6每箱产品有10件，其中次品从0到2是等可能的，开箱检验时，从中任取一件，如果检验为次品，则认为该箱产品为不合格而拒收由于检验误差，一件正品被误判为次品的概率为2%，一件次品被误判为正品的概率为10% 求检验一箱产品能通过验收的概率.解：设Ai= “一箱产品有i件次品”，i=0, 1，2.设M= “一件产品为正品”，N= “一件产品被检验为正品”.1 已知 P(AJ

18、= P(A)二 P(AJ, P(N | M 0.02, P(N |M) =0.1,3由全概率公式91-P(M) =1 -P(M) =1,又 P(N | M ) =1 - P(N | M ) =1 -0.02 = 0.98,由全概率公式得一箱产品能通过验收的概率为7 用一种检验法检验产品中是否含有某种杂质的效果如下若真含有杂质检验结果为含有的概率为0.8 ;若真含不有杂质检验结果为不含有的概率为 0.9;据以往的资料知一产品真含有杂质或真不含有杂质的概率分别为0.4和0.6 今独立地对一产品进行三次检验，结果是两次检验认为含有杂质，而有一次认为不含有杂质，求此产品真含有杂质的概率.解：A= “一

19、产品真含有杂质”，Bi= “对一产品进行第i次检验认为含有杂质”，i= 1,2,3.已知独立进行的三次检验中两次认为含有杂质，一次认为不含有杂质，不妨假设前两次检验认为含有杂质，第三次认为检验不含有杂质，即 B1，B2发生了，而B3未发生.又知 P(Bi |A) =0.8,P(Bj | AH 0.9, P(A) =0.4,所以所求概率为P(A| B1B2B3)二P(AB1B3)P( B1B2 B3)P(A)P(B1B2B3| A) P(A)P(B1 B2B3| A)由于三次检验是独立进行的，所以2发，已知火炮与坦克8.火炮与坦克对战，假设坦克与火炮依次发射，且由火炮先射击，并允许火炮与坦克各发

20、射每次发射的命中概率不变，它们分别等于0.3和0.35.我们规定只要命中就被击毁试问(1) 火炮与坦克被击毁的概率各等于多少？(2) 都不被击毁的概率等于多少？解：设Ai="第i次射击目标被击毁”，i=1,2,3,4.已知 P(AJ = P( A3) =0.3, P( A2) = P( A4) = 0.35,所以(1)火炮被击毁的概率为坦克被击毁的概率为(2)都不被击毁的概率为9甲、乙、丙三人进行比赛，规定每局两个人比赛，胜者与第三人比赛，依次循环，直至有一人连胜两次为止，此1人即为冠军，而每次比赛双方取胜的概率都是，现假定甲乙两人先比，试求各人得冠军的概率.2解：Ai= “甲第i局

21、获胜”，Bi= “乙第i局获胜”，Bi= “丙第i局获胜”，i=1,2,.，1已知P(AJ hPCBJ =P(G) ,i =1,2,.，由于各局比赛具有独立性，所以2在甲乙先比赛，且甲先胜第一局时，丙获胜的概率为P(A1C2C3A1C2 B3A4c5c6A1C2 B3A4C5 B6A7C8C9)=17 ,同样，1 '在甲乙先比赛，且乙先胜第一局时，丙获胜的概率也为第二章141 2丙得冠军的概率为 2,甲、乙得冠军的概率均为772一、填空题：1. P”X _ x?, F(X2)-F(X1)2. PX =k =C：pk(1 -p)n±，k = 0, 1，n.k3. PX =k0为

22、参数，k = 0，1，k!14.1-：:x : -X-112pi0.40.40.25 f(x) 口0,a : x : b其它6.f (x)2 二；(x _ J2-r2 二x27.-:：:x :8.ba - 1仁 )-门(acr9.分析：由题意，该随机变量为离散型随机变量，根据离散型随机变量的分布函数求法，可观察岀随机变量的取值及概率。910.64分析：每次观察下基本结果“XW1/2 ” 出现的概率为2 f (x)dx 二 i 22xdx1，而本题对随机变量4取值的观察可看作是3重伯努利实验,所以11.PX : 2.2 鼻 P-1 2.2 -1 < 2 22 2 1丁八E,2同理，P| X

23、 | :3.5 =0.8822.12.G(y) =p2 =3X +1 兰 y = PX <y -13V).1313.，利用全概率公式来求解:48二、单项选择题:1. B，由概率密度是偶函数即关于纵轴对称，容易推导-a0010F(-a)= f (x)dx f (x)dx- f (x)dx - f (x)dx-a2 -a-3Da0f(x)dx2. B，只有B的结果满足F( ：) =Jim-F(x) =13. C，根据分布函数和概率密度的性质容易验证2, X 兰24. D，Y，可以看出丫不超过2,所以kX,X <2FY(y)二 PY 乞 y心y -2卩，'px 兰 yy 

24、3;2 一 " 1_2_x沪 dx，y:2可以看岀，分布函数只有一个间断点B （第四次命中）同时发生的概率，即5. C,事件的概率可看作为事件 A （前三次独立重复射击命中一次）与事件P = P(AB)=P(A)P(B)=c3p(1 p)3* p.三、解答题分析:1- (1)余一个1至6点均可，共有1 1C26-1 （这里c2指任选某次点数为1，6为另一次有6种结果均可取，减1即减去两次均为 1因为C；6多算1了 一次）或。2汉5 + 1种，故1P11U36C1 5 13611，其他结果类似可得.362.显然 P = 99 ；=注意，这里_2Ci"126X123456Pi这

25、里的概率均为古典概型下的概率，所有可能性结果共36种，如果X=1，则表明两次中至少有一点数为1，其QO3.'二 a ae= 1，所以 a = e_， 心 k!0，x : -14.(1) f (x)PiX0，x:-1PXPX - -1 PX =2,2 岂 x ：31，x -31，-仁 x ： 24,2 一 x ： 341，x -3<12=p'X - 1-=43P乞X 乞3： PX= 2)IX=3二P'X二 2Pa=3?=-46.5.213m5X P 0.5t 二 P 1.5 PX=0 =1 e：5(2)0.5t =2.5 Px _1二1 -P*7解：设射击的次数为

26、X，由题意知 X B 400,0.2PX K2 = 1 PX " = 1送KTC：00O.O2kO.98400 上 £ 0.28 = 0.9972，其中 8=400x 0.02. 心k!&解：设X为事件A在5次独立重复实验中出现的次数，X B 5,0.3则指示灯发岀信号的概率=1 0.8369 =0.1631 ;-x9.解：因为x服从参数为5的指数分布，则F(x)=1-e5，PX 10：1 - F(10) =e则 PY 二 kk .2 k25 _k=C5 (e ) (1 - e ) ,k = 0,1,510.、由归一性知:11 = f (x)dx = j2”acos

27、xdx = 2a，所以 a =-、P 0 Xji - 11-中2:4 cosxdx sin x I4 =40 22411.解(1 )由F(x)在x=1的连续性可得1叫F (x)=呵 F (x) = F (1)，即A=1.(2)P'0.3 ： X ： 0.7： = F(0.7)F(0.3) =0.4.（3） X的概率密度'2x,0 c X £ 1f(x) =F (x)二I0,12.解因为X服从（0, 5）上的均匀分布，所以-0 c x c 5 f(x) =<50其他2 2 2若方程 4x 4Xx X 2 二 0有实根，则(4X ) - 16X 一 32 _ 0，即

28、X _ 2 X _ -1 ,所以有实根的概率为13.解：（1）因为X N（3,4） 所以PX c，则PX"'F（”号，经查表得1 c _3（0） ，即0，得c = 3 ；由概率密度关于x=3对称也容易看出。2 2(3) P 7心1-卩汉1_F(d)=1 -门()_0.9，d -3d -3则：:（）_0.1，即：:丫-）_0.9，经查表知:（1.28） =0.8997，d3故-1.28，即 d 乞0.44 ；214.解:plx k ； = 1 < k .；=1 一 P一k 岂 X 乞 kl -1 一门(兰)(一兰)CTCTk1k所以：（一）= 0.95， pX : k ：

29、 = F （k） 一 ：（ ）=0.95 ；由对称性更容易解出;CT<Jpx -卩上面结果与坊无关，即无论怎样改变，P<X 円< CT 都不会改变;16.解：由X的分布律知px-2-10134101921013所以Y的分布律是118(2) FY2(y) =P”2 Ey = P"3 X=_3_y=1_Fx (3_y)，Z的分布律为则 F(x)二 一1J217.解因为服从正态分布x2e 2二 dx，f(x)-.2二二 Jq31 CT(x.2Fy(y)二 P'ex 乞 y 当 y 乞0时，FY(y) = 0,则 fY(y) =0当 y 0时，FY(y) = p&#

30、39;ex 乞 yf = p'x空 |n y?(ln y.J所以Y的概率密度为fY(y)二y 2-L 71y _018.解 X U(0,1) , f(x)=m"10 £ X £ 1fy (y) = p "丫 乞 y $ = p "1 _ x 乞 y $ = 1 _ f(1-y)所以 fY(y) = fx(1 y) = *1, 0<1 - y < 10,其他1,0,0 y : 1其他11 < x < 20 其他19.解：XU (1,2)，贝U f (x) = «当 y m 时，FY(y) = P"

31、;e2X 乞 / = 0，FY(y)=PXln yi21二 Fx (尹 y)20.解：(1)FY(y) = P<Y Ey=P3X 兰 y = px 兰一1FX(3 y)因为一1 ： x :： 1其他3 2x fx(x)二 2i0所以1 1fMy) =3 fx (§y)1 2 d 1 d y , -1y ： 1=1830 , 其他fy2 , _3 £ y £ 30 ,其他因为fx（X）3x2二 22-1 ；： X ：:' 1其他所以 fY2 (y)二fx (3-y)J 2 彳 J 、2 c /y) , 1丈3-yv1_；(3-y) , 2<y&l

32、t;4 - 2 - 20,其他0,其他（3）Fy/刃异丫3 乞 yjpfx2 乞 y当 y 口 时，FY3(y)二 P、X2 一 y0，(y) = F% (x) = 0当y 0时,卩冷卜）y 乞X -y、Fx ；y Fx（ y），所以fY3(y)二匕fxSfx",2, yy 0y空0因为-1 ： x : 1其他3 2 fx (x)二 2 %1°所以以八代归0其他1四应用题1 解：设x为同时打电话的用户数，由题意知X B 10,0.2设至少要有k条电话线路才能使用户再用电话时能接通的概率为0.99，则kk f iPx Ek二' 。，。空。©10e - 0.9

33、9，其中，=2,i=0i =0 i!查表得k=5.2解：该问题可以看作为10重伯努利试验，每次试验下经过5个小时后组件不能正常工作这一基本结果的概率为1-04e ，记x为10块组件中不能正常工作的个数，则x B(10,1-0.4、-e )，5小时后系统不能正常工作，即g -2"，其概率为2x B(3,0.4931)，3解：因为x N （20,40 ），所以设Y表示三次测量中误差绝对值不超过30米的次数，则0033(1) PY 色1 =1 -PY = 0 =1-C；0.49310(1 -0.4931)3 =1 -0.50693 =0.8698.1 1 2(2)PY =1 =C3 0.4

34、931 X 0.5069 =0.3801.4.解:当y ：0时，丫乞y是不可能事件，知 F（y） =0,彳 x-yy 1 55e dx =1 ， 0 5当0乞y :： 2时，丫和X同分布，服从参数为5的指数分布，知F （y）当y 一 2时，Y乞y为必然事件，知F（y） = 1，因此，Y的分布函数为o , y c 0yF(y) 二打-e-5,0 兰 y v2 ；1,八225解：（1）挑选成功的概率P =C8170设10随机挑选成功的次数为X，则该X B10,设10随机挑选成功三次的概率为:PX =31心（和（讳:0.00036,以上概率为随机挑选下的概率，远远小于该人成功的概率3/10=0.3，

35、因此，可以断定他确有区分能力(B)0, x v 01X, 0兰x兰1311.解：由概率密度可得分布函数 F(x)=丿一 1cxc33，1 2-+ (x3), 3 兰x 兰6391,x6QA由于Px_k，2，即 F（k）= 3，易知仁心3；2.解：X服从（-1,2）的均匀分布,f(x)1，一仁 x2 又1 ,X=°,0,其他，厂1,X<0,则卩丫 ="=PX 兰0 = 0 f (x)dx = lx3-1所以Y的分布律为3. 解：FY(y) =P1-3X HX _(1-y)3-Fx(1-y)3,fY(y) = FyW)" = -F(y)3 =-fxh-y)3 阳

36、一y)盯=3(1 一y)2 fx D-y)3】3(1 - y)2二 1 (1 - y)64.证明：因fx(x)是偶函数，故fx(-X)二fx(x),FY(y)二 PY 乞 y二 P-X 乞 y二 PX _-y =1 - PX _ -y =1 Fx(-y) 所 以IfY(y)二 Fy (y)二 fx(-y)二 fx(y).5.解：随机变量X的分布函数为0, XE1F(x) =Vx-1, 1<xc8，显然 F(x)"0,1,1,x 兰8FY(y) =PY 曲 =PF(X)乞 y，当y ：0时，F(X)_ y是不可能事件，知FY(y)=O,当 0 咗 y : 1 时，FY(y) =P

37、3 X 一1 y =PX - (1 y)3 =y，当y_1时，F(X)乞y是必然事件，知FY(y)=1，0,y <0即Fy(vHy,o y门。k心01126.( 1)FY(y) =PY1 兰 y二 P2X 1 岂 y =PX 乞号当y 一12当2所以-0时，即 y 1 时，FY(y)二 PX _誇-0 时，即 y>1 时，FY1 (y)二 P X 岂 f二1 -yyJ* Odx'，y -12 edx = 1 - e 2fY1 (y)，其他2e，xdx = y ,当 y -1 时，Fy1 (p x 二l 2-he _=0 2ef， FY2(y)皆丫2 曲 =P& 曲,

38、Xx当y _ 0时，e - y为不可能事件，则F丫(y)二Pe _ y = 0,xr! ln y当 0 ： y 仙，lny_0,则 F丫(y) = Pe _y=PX_lny 0dx = 0,当 y 1 时，In y 0，则 Fy? (y) = P'X 乞 In y / = o 'edx = 1 - 1 ,根据fY2(y)十丫2(丫)得Q y< f丫2(八 J_,y 1 ；y FY3(yPY3 < y二 PX2 乞 y，当 y 乞0时，FYy)二 PX2 乞 y =0，当 y 0时，(y) =PX2 乞 y. y 乞 X 乞.，y edx =1 e_ y，0,八0所以

39、fY3 ( y)=屮 y > 0 ；27'、 亠 £/、；2ex,x07. （1）证明：由题意知f（X）=。、0 ,X"¥ =ex，FyO）二 PYyHPey，当 y _ 0时，fY1( y) = 0 即彳丫( y) = 0，当 0 ： y ：1 时，Fy1(yH Pe"乞 y0,故有 fY1 (y)= “1,0< y <1，可以看出Y1服从区间（0, 1）均匀分布; 丫2 二ex, F/y) = PYk 曲 =P1-e" 曲二PeX -1-y当一y 兰 0时，FY2(y) =PeQ 1- y =1,当 0 ：1 -

40、y ：1 时，Fy2(y)pe""y =px M J"(1一y)_ln(1 _y)2 2e'xdx当 1yM1 时，FY2(y)=Pe/x M1-y=PX 兰-ln(1 - y)_l n(1 _y)2 0dx由以上结果，易知fY (y) = *1，y：1,可以看出y服从区间(0, 20,1)均匀分布。第三章1解：(X,Y)取到的所有可能值为(1,1),(1,2),(2,1)由乘法公式:PX=1,Y=1=PX=1PY=1|X=1|=2/3 1/2=/3 同理可求得 PX=1,Y=1=1/3; PX=2,Y=1=1/3(X,Y)的分布律用表格表示如下：2解：X

41、，Y所有可能取到的值是 0, 1, 2 PX=i, Y=j=PX=iPY=j|X=i|= , i,j=0,1,2, i+j 2或者用表格表示如下：X|01203/286/281/2819/286/28023/2800(2)P(X,Y) A=PX+Y 1=PX=0, Y=0+PX=1,Y=0+PX=0,Y=0=9/14P(AB) P(AB) “c沖3 解：P(A)=1/4,由 P(B|A)=1/2得 P(AB)=1/8P(A) 1/4P(B)由 P(A|B)= P(AB) =1/2得 P(B)=1/4(X,Y)取到的所有可能数对为(0,0),(1,0),(0,1),(1,1),则px=o,y=o

42、=)P(AB) =P(A)-P(B)+P(AB)=5/8PX=0,Y=1=P(B)=P(B-A)=P(B)-P(AB)=1/8PX=1,Y=0=P(A)=P(A-B)=P(A)-P(AB)=1/8PX=1,Y=1=P(AB)=1/84.解：由归一性知：1=,故 A=4(2) PX=Y=0(3) PXvY=-(4)或F(x,y)=,或即 F(x,y)=5.解:PX+Y1= f(x, y)dxdy 二x y .16解：X的所有可能取值为0,1,2,Y的所有可能取值为 0,1,2, 3. 33PX=0,Y=0=0.5 =0.125;、PX=0,Y=1=0.5 =0.1251 2 1 2PX=i,y=

43、1= C20.50.5 =0.25, PX=1,Y=2= C2 0.50.5 = 0.2533PX=2,Y=2=0.5 3=0.125, PX=2,Y=3=0.5 '=0.125x,y的分布律可用表格表示如下:xY0123Pi.00.1250.125000.25100.250.2500.52000.1250.1250.25P.j0.1250.3750.3750.12517. 解:f(x,y)0,0 ： x y其它r 2一 、 cx y8.解：f(x,y) =0,x2 虫dx24c212 1-：j-J-f (x, y)dxdy = d x2cx ydydx = 2c 0所以c=21/42

44、1 J fx (x)二总(1沏=打护2阳|x|<Q21x2(19 解:e2 1SDdx =1 n x|：1 x0,其它-x4)80,|xh 1其它(X,Y)在区域D上服从均匀分布，故 f(x,y)的概率密度为10 解:”3x, f(x,y)io,0 ： ： x : 1,0 ： ： y x其它当0vx ：1时,2即，fY|X (y | x ' xI。,0 ： y x 岂 1其它11解:f(x,y)0,0 . x :： 1,1 y I :： x其它2当时 £ / i 、 f(x, y)-, °<xc1,xvyvx 当 y 0 时，fxY(x| y)1 yfY

45、(x)0,其它r i当 y>0 时，fxY(x|y)二= ，"XJ-XTZ fY(x) 0,其它所以,fxiY(x| y)=f(x, y)fY(x)1= i-|y|0,0 ： | y | ： x : 1其它12 解：由 fx|Y (x| y) = f (x, y)得 fY(x)13解：Z=max(X,Y),W=min(X,Y)的所有可能取值如下表Pi0.050.150.20.070.110.220.040.070.09(X,Y)(0,-1)(0,0)(0,1)(1,-1)(1,0)(1,1)(2,-1)(2,0)(2,1)max(X,Y)001111222Min( X,Y)-1

46、00-101-101Z=max(X,Y),W=min(X,Y)的分布律为Z012Pk0.20.60.2W-101Pj0.160.530.3114解：fx(x)= F x 0fY(y)=冲 y 00,x 兰00,y0x1e - dydx 二一由独立性得X，Y的联合概率密度为则 PZ=1=PX Y= f(X, y)dxdyx：iyPZ=0=1-PZ=1=0.5故Z的分布律为Z01Pk0.50.51 x2+y2<M15 解：f(x, y)二，x y - 10,其它2 2同理，fY(y)=庄小 一 y，1 y l<10,其它显然，fX(x) = fY(y)，所以x与y不相互独立.1,0 e

47、x <11,0 c y cl16 解:皿*。，其它fY(y)o,其它利用卷积公式：fz(zr .Jx(X)fY(z-X)dx 求 fZ(z)1,fx(X)fY(ZX)=丿o0 ： x : 1,x ： z ： 1 x其它 fx (x)=彳,0 ： x : 1r-y其它fY(y) = V0,1 ,e (x 1)(x>o)2同理,1fY(y)十(y 0 y>0显然,fX(x) = fY(y)，所以x与丫不相互独立利用卷积公式：fz(z) = Ufx(z-y)fY(y)dy仃解：由定理 3.1 (p75)知，X+YN(1,2)=：(0) =0.5故 PX Y 乞1 =PX 丫 一1

48、<218 解:(1) fx(x)二.f(x,y)dx= 0 -(x y)e4x y)dy0 2-bo(2).利用公式 fz(z)二 _fx(x, zx)dx19解：并联时，系统 L的使用寿命Z=maxX,Y因 XE( ),YE(),故串联时，系统L的使用寿命Z=minX,Y(B)组1 解：PX=0=a+0.4, PX+Y=1=PX=1,Y=0+PX=0,Y=1=a+bPX=0, X+Y=1= PX=0,Y=1= a由于X=0|与X+Y=1相互独立，所以PX=0, X+Y=1=PX=0 PX+Y=1即a=(a+0.4)(a+b)(1)再由归一性知：0.4+a+b+0 .仁1(2)i x70o2(2-x-y)dydx=刃解(1),(2)得a=0.4, b=0.12 解: PX 2Y二 f (x, y)dxdy =x 2y-bo利用公式fZ (z)二f(x, z-x)dx计算a23.解:(1) FY(y)=PY y=PX2 y当y<0时，fy(y)=0当y 0时，Fy(?)二P-.y :Xy二FxCy) - Fx(-，y)38 y从而，fY (y)fx (Hy) * fx (一7