圆锥曲线综合问题

1、圆锥曲线的综合问题1、已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线xy10 交于 A 、 B 两点， M 为 AB中点， OM 的斜率为 0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程解： 由题意，设椭圆方程为x2y21 ，a2xy10120由2，得a2x22x，xy21aa2 xMx1x21 a 21 xM12 ， kOMyM1124 ，2a2， yM1 axMa2， a4 x2y21为所求4说明：（ 1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法； （ 2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题2、已知椭圆 x22y1 ， F1 、 F2 为两焦点，问能否在椭圆43上

2、找一点 M ，使 M 到左准线 l 的距离 MN 是 MF1与 MF2 的等比中项？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由解： 假设 M 存在，设 M x1，y1，由已知条件得 a2， b3， c1， e1 2左准线 l 的方程是 x4 ，MN 4 x1又由焦半径公式知：MF1aex121x1 ，2MF2 a ex1124211x1 2x1 MNMF1 MF2 ， x12x12222整理得 5x1232x1480 解之得 x1124 或 x15另一方面 2 x1 2 则与矛盾，所以满足条件的点M 不存在说明：（ 1）利用焦半径公式解常可简化解题过程（ 2）本例是存在性问题，解决存在性

3、问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条件进行推理和运算进而根据推理得到的结果，再作判断（ 3）本例也可设M 2 cos ， 3 sin存在，推出矛盾结论（读者自己完成）3、已知双曲线x 2y21 的离心率 e12 ，左、右焦点分别为F1 、 F2 ，左准线为 l，能否在a2b2双曲线的左支上找到一点P ，使得 PF1是 P 到 l 的距离 d 与 PF2的等比中项？解： 设在左半支上存在P 点，使 PF12PF2d ，由双曲线的第二定义，知PF1PF2e ，即dPF1PF2e PF1 再由双曲线的第一定义， 得 PF2PF12a， 由、，解得 PF12a，PF22aee 1e2a2aec1

4、PF1F2PF1PF22c ，利用 e在中，有e1e2c ，从式得1ae22e10 解得 12e12 由 e1，得 1e12 ，与已知 e12 矛盾符合条件的点P不存在2 是双曲线 x2y22说明： 1e11左支上存在 P 点，使 PF1PF2d 成立的充要条件a2b24、如图所示，已知梯形ABCD 中， AB2CD ，点 E 满足 AEEC，双曲线过 C、D、E三点，且以A、 B 为焦点，当 23时，求双曲线离心率的取值范围34A 、 B 、 E 的坐标及双曲线的方程求解分析一： 依题意，建立恰当的坐标系，并通过解法一： 以直线 AB 为 x 轴，以 AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标

5、系xOy ，则 CDy 轴，因双曲线过点 C 、 D ，且以 A 、 B 为焦点，由双曲线的对称性可知C 、 D 关于 y 轴对称设 Ac，0、 Cc ， h 、 E x0， y0，其中 c1 AB 为双曲线的半焦距，h 是梯形的高22由 AEEC ，即 x0c， y0cy0 ，得 x02 chx0， h2 1， y021设双曲线方程为x2y21，则离心率为ca2b2ea由 点 C 、 E 在 双 曲 线 上 ， 将 C 、 E 的 坐 标 和 ec ， 代 入 双 曲 线 方 程 得ae 2h 214b 222e 22h21411b 2由得 h2e21，将代入式中，整理得：e24412b24

6、4132，又23，21323 ，7e10e2343e24分析二： 建立直线 AC 方程，再与双曲线方程联立，借助一元二次方程根与系数关系解题解法二：前面部分同解法一可求得直线AC 方程为y2hxc，将其代入双曲线方程3c0 ，又 x0 、 c 为b2 x2a2 y2a2b2 中，得 9b2c24a2h2x28a2h2cx4a2 h29a 2b2 c22上述二次方程的两根， cx04a2 h29a 2b2c2又 Cc ， h在双曲线上， 4h2b2e2424a2h29b2 c22 x02 c，将代入中，得：2 c c a2 e24 b29a 2b22，2121 2 a22222ce 4 b9a

7、c ec13，以下同解法一，e22a分析三： 借助焦半径公式AEEC ， x02 c， EA，由焦半径公式，1CA12aex0ae2cc得 ：，将代入，得：1， e， e c12aaae c12213e225Py2x上的一点， F 为抛物线的焦点，定点31，则当 |PA|+|PF| 取最是抛物线A，、 已知点42小值时，点分析P 的坐标是 _。本题主要考查抛物线的定义及其性质，可将|PF|转化为用几何知识解。P 点到其准线的距离|PH|，然后利解设抛物线的准线为1 作PH1 于H，则 |PA|+|PF|=|PA|+|PH|，当且仅当A、P、H三点共线且 PH 1 时取最小值，点 P 是过点 A

8、 向准线 1 所作垂线与抛物线的交点，令y1x1得，点 P 的坐标是24114， 。2点评（ 1）抛物线的定义同时也给出了抛物线的一个重要性质，即其上任一点的焦半径等于它到准线的距离；（2）本题采用了数形结合的思想方法来处理的，在椭圆与双曲线中也有类似的问题；3, 1，结果又会怎样呢？不难发现，这时点B 在抛物线的外部，所以，（3）若将题中点 A 改为 B4使|PB|+|PF|最小的点就是直线段BF 与抛物线的交点，易求 F1 ， 。40 kBF2 ， BF : y 2x12x，联立可解得P3515，与 y8，44由此处可见，解这类题时首先应判明定点A 与抛物线的相对位置。6、 抛物线 y 2

9、8x 上有一内接 AOB （ O 为坐标原点），其垂心恰为抛物线的焦点，求AOB外接圆的方程。分析本题主要考查抛物线的方程与性质，圆的方程等，先根据条件求出顶点A 、B ，再求其外接圆的方程。解如图，由 OF AB 知，AB x 轴，设y1) ，则由抛物线的对称性可知，B( x1y1 )A x1，( ，而 F（2，0），由 AFBO，得y1y11，px1x12即 y12x1 ( x12) ，又 y128x1 ，解得x110,y14 5,即 A(10，45) ，由对称性可知，所求圆的圆心必在x 轴上且过原点，可设其方程为( xa) 2y 2a 2 ，将点 A代入得 a=9， AOB 的外接圆方程

10、是( x9) 2y281 。点评此题充分运用了抛物线的对称性，由对称性设A 、B 的坐标， 仍由对称性来设圆的方程。7、 已知一条圆锥曲线的一个焦点是F（ 1， 0），对应准线是1： x= 1，且曲线过点M (3，2 3) ，求圆锥曲线的方程。分析本题主要考查圆锥曲线的统一定义，必须先由点M 到 F 和到 1 的距离的比 （即圆锥曲线的离心率）来确定曲线类型。解 | MF |(31) 2(2 30)24 ， M 到 1 的距离 d=|3（） |=4， |MF|=4 即圆锥曲线是抛物线，其顶点在原点，焦点F（1， 0），由 P4 得 p=2，即其方程是y24x 。2点评理解圆锥曲线的统一定义是解

11、本题的关键。8、 正方形 ABCD 的两个顶点 A 、 B 在抛物线 y x 2 上，另两个顶点 C、 D 在直线 y=x 4 上，求正方形的边长。分析本题主要考查直线与直线，直线与抛物线的位置关系，由正方形的性质，设出直线 AB 的方程，求出弦长 |AB| ，再根据 |AB|等于两平行直线间的距离确定出待定量。解 AB/CD ，可设直线AB ： y=x+b ，代入 yx 2 得 x2xb0 ，1，设 A( x1，y1 )， B( x2，y2 ) ，则由 x1x21，由 =1+4b>0 得 b4x xb 得 | xx2|( xx)24x x21 4b，121121|AB|2 14b ，又 AB 、 CD 间的距离 d| b 4 |2，由 | AB | d2