函数的奇偶性 (5)

1、 1.3.11.3.1单调性与最大单调性与最大( (小小) )值值1.1.两个定义两个定义: : 对于对于f( (x) )定义域内的任意一个定义域内的任意一个x , , 如果都有如果都有f( (- -x) )=-=-f( (x) )f( (x) )为奇函数为奇函数. . 如果都有如果都有f( (- -x) )= =f( (x) ) f( (x) )为偶函数为偶函数. .一个函数为奇函数一个函数为奇函数它的图象关于原点对称它的图象关于原点对称. .一个函数为偶函数一个函数为偶函数它的图象关于它的图象关于y 轴对称轴对称. .2.2.两个性质两个性质: :3.3.判断函数奇偶性的步骤判断函数奇偶性

2、的步骤 考查函数定义域是否关于原点对称；考查函数定义域是否关于原点对称； 判断判断f(- -x)f(x)之一是否成立；之一是否成立； 作出结论作出结论.1.3.11.3.1单调性与最大单调性与最大( (小小) )值值 【1】已知函数】已知函数f(x)=ax2+bx+c,(2a-3x1)是是偶函数，则偶函数，则a=_，b=_，c_.10R【2】对于奇函数】对于奇函数f(x),若若x能取到零能取到零,则则f(0)=_. 0函数函数 是偶函数是偶函数. 【3】对于定义在】对于定义在R上的函数上的函数 f (x),下列判断下列判断是否正确？是否正确？2( ) 31f xxx ，若若f (- -2) =

3、 f (2),则函数则函数 f (x)是偶函数是偶函数若若f (- -2)f (2),则函数则函数 f (x)不是偶函数不是偶函数1.3.11.3.1单调性与最大单调性与最大( (小小) )值值 例例2.已知函数已知函数y=f(x) 在在R上是奇函数上是奇函数,而且而且在在(0,+)上是增函数上是增函数,证明证明y=f(x)在在(- -,0)上也上也是增函数是增函数. 证明证明:任取任取x1, x2(- -,0),且且x1x2. f(x)在在(0,+)上是增函数上是增函数,则则120.xx 12()()fxfx又又f(x)在在R上是奇函数上是奇函数,12()().f xf x 即即 f(x1)

4、 x20,f( (x) )在在(0,+)(0,+)上是减函数上是减函数, , f(x1 ) f(x2 ). f(x) 是偶函数是偶函数, f(x1) f(x2).故故f(x)在在(- -,0)上是增函数上是增函数. 已知函数已知函数y=f(x) 在在R上是上是偶函数偶函数,而且在而且在(0,+)上是减函数上是减函数,那么那么y=f(x)在在(- -,0)上是增上是增函数还是减函数函数还是减函数?1.3.11.3.1单调性与最大单调性与最大( (小小) )值值 【1 1】已知函数】已知函数 f(x) 是奇函数是奇函数, ,当当 x00时时, ,f(x)= =x(1+1+x); 当当 x 0 0

5、时时, , f(x)等于等于 ( ).( ).(1)Axx.(1)Bxx .(1)Cxx .(1)Dxx B B1.3.11.3.1单调性与最大单调性与最大( (小小) )值值 【2】已知】已知 f(x) 是定义在上的奇是定义在上的奇函数函数,当当x0时时, f(x)=x2+x-1, 求函数求函数f(x)的表达式的表达式引申：如果改为偶函数呢？引申：如果改为偶函数呢？221,0,( )0,0,1,0.xxxf xxxxx xyo1.3.11.3.1单调性与最大单调性与最大( (小小) )值值一、奇函数、偶函数的图象性质一、奇函数、偶函数的图象性质1.奇函数的图象关于原点奇函数的图象关于原点成中

6、心对称图形成中心对称图形;2.偶函数的图象关于偶函数的图象关于y 轴轴成轴对称图形成轴对称图形.奇偶函数图象的性质可用于：奇偶函数图象的性质可用于： 简化函数图象的画法；简化函数图象的画法； 判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性.1.3.11.3.1单调性与最大单调性与最大( (小小) )值值 例例1. 已知函数已知函数y=f(x)是偶函数是偶函数,它在它在y轴右边轴右边的图象如图的图象如图,画出画出y=f(x)在在 y轴左边的图象轴左边的图象.解解:画法略画法略oyx(一一)简化函数图象的画法简化函数图象的画法1.3.11.3.1单调性与最大单调性与最大( (小小) )值值【1】作出】作出函数函

7、数 y=x2 - -2|x|- -3 的图象的图象-3-31 1-1-1oxy2223,0,23,0.xxxyxxx 点评点评: :用对称法作图时用对称法作图时, ,先作出先作出 x0 0的图象的图象, ,由由函数是偶函数函数是偶函数, ,再用对称法作出另一半的图象再用对称法作出另一半的图象. .1.3.11.3.1单调性与最大单调性与最大( (小小) )值值 【2】如果奇函数】如果奇函数f(x)在区间在区间3,7上为增函上为增函数数,且最小值是且最小值是5,则在区间则在区间- -7,- -3上有没有上有没有最大最大值值？是多少？是多少？解解:如图所示如图所示函数有最大值函数有最大值-7-3-

8、535xy7o 函数函数f(x)在区间在区间- -7,- -3上为增函数上为增函数.( 3)(3)5.ff 1.3.11.3.1单调性与最大单调性与最大( (小小) )值值1. .函数奇偶性的定义函数奇偶性的定义 定义法定义法利用利用性质性质2.2.函数奇偶性的判定函数奇偶性的判定图象法图象法: :画出函数图象画出函数图象( )( )()0,1.()f xf xfxfx 考查函数定义域是否关于原点对称；考查函数定义域是否关于原点对称；判断判断f(- -x)f(x)之一是否成立；之一是否成立；作出结论作出结论.1.3.11.3.1单调性与最大单调性与最大( (小小) )值值一个函数为奇函数一个函数为奇函数它的图象关于原点对称它的图象关于原点对称. .一个函数为偶函数一个函数为偶函数它的图象关于它的图象关于y 轴对称轴对称. .3.3.性质性质: : 奇奇函数函数在关于原点对称的区间上具有相同在关于原点对称的区间上具有相同的单调性的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性有相反的单调性. .(2)在定义域的关于原点对