等腰直角三角形在解题中的应用

1、等腰直角三角形在解题中的应用等腰直角三角形在解题中的应用等腰直角三角形是一种特殊的直角三角形，它集等腰三角形和直角三角形的性质于一身， 此外还形成了自己的独特性质，正是等腰直角三角形的这些特殊性质，使其应用非常的广泛下面就其应用作出归纳，供学习时借鉴 1. 直角顶点在正方形的中心旋转生成等腰直角三角形例1 ( 2018?遵义)如图1,正方形 ABCD勺对角线交于点 0,点E、F分别在AB BC±( AEV BE),且/ EOF=90 , 0E DA的延长线交于点 M, OF AB的延长线交于点 N,连接MN(1) 求证：OM=ON(2) 若正方形 ABCD勺边长为4, E为0M的中点

2、，求 MN的长.解析：(1)因为四边形 ABCD是正方形，所以 OA=OB / DAO=45，/ OBA=45 ,所以/ OAMWOBN=135，因为/ AOM乂 BOM9O。，/ BON丄 BOIM90。，所以/ AOMM BON 所以 OAIWA OBN(ASA，所以 OM=O；(2)如图1,过点O作OHLAD于点H,因为正方形的边长为 4，所以OH=HA=AM=2解法1 :因为E为OM的中点，所以HM=4则OM='承=2 J5，所以MNp OM=2'10 .解法 2 :因为 OAIWA OBN 所以 AM=BN=2 所以 AN=AB+BN=6,所以 MN= 2262 =2

3、 J0 .点评：第一问的解答抓住一个要点即充分利用已知的直角和正方形对角线构成的直角，构造符合同角的余角相等的原理等式，为三角形的全等提供一个有力的“角”要素第二问实质是不论三角形 MOF怎样运动，三角形 MON都是等腰直角三角形，这一点很重要 在求斜边MN的长时，可以选择不同方法，为变式思维训练提供“场所”2. 直角三角形在平移中生成等腰直角三角形例2 （2018?呼和浩特）如图 2,已知正方形 ABCD点M是边BA延长线上的动点（不与点 A重合），且 AMk AB,A CBE由厶DAM平移得到.若过点 E作EFU AC, H为垂足，则有以下 结论：点M位置变化，使得/ DHC=60时，2B

4、E=DM无论点 M运动到何处，都有HM无论点M运动到何处，/ CHMP定大于135° .其中正确结论的序号为 .n解析：由题可得，AM=BE所以AB=EM=AD因为四边形 ABCD是正方形，EH1 AC,所以/ AHE=90，/ MEHM DAHM EAH=45°，所以 EH=AH 所以 MEHA DAH（ SAS , 所以/ MHEM DHA MH=DH所以/ MHDM AHE=90，所以 DHM是等腰直角三角形，所以DM=/'2 HM所以正确;当/ DHC=60 时，由/ HCD45° ,得/ HDC=5° ,所以/ HDA=5所以/ ADM

5、=45 - 15° =30°,所以在 Rt ADM中, DM=2AM 即卩 DM=2BE 所以正确；因为/ CHM是 HAM的一个外角，且/ HAM=35°,根据三角形的外角大于任何一个不相邻的 内角，所以M CHWM HAM所以/ CHW135°，所以正确；所以答案为：.点评：表面看是两个直角三角形在平移运动，细心观察，才发现还有两个更特殊的等腰直角三角形在背后助阵，一个是等腰直角三角形AHE 一个是等腰直角三角形 DHM且它们的形状不会因为点M的变化而改变，多么奇妙的组合.3. 矩形中延长线段生成等腰直角三角形例3 如图1,在矩形ABCD中, M B

6、AD的平分线交 BD于点E,AB=1, M CAE=15 ,贝U BE（）A.V B.3- C.2 -1 D.3 -12（2018年全国数学联赛 9年级试题）5 / 5解法1:延长AE交BC于点F,过点E作BC的垂线，垂足为点 G由题意，得/ BAF=Z FAD玄 AFB=Z GEF=45 ,BF=AB=1, / EBG2 ACB2 CAD=30 ,设 BE=x,贝U EG=GF=X , BG=2xx，因为BG+GF=BF所以2+£2x=1解得x= . X3-1 即 BE=3 -1,所以选 D.所以AC=2,AD= 3 ,根据引理，得BE _ BAED = AD,所以BE _1_BD

7、 1+ ,3点评：构造两个等腰直角三角形是解题的关键，其次，熟练运用30°角的性质也是解题的一个突破口 解法2:因为/ BAD的平分线交 BD于点E, AB=1, / CAE=15 ,所以/ DAC=30 ,AC 2所以 BE= -= 3 -1,所以选 D.1爲爲1长点评：先利用30°角的性质求得矩形长与对角线的长，后利用角的平分线分线段成比例定理可完美解答解法3:如图2,延长AE交BC于点F,由题意，得/ BAF=Z FAD玄 AFB=Z GEF=45 ,BF=AB=CD=1, / EBG2 ACB玄 CAD=30 ,所以 AC=BD=2,AD= 3，因为 AD/ BF,

8、所以 AEDA FEB所以BE = BFED = AD,所以BEED+BE=bf=BF+ADBF,所以 Bl BF+AD,所以BE所以BE=3 -1,所以选D.C点评：解答时，主要从三角形相似入手，充分利用了比例的基本性质，解法也比较简洁 作垂线生成等腰直角三角形过点E作EF丄AB垂足为点F,由题意，得/ FAE=Z AEF=45 ,AB=1, / DBC2 ACB2 CAD2 FEB= 30° ,设 BE=2x,贝U BF=x, EF=AF= 3 x，因为 AF+BF=AB所以 x+ _ 3 x =1 , 解得x=31,所以BE= 3 -1,所以选D.2点评：此法的构想源于解直角三

9、角形中的作高法化斜为直，这是一种非常有效的方法，要学会借鉴，学会使用4. 直线与坐标系相交生成等腰直角三角形(2018年?淮安)如图3,在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象经过点 A(- 2, 6),且与x轴相交于点B,与正比例函数 y=3x的图象相交于点 C,点C的横坐标为1.(1 )求k、b的值；(2)若点D在y轴负半轴上，且满足1S三角形COD = 3 S三角形BOC，求点3D的坐标.C的坐标，根据点A、C的坐标，利分析：(1)利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点用待定系数法即可求出 k、b的值;（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，设点 D的坐标为（0, m

10、 （ m1v 0），根据三角形的面积公式结合S三角形COD二一S三角形BO C , 即可得出关于 m的一元一次3方程，解之即可得出 m的值，进而可得出点 D的坐标.解：（1）当x=1时，y=3x=3，所以点C的坐标为（1 , 3）.将A （- 2, 6）、C （1 , 3）代入 v=kx+b 得：-2k+ b=6 解得 k 1 ；入 you，得.k+ b = 3b = 4；（2）当y=0时，有-x+4=0，解得：x=4,所以点B的坐标为（4, 0）.1设点D的坐标为（0, m）（ m< 0）,因为S三角形cod = S三角形boc，3111一即-m= X X 4X 3,解得：m=- 4，所以点D的坐标为（0,- 4）.232点评：正确处理好两个三角形面积之间的关系，充分利用三角形的面积计算公式将等量关系转化成用m表示的一元一次方程式解题的关键.跟踪练习：如图，在 ABC中，已知/ C=90° ,AC