解析几何专题复习椭圆

1、解析几何专题复习2 212. (2012肇庆二模)已知点P是圆Fl：(X ,3) - y =16上任意一点，点F2与点Fl 关于原点对称线段PF2的中垂线与PFi交于M点.(1) 求点M的轨迹C的方程；(2) 设轨迹C与x轴的两个左右交点分别为 A, B，点K是轨迹C上异于A, B的任意一点， KH丄x轴，H为垂足，延长HK到点Q使得HK=KQ，连结AQ延长交过B且垂直于x轴的直线I于 点D , N为DB的中点试判断直线 QN与以AB为直径的圆0的位置关系.13 . (2012 佛山二模)2 2已知椭圆E:务爲=1 a b 0的一个交点为F,3,0 ,而且过点a b(I)求椭圆E的方程;(n)

2、设椭圆E的上下顶点分别为 A, A2, P是椭圆上异于A, A的任一点，直线PA, PA分别交x轴于点N , M ,若直线 OT与过点M , N的圆G相切，切点为T .证明：线段OT的长 为定值，并求出该定值2*=1(b0)的离心率为6，椭圆短轴的一32 x 14. (2012惠州模拟)已知椭圆 C：p a个端点与两个焦点构成的三角形的面积为5-2317 / 9(1)求椭圆C的方程;(2)已知动直线 y=k(x，1)与椭圆C相交于A、B两点.若线段AB中点的横坐标为-，求斜率k的值;27已知点 M (,0)，求证：MA MB为定值.315 ( 2012江门一模)已知直线x-,3y .3=0经过

3、椭圆C :2 2xy12, 2ab(a b 0 )的一个顶点B和一个焦点F .求椭圆的离心率;设P是椭圆C上动点，求|PF -PB |的取值范围，并求II PF | I PB II取最小值时点P的坐标.16. ( 2012东莞模拟)已知椭圆的一个顶点为A 0, -1，焦点在X轴上，中心在原点.若右 焦点到直线x - y 2、. 2 = 0的距离为3.(1) 求椭圆的标准方程；(2) 设直线y = kx + m(k0)与椭圆相交于不同的两点M,N .当AM =|AN时, 求m的取值范围.17. (2012 湛江一模)2 2已知椭圆C : 2 += 1(a a b a 0)的一焦点为 F1 (-1

4、, 0),长轴长为22，过a b原点的直线y =kx(k 0)与C相交于A、B两点(B在第一象限)，BH垂直x轴，垂足为(1)(2)(3)H。求椭圆C的方程; 当k变化时， 过B作直线求UABH面积的最大值；l垂直于AB，已知I与直线上，证明你的结论。2 x 已知椭圆2a2yb2个端点为 代B，且四边形F1AF2 B是边长为2的正方形。 (I )求椭圆方程；18.(2012汕头一模)二 1(a(n )若C,D分别是椭圆长轴的左右端点，动点 M满足MD CD，连接CM，交椭圆于点P，证明:OM OP为定值;来源学科(川)在(n)的条件下，试问x轴上是否存在异于点 C的定点Q，使得以MP为直径的圆

5、恒过直线DP,MQ的交点，若存在，求出点 Q的坐标；若不存在，请说明理由。佃.(2012肇庆一模)已知圆C与两圆x2 (y 4)2 =1, x2，(y-2)2=1外切，圆C的圆心轨迹方程为 L,设L上的点与点M(x,y)的距离的最小值为 m，点F(0,1)与点M(x, y)的距离为n.（I ）求圆C的圆心轨迹L的方程；（n）求满足条件 m = n的点M的轨迹Q的方程；（川）试探究轨迹 Q上是否存在点B（xi,yj，使得过点B的切线与两坐标轴围成的三角形1的面积等于 丄。若存在，请求出点 B的坐标；若不存在，请说明理由220. （2011 深圳一模）J3-已知A、B分别是直线yx和y = x上的

6、两个动点，线段 AB的长为2 3 ,33P是AB的中点.（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点Q（1 , 0）任意作直线l （与x轴不垂直），设丨与（1）中轨迹C交于M、N两 点，与y轴交于R点.若RM =, RN - 1 NQ，证明：i为定值.二12.解：（1）由题意得，R （-V3,0'F?*13,0 ）（1 分）二圆戸的半径为4,且|MF2|#MP|（2分）二从而 | MF | +|MF2 冃 MR |+|MP |=4>|冃尸2 |=2伍（3分）二点M的轨迹是以 F1,F2为焦点的椭圆,其中长轴2a =4,焦距2c =2.3 ,二则 短 半 轴b=Ja2 _c2 =J4_

7、3 =1，（4分）2二椭圆方程为：* + y2=14（5分）2（2）设 K x）,y°，则人 代=1.4I，HK = KQ , Q（x0,2y° ）. - OQ = + （2y°=2（6 分）- Q点在以O为圆心，2为半径的的圆上.即 Q点在以AB为直径的圆O上.（7分）又A -2,0，直线AQ的方程为2y°人2（8分）令x =2，得D（9分）又B 2,0 , N为DB的中点, N4y°x0 +2 丿（10 分）O5 =Xo,2 yo,NQ =xo 2,2xoyoXo 2（11 分） OQ NQ，xo xo -2 2yo2xoyoxo 2=Xo

8、 xo-24xoyo2Xo 2=Xo Xo - 2 广2Xo 4 XoXo2= XoXo-2j 亠 Xo2-Xo=o .（13 分）a r OQ _ NQ .直线QN与圆O相切.13【解析】（I）解法一：由题意得223122a '4T1'解得 9 fb=1,2所以椭圆E的方程为y241.解法一：由（I）可知 A 0,1 A 0,-1 ,设 P x°,y° ,直线Vo 1PA： y -1- x,令 y =o,得 XnXoyo _1直线PA2： y 1 =2x,令 y =o,得 XmXoXoyo1设圆G的圆心为XoXoI _（2 （yo +1YoXo£

9、 <yo +1XoXoyo 1 丿 yo +1Xo.Xoyo-1OG214 Jo +1XoXyo T Jh2OT -OG22-r14 ly。+1xo'2Xoyo T Jh2Xoiyo +1+h2,2X22而亠 yo2 =1,所以Xo = 4 1 - yo ,所以OT4所以| OT |= 2 ,即线段OT的长度为定值2 Xoyo T4 1-y：厂=4,1 - yo-h2Xo2yo14分贝U解法二：由（I）可知 A o,1 , A o, T ,设 p Xo, yo ,Xo直线 PA,: y1 二 yo T x,令 y = o,得 xN 二一Yo T直线PA： y仁y0 T-x,令 y

10、 = 0,得 XmXoyo1_X0 X2Xy° _1 y° +1y°2 -1Xo则|OM | |ON 卜22,而手所以X41,所以|OM| |ON hy。2 -1=4,由切割线定理得 OT2 =|OM | |ON卜4所以| OT | = 2 ,即线段OT的长度为定值2 .14分2 214.解：(1)因为一22 - 1(a b 0)满足 a =b c ,a ba6b 2c，解得 a = 5, b235，则椭圆方程为522(2)将 y 二 k(x 1)代入丄=1 中得(1 3k2)x2 6k2x 3k255一5 = 0# =36k4 -4(3k2 1)(3k2 -5)

11、 =48k2 20 0, Xi X26k223k 11因为AB中点的横坐标为，所以26k23k2 11-丄，解得26k2由（1） 知 A% 冇，3k2 - 5777711所以ma MB”孑皿2 7，小(X1尹2 ? ”772= (X13)(X23) k (X1 1)(X21)272492卞）冒（7 k2）（-6k23k2 133k21)詈k242-3k -16k3k21414915 .依题意，B(0, 1) , F(-3 0),所以b =12分，3分，所以椭圆的离心率4分.二(1 k )X1X2 (3 k )(X1 X2)9 k 12 0 印 PF| ,当且仅当 | PF |=| PB | 时

12、,|PF |-|PB|=0 5 分,当且仅当P是直线BF与椭圆C的交点时，|PF | |PB旧BF |6分,| BF 2，所以|PF |PB|的取值范围是0, 27分。设 P(m , n),由 |PF |=| PB | 得.3m n 1=0 9 分， 8占 m = 13112m n2 =1由 4V3m + n +1 = 010分，解得丿m=01 或11 分,所求点P为P(0, -1)和P(氏313111312分.16解：(1)依题意可设椭圆方程为2y2 =1，则右焦点F心2 -1,0a,由题设Ja2 -1 + 2庞=3，解得a2 = 34分设 P xP , yP、M了-y 二 kx m由Xm

13、%Xp =23mk23k 1，从而 yP 二 kxP ' m 二m23k 13m k把代入得m 3k2 13mk=-1，即k2m ： 2 m ,又 AM =2m =3k21 ,AN J AP丄 MN，则:解得 0 : m 2 ,2故所求椭圆的方程为 -y2 =1 o3Xm，yM、N Xn，yN ，p 为弦 mn 的中点,得(3k21)x2 6mkx 3(m2 -1) =0直线与椭圆相交,2 2 2 2 2r；. h6mk -4 3k 1 3 m-10= m : 3k 1 ，2m 11由得k2二0，解得m .321综上求得m的取值范围是 ：:m ： 2 .2222218、解：(1) a=

14、2,b=c,a =b c，b =2，2x.椭圆方程为一421。24分)5TT(2) C(_2,0),D(210)，设 M (2,y°),P(X1，y1)，则 OP =(捲，yj,OM =(2,y°)。直线CM :x -2，即八匹x丄 ,y°426分)y°4yo代入椭圆x2 2y2 =4得2y0 2(1 )x81y0x7 分)由韦达定理有2%(-2) =4(y° 一8)2y。xi =2(y0 -8)y28， y1 二8y°y° 88 分).OP =(_2&-8)8y°.OPOM(3)设存在y0 8y2 8)，

15、2 2_4(y° -8)8y°y0 8y0 84y232y°28%定值)。(10 分)Q(m,0)满足条件，则MQ11 分)TMQ=(m -2, -yo)，4y；8y0)，y2 812 分)则由T fMQ DP =0得4y02 (m - 2) - 也0，从而得 m = 0。y2 8y2 8存在Q(0,0)满足条件。(14分)19.解析：(I)两圆半径都为 1,两圆心分别为 G(0,-4)、C2 (0,2),由题意得CG二CC2，可知圆心c的轨迹是线段C1C2的垂直平分线，C1C2的中点为(0,-1)，直线C1C2的斜率等于零，故圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分

16、线方程为即圆C的圆心轨迹L的方程为y = -1。(4分)故点M的轨迹Q是以(n)因为m = n，所以M (x, y)到直线y = -1的距离与到点F (0,1)的距离相等, y - _1为准线，点F(0,1)为焦点，顶点在原点的抛物线， =1 ,2即p =2，所以，轨迹Q的方程是x? = 4y(8分)(川)由(n)得切线方程为y%1 2 y x , y41=-x (x x h ,2=1X，所以过点B的切线的斜率为k = 1 X1 ,2 2yi ,空X1 ,X12因为点B在x = 4y上，所以y1 -所以切线与, 1 2故yX14成的三1xX|2形的面积为11 2113=一一X1_X1X1242

17、161s = jx|lyl1 24x1两坐标轴围1 1设 S =，即x；216=丄得| xj=2，所以咅=±22 1当 =2 时， T，当 x - -2 时，y =1 ,所以点B的坐标为(2,1)或(-2,1).(14 分)20.解：(1 )设 P(x , y) , A(X1 , y1), B(X2 , y2) 洛+X2 P是线段AB的中点，2I "y/ A、B 分3X2 3737343别是直线y x和yx上的点， y1' x1和y2 -333X1 X2 =2 “3y, (X1 -X2)2 (% - y2)2 =12 .4分又5分242X 212y- -x2 =12 ,动点P的轨迹C的方程为 y2 =1.(2)依题意，直线l的斜率存在，故可设直线 丨的方程为y=：k(x-分6分1) . 7设 M(X3,y3)、N(X4,yJ、R(0