计算不定积分应该注意的几个问题..

1、摘要1.关键词1.Abstract 1.Keywords1.引言1.1 基本概念、定理及公式2.2 直接积分法易犯错误举例剖析 3.2.1运算中漏掉“ C ”、“ J”3.2.2自创运算法则致误3.2.3 对公式xdx=lnxCx =0 的错误运用 42.4对公式(a_1)的错误运用 43 第一换元积分法应注意问题 5.3.1牢记凑微分公式 5.3.2 注意解的不同表示方法 6.4 第二换元积分法中易犯错误剖析 6.5 分部积分法应注意事项 8.6 计算某类特殊积分注意事项 9.6.1有理函数的不定积分 .9.6.2分段函数的不定积分10参考文献.12.致谢13.本科生毕业论文计算不定积分应该

2、注意的几个问题摘要不定积分是一个非常基本且又十分重要的概念，我们应当灵活地使用各种技巧和被积函数的类型和特点来计算不定积分，由此积分法成为数学教学中富有探索性的一个领域文章归纳整理了我们在使用各种方法计算不定积分时容易出现的问题，并对这些问题进行了分析和探讨例如：直接积分法、第一换元积分法、第二换元积分法、分部积分法以及特殊积分法关键词不定积分直接积分法换元积分法分部积分法特殊积分法Indefinite Integral Calculation Should Be Noted That Several IssuesAbstract In defi nite in tegral is a con

3、 cept which is basic and importa nt,we shoud use various tech niq ues flexibily and the type of product function and features to calculate the indefinite integral, Integration becomes in to an area of mathematics teach ing which is rich in exploratio n. This paper collates and an alyzes the error-pr

4、one issues which we use various methods to calculate the indefinite integral, these issues are analyzed and discussed.such as: direct integration method, integration by first substitution, integration by sec ond substituti on, divisi on in tegral method,a nd special in tegral method.Key words In def

5、i nite in tegralDirect in tegral methodIn tegrati on by substituti onDivisio n in tegral method Special in tegral method引言 不定积分是求导的逆运算，对不定积分的理解和掌握不仅涉及到微积分本身 的学习，而且影响到学习线积分、面积分及重积分等后继内容学习，我们在初学这些内 容时容易出现一些普遍的错误，下面我们将对这些错误进行剖析，以便更好的掌握这部 分知识1基本概念、定理及公式定义1 设函数f与F在区间I上有定义.若F (x) = f (x), I,则称F为f在区间I上的一个原

6、函数.定义2 函数f在区间I上的全体原函数称为f在I上的不定积分，记作f (x)dx,其中称.为积分号，f(x)为被积函数，f(x)dx为被积表达式，x为积分变量.注意函数不定积分是一个函数族，求函数的不定积分或原函数时，注意被积函数 的定义域是很重要的因素，要引起足够的重视.定理1若函数f在区间I上连续，则f在I上存在原函数F ,即Fg =f(x)x Ie定理2设F是f在区间I上的一个原函数，则i F C也是f在I上的原函数，其中C为任意常量函数；ii f在I上的任意两个原函数之间，只可能相差一个常数.定理3若函数f与g在区间I上都存在原函数，人、k2为两个任意常数，则k,f k2g在I上也

7、存在原函数，且ki f (x) k2g(x)dx = k f (x)dx k2 g(x)dx常用基本积分公式：xxa2 a dxC (a 0,a 1).In a(a 7).14 cosaxdx sin ax C a x dxC C 1,x 0).“ 二：卜16 sin axdx =-cosax C a3 0).17=arcs in x C-arccosx C1.110 f1 +x(7 )Jdx =1 n x +C (x 式 0). x=arctanx C - -arc cot x G2直接积分法易犯错误举例剖析直接积分法是根据基本积分公式利用不定积分基本运算法则或通过简单代数、三角恒等变形后再

8、利用基本积分公式的一种方法，这是一种最基本最简单最直接积分方法， 这也是我们初学不定积分应该掌握的最基本的计算方法，下面我们将对一些经常出现错误的地方具体举例剖析一下.2.1运算中漏掉“C “”例1 求x3dx.错解.x3dx = x 4 .例 2 求 I x3 4 dx.错解j I x3 4 dx 二 x3dx 4dx = x 厶 4x C .剖析 发生这类错误，有三种可能的情形：1）不定积分概念不清楚以及对“.” 意义不清楚；2）对“ C ”出现的意义不明确，这应该指的是函数的所有原函数才对并 不单独指某一个原函数；3）粗心大意.为减少这类错误的发生，我们再学习这部分内容 时，应该注意强调

9、函数的不定积分指的是该函数的所有原函数以及利用一切可能的机会 强调符号“”的意义及有关的运算法则，通过一定量的训练让我们能够正确的进行一 些基础运算，为后边的内容打下一个坚实的基础 .2.2 自创运算法则致误例 3 求 x3 x2 -3 dx.错解x3 x2 - 3 dx 二 x3dx | i x2 - 3 dx = f g x3 - 3x j C .错解剖析15x5C.-x3 x3发生这类错误主要是我们根据思维定势自创运算法则造成，我们受之前的x4 二Jx4dxX2 1dx 一 x21 dx极限四则运算法则及导数四则运算法则的影响，在解题过程中常常不自觉地将这一思维定势迁移到不定积分中认为不

10、定积分也具有四则运算法则，且很容易自创如下错误法则.f(x)g(x)dx 二 f (x)dx . g(x)dx ( 1)；f f (x)dxg(x)如巧(2).f(x)我们在解题过程中错误的运用这两个运算法则导致很多不该犯的错误就是没有搞清楚实际上不定积分有加减运算法则但没有乘法运算法则也没有除法运算法则，因此我们在 计算不定积分时首先应熟记运算法则，不要无中生有以致不该出现的误解2.3 对公式jZdx=ln x +C (xO)的错误运用2错解Jpdxnn x3+C .1例6 求丁dx .cos x1错解dx 二 In cos2 x C . cos x剖析 这种错误主要是源于对公式的特征识别有

11、误，要想真正掌握基本积分公式,我们再听积分基本公式的推导时要辨别各种公式的模式特点，在做例题时，仔细分析题 目，有意识的培养自己识别所解问题是否符合公式模式，对不符合公式模式的寻找其他 的解题途径，从理论上和心理上为正确运用公式奠定基础2.4 对公式Jxadx=xa离鬥+c (aH )的错误运用2例 7 求 sin 3xdx.A错解sinxdx 二一sin4x C .4例8 求 sin2xd sin x .错解 由 cosx =-sinx, xa =axa；2cos3 xsin2xdsinxC .3剖析 这类错误主要是对幕函数积分公式的模式识别有误，从题目形式上来看， 第一个例题不能直接用幕函

12、数积分公式，只有当被积表达式化为k：，(x)ad(x)形式时才能用，但第二个例题正好符合公式，错误主要是没有真正掌握换元思想，下面我们将 会介绍换元和公式的结合.总结以上主要列举了用直接积分法计算不定积分时我们经常出现错误的地方，其实类似这类错误还有很多，如：Adx=d 一、dx=d 1 -2x像这类系数问题、符号问题xx也是不定积分中常见的错误，问题出在函数的微分运算上，在这里就不再一一列举，以 上所列举的几种类型主要是提醒我们在初学计算不定积分时，必须熟悉基本积分公式、 基本运算性质、基本积分方法、一定的解题策略，并能对被积函数进行适当的代数或三 角的恒等变形，或对被积表达式进行凑微分、变

13、量置换等变形后化成能用公式直接代入 的形式，因此在初学计算不定积分时要细心认真，掌握最基本的为下面计算更加复杂的 积分奠定一个良好的基础.3第一换元积分法应注意问题第一换元积分法 若函数u = ：(x) Da,b，且:r n，- u ： , J有F(u) = f(u)，则函数 f(x)(x)存在原函数 F (x)，即f :(x) ；(x)dx 二 F (x) C.第一换元积分法即如何凑成微分形式，然后利用基本积分公式，它是不定积分的 基本方法但是有些凑微分法需要一定的方法技巧，而且往往要多次尝试，我们初学者 只有多看多做扩宽视野多积累经验才能熟能生巧，下面将对根据自己所掌握的对利用第一换元积分

14、法计算不定积分需要注意的问题归纳整理，希望对学习不定积分有一定的帮助3.1 牢记凑微分公式在用第一换元积分法求不定积分时，要牢记常用的凑微分公式，只有这样 才能对熟练运用第一类换元积分法起到事半功倍的效果4 ln x , 例9 求 dx. x1解 原式=In xd ln x In2 x C .2分析 由凑微分公式丄dx =d In x可以看出中间变量可以确定为In x ,即可求解.x例 10 求 tan xdx.解分析原式=tan xdx =sin x1dx = dcosx = cosxcosx-ln cos Csin x因为tanx，由凑微分公式sin xdx - -d cosx可知中间变量

15、为cosxcosx，其解可根据上述公式求出从以上可以看出，熟练掌握凑微分公式，对灵活运用第一类换元积分法有较大的 作用，但是我们在计算过程中一定要注意保证凑微分过程的准确性，否则将会带来很大 的麻烦，易导致最后的结果错误.3.2 注意解的不同表示方法我们在用第一类换元积分法求解时，常常遇到方法正确而解有所不同的地方，这时不要怀疑方法的正确性，这主要是因为由于中间变量选定的差异，可能造成解的形式有差异，但是这些解经过一定的变形后可化成相同形式.例 114 求 sin xcosxdx .解法原式=sin xd sin x 二1 . 2sin2解法二1 2 1 2 原式=- cosxd cosxco

16、s x G =1sin x 2 21 2 1 sin x C1 -2 21 2 = sin x C .2解法三1 1 1 1 2 原式=一 sin 2xdxsin2xd2xcos2x C2 =1 - 2sin x C224，441 2小1sin x C2 -2 41 .2Qsin x C.2从以上可知三种解法，三个中间变量，得到三种不同形式的解，但最终都可化为 一种形式的解，所以再遇到与别人算的解不一样时不要盲目的认为自己的解不对，要仔 细的检查自己选的中间变量是否正确.总结以上主要列举了用第一换元积分法计算不定积分时最需要注意的两个问题，还有一些细节方面的问题就不再举例了，参考直接积分法就可

17、以了，此类积分法主 要就是确定中间变量，一个积分有可能有很多不同的中间变量，我们一定要注意观察， 用适合自己的方法解决此类问题.4第二换兀积分法中易犯错误剖析第二换元积分法 设函数x=F:(t)D L：i, ： , a :(t)岂b，且：:(t)=0，函数f(x)在la,b有定义，tE .：s : 1,有G二f I (t，贝U函数f (x)在l.a, b存在原函数，且f (x)dx 二 G,_1(x)C.第二类换元积分法一般是先做变量代换，然后再求积分，一共分为四个步骤来完成,即换元、整理、积分、回代，其中第一步是关键步骤，下面讲述的一类错误主要就是有 关换元过程中忽略一些条件所引起的.122

18、5x -a _ z c、例 12 求dx (a 0).x错解 令X二asect，则原式可化为原式= a tan ta sect tan tdta sect2=atan tdt2二 a sec t1 dt二 a tant -tC二.x2 -a2 -aarccos? C.x剖析 从题目中我们可以看出原来被积函数的定义域是x _a ,经过变量代换x=asect后，t对应定义域为-壬兰t詣，因此Jx2 -a2 = Ja2tan2t = a tant，但是上述解法 却直接把绝对值去了，这就相当于仅考虑了被积函数在 x a的定义域，从而导致只计 算了一半把另一半忽略了 例 13 求、sin 3x_si n

19、5xdx.错解、sin3 x -sin5 xdx1 -sin2 x dx3 3si n2x . cos2xdx(令 t = si nx)二 t2dt厶2 .C 厶i/x c55剖析 根据在化简过程可以确定被积函数的定义域X，2 k呱二匕Z，因此在去绝对值过程中，只考虑了被积函数在第一象限而忽略了在第二象限，导致题目漏解.总结 通过以上两个例题的分析，指出了用第二换元积分法计算不定积分时最容易 出现错误的地方，即就是在换元过程中不考虑定义域问题而导致漏解情况，这应该引起 我们的重视，因此在遇到类似情况时首先就算一下被积函数的定义域，然后在进行下面 过程，这样就很容易避免类似错误发生.5分部积分法

20、应注意事项分部积分法 若u(x)与v(x)可导，不定积分u (x)v(x)dx存在，则u(x)v (x)dx也存在，并有u(x)v(x)dx = u(x)v(x) - v(x)u (x)dx分部积分法是积分学的一个宝贵方法，他可以解决某些用换元积分法不能计算的积分，该方法主要是根据两个函数乘积的微分法则建立起来的，但是有时需要连续使用几 次分部积分才能得到结果，在计算过程中一定得仔细认真.6COSX ,例14 求 dx. sin x1错解原式=-ds inx sin x1sin x1sin xsin x - sin xd-sin xcosxdx,cosx=1dx,sin x等式两边消去ddx，

21、得仁0. sin x剖析此题错误主要是错在最后一步，不定积分是原函数加上一个任意常数 C,因 此不定积分不是一个确定的函数，不可在等式两边消去不定积分，若是按上面做法是求 不出结果的，而且消去不定积分得“ 0=1 ”更是错误的.注意 有时用分部积分法计算不定积分几次分部后，又出现原积分，可移项求解， 此时要求：（1）移项后的相同不定积分系数可合并，但不可为零；（2）移项后等式另一边要加上“ C ” .例 15 求 ex cosxdx .解 原式=cosxdex 二excosx 亠 iexsin xdxxx xxx=e cosx 亠 isin xde e cosx e sin x - e cos

22、xdx则2 ex cosxdx =ex(cos x sinx) C从而x ,ex(sin x cosx) Ce cos xdx =2 26计算某类特殊积分注意事项计算不定积分除了以上几个比较常用的方法外，我们在计算过程中可能会遇到更复 杂的不定积分如：有理函数的不定积分、分段函数的不定积分等，这时我们会发现再用 平常的积分方法根本解决不了问题，但是不管再复杂，我们还是可以按照一定的步骤计 算出来，计算这类特殊积分必须熟记它所代表的类型以及所用的解题方法，下面将列举 几个例子来分析一下6.1 有理函数的不定积分有理函数 由两个多项式函数的商所表示的函数，其一般形式为P(x) ：0x /-1xnj

23、 -川二nQ(X厂 E其中n, m为非负整数，：-0-i,. n与：0, ：1,，：m都是常数，且0 = 0, ：0 = 0.根据代数知识，有理真分式必定可以表示成若干个部分分式之和，因而问题归结为求那些部分分式的不定积分，因而求此类积分分为以下步骤 1）把被积函数作部分分 式分解；2）把所求积分化为部分分式不定积分；3）逐一求每一个分式积分，然后合并 起来.下面我们将举例具体介绍此类不定积分的解题步骤 .26x -11x 4dx.例16求x(x _1 )6x2 -11x 4 A B Cx(x_1, x (x_1, x_1才.22有6x -11x 4 二 A x -1Bx Cx x -1A C

24、 = 6* 2A + B-C = -11A = 4解得A =4, B=-1, C =2,6x2 -11x 42x x -1dx =4ln x+ 2ln x1 +C.第二步：26x -11x dxc dx2 dxdx22x x -1xx-1x -1第三步：经过前两步做好后可以直接计算得出结果注意 上述计算不定积分的方法非常通用，但是有时候这种分解会很繁琐的，而 且必须是得知道分母根时才能进行这种分解，所以在遇到题目时要灵活，不能死套此做 法，要和前面几种方法结合起来才是最好的.例177求二 dxx4+x2 +1xdx112 Jr222(21、(Q2f 21lx+ 十i x+ f +2 /22J2

25、XX./解 原式二d X22 1 _1 14 x 0” 3 2x2 1 _= arcta nC=arcta nC.2仝仝 3326.2分段函数的不定积分求分段函数的不定积分时，应先求函数在各段对应区间内的不定积分，然后考查被积函数在各分段点处的连续性.例 188-2令 f(xx：；0.；求x)dx.2 x3I! x dxC1,错解.f(x) =31Jsin xdx =cosx+C2,xa0.x _0;剖析由于分段函数f (x)在分段点x=0处连续-f (x)在-:：，：连续=f (x)的原函数在-：:：存在，注意到对每一组确定的 G，C2,显然原函数在x = 0连续，故G = -1 +C2,所以 J f (x)dx 二 3- cosx + G +1,xEO;x 0.注意1)若被积函数在分段点上连续，则该分界点相邻两分段不定积分中的G,C2相关，根据原函数在该点的连续性，确定出 G,C2的关系；2)若被积函数在分段点上为第一类间断点，则在包含该点的某区域