大学数学B试题库_精品

1、微积分试题库第一章函数、极限、连续1.函数 y lg( x1)在区间（D）内有界（ A）（1， +）（B）（ 2， +）（ C）（ 1， 2）（ D）（ 2， 3）2.若 lim f (x)0，则（ B）xx0当 g (x) 为任意函数时，有limf ( x) g(x)0xx0当 g (x) 为有界函数时，有limf (x)g(x)0xx0仅当 lim g(x)0 时，才有limf (x) g( x)0xx0xx0仅当 g(x) 为常数时，才有limf (x)g( x)0xx03.当 x0时， ex1是 ()A 较 x 高阶的无穷小B. 较 x 低阶的无穷小C. 与 x 等价的无穷小D. 无穷

2、大量答案： C4.函数 f ( x)x 21的第一类间断点是（）x23x2A x 1；B x1；C x2 ；D x 1 ， x 2答案： A5.设函数 f ( x) 的定义域为 0， 4，则函数 f ( x 2 ) 的定义域为（）A.0 ， 2B.0 ， 16C.-16 ， 16D.-2 ， 2答案：D6.函数 y1xarccos x1的定义域是（）2A x1B.3x1C.3x1D.x3答案： B7.设函数 f(x)的定义域是 0,1,则 f(x+1)的定义域是（）A.0,1B.-1,0C.1,2D.0,2答案： B8.当 x0 时， f ( x )(1cos x) ln(12 x 2 ) 与

3、（ B）是同阶无穷小量。A. x3 ；B. x4 ；C. x5 ；D. x29.设函数 f ( x)exxx0 ，要使 f(x)在 x=0 处连续，则 a=（）ax0A.2B.1C.0D.-1答案： Bsin axx0x10. 若函数 f ( x)2x0为连续函数，则a， b 满足（）ln(13x)x0bxA.a=2 ， b 为任意实数1C. a=2， b3a b 1B. a+b=D.22答案： C11.x11x0)设 f ( x)，则 lim f (x) ( Dx0x 1x 0 1(B) 1(C) 0(D) 不存在12.limsin x( C)2 xx 0A 1B. 01D. 不存在C.21

4、3.x32x 2sin x2则 m（）如果 lim3,xmx13A2 ；B 3 ；C 1；D 9324答案： B14.limx 2 sin 12Ax 0x=（）A 0B 1C-1D不存在15.1的定义域是(,4)(4,5)(5,6)(6,)f ( x)lg x516. 设函数 f ( x) 的定义域是 0，1 ，则函数 f (ln x) 的定义域 为答案： 1,e;yx2x2117.4x 3 的可去间断点为x1函数(x) 是与 x2limtan x( x)18.若当 x0时，同阶的无穷小量，则 x 0x2019.设 f (t )t 21，则 f (t 21)答案：(21)21;t设函数 f (

5、x)2ex ,x0,) 内连续，则 a20.a x,x在 (0答案： 2;21. 极限lim (11 ) nn n答案： e 122. lim x29-6x 3 x 323. limx 29。x 3x 23x答案： 2；24.lim 3 xsin1x2 x答案： 3;225.lim 2 xsin 1x 0x答案： 0;3n 26n5lim3n226.n答案：33x2327. limx1x1=3628.极限 lim5x4x ;x1x1lim5x4xx1x1lim5x4x（4分）x)x 1 (x 1)( 5x 42(7 分)29.lim2x1 x)lim116x 0 2x( 1 xx 0 ( 1

6、x1 x )230.lim(21x1)x1x21解 :lim(21)=1x21x2x1131.limx29x3x3解：lim ( x3)( x3)lim( x3)66x3( x3)x3332.limx 43x2xx4 x3132解：原式 = lim xx 3x 4（4 分）x143x3x4=0（3 分）33.lim 2n222n3n3n1lim22/ n3/ n22631/ n23n34.limxsin xx3x01=635. 求极限 lim1 cos xx2;x01.lim1cos xx2x 0解：lim sin x(4分)x02x1 （7分）2136. 求极限lim (1sin x) x

7、;x 012 lim (1sin x) xx 01 sin x解：lim (1sin x)sin x x（ 分）4x 0e （7分）137. 求极限lim (12x) x ;x02.lim (12x)x 0解：lim (12 x)x 01x1 22x（4分） lim1x1xx 02xe2 （7分）x38. lim2 xxxx2解：原式 = lim (12) 2（4 分）x x= e2（3 分）39. 证明：方程xasin xb ， (a0, b0) 至少有一个正根，且不超过ab （ 8 分）证：令 F ( x)xa sin xb ，F (0)b0 ， F ( ab)a1sin( ab)0,(a

8、b2k, kR) ，F ( x) 在 0, ab 上2连续且 F (0)F (ab)0 ，所以至少存在一点(0, ab) ，使 F ( )0 ，即方程 xa sin xb ，(a 0, b0)至少有一个正根。当ab2k2时，a b 。故正根 不超过 a b40.证明方程 1xsinx0在区间2,内至少有一个根 .2证明 函数 f ( x) 1xsinx 在闭区间,上连续， （1 分）22又 f ( ) 220f () 121 0（5 分）22根据零点定理，在开区间,内至少有 一点，使得22f ()0 ，即f ( x)1xsinx 在区间2,2内有一个根。（7 分）41.证明：方程 x33x10

9、在区间 (0, 1)内有且仅有一个根。Qf (x)x33x在上连续，且f (0) f (1) 0;10,1f (x)在(上至少有一实数根；证明：00,1)8Q f (x)3x在(上有f( x)即，30,1)0, f ( x)f (x)在(上有且只有一实数根；00,1)第二章导数与微分42.f (x) 在点 x0 处连续是f (x) 在该点处可导的必要条件43.曲线 yx22x3 在点 ( 2, 11 )处的切线方程为y 6x144. 已知 f (0) 0, f ' (0)k ，则 lim f ( x)x 0x答案： k;45.已知 f ' (1)2 ，则 lim f (1 2h

10、) f (1)h 0h答案： 4;46.f (x) 在点 x0 处连续是f (x) 在该点处可导的必要条件47. 曲线y1在 x1处的 切线 方程是 _ y12 ( x 1) _。3x2348.设 y3 arctan 2x ，则 dy =。dx22答案：33(14x2 ) (arctan 2x)49.设 f ( x)(x1)( x2) 2 ( x3) 3 ，则 f ' (1)。答案： -8;50.f ( x)x 2 ,x33 处可导，则 a =6 ， b-9 。axb,x， f (x) 在 x351.设 ya x , 则 y(3)=ax (ln a) 352.已知 xy10，则dy。s

11、in ydx2答案：2，2cos y53.设 exeyexy cos( xy)sin( xy ) ，则 dy =ey dxx cos( xy)54.已知 y(1x)x ，则 dy =。答案： (1x)x ln(1x)xdx ，1 x55.设x3t 2，则 dyy3t t 2dx6t答案：32t56.设函数 yarctan ex ，则 dy=（ ）A.exB.1C.e2xD.11 e2 xdxexdx1e2x dx1 e2xdx1答案： A57.已知 f( x0 ) 存在，则极限 limf (x0h)f (x0 )A中的 A=（ C）h 0h（ A）不存在（ B） f ( x0 )（ C）f(x

12、0 )（ D） f ( x0 )58.函数 f ( x)x 1 在 x=0点(C )A. 没有极限B. 有极限但不连续C. 连续D.可导59.设 f ( x)x(x 1)( x2)( x3),则又 f ' (0) =（）A. 6B. 3C. 2D.0答案： A设 f ( x)x,x0则 f (x) 在 x0处()60.ln(1x), x,0A可导；B 连续但不可导；C不连续；D 无定义答案： A61.曲线 y1在 x1处的切线方程是 ()3 x2A 3y 2x 5B 3 y 2x 5C 3y 2x 5D 3y 2x5答案： C62.若 y 2x ，则 limf (x)f (0)=（）x

13、 0x11A. ln 2B.ln 2C.D.ln 2ln 2答案： B63.设函数 yarctan ex ，则 dy= （ A）ex1e2x1A.1 e2x dxB.1ex dxC.1e2 x dxD.dx1 e2x64.下列说法错误的是: （D） 。A 连续是可导的必要但非充分条件.B可微是可导的充要条件.C函数 yf (x) 在 xx0 处可导 ,则 ydy 是x 的高阶无穷小 .D 函数f ( x)在xx0连续，不一定lim( )存在 .xx0fx65.设 y3arctan 2x ，求 dydxdy =222)(arctan2x) 36dx3(14x66.yx23xln求 y .解： y

14、'( x2 ) '( 3 x )'（3 分）122x3（4分）x367.x2yy xe，求yx22 x2， yx2x23 x2e2x e2xe4xe4x e68.yln cos 2x ;y'1(sin 2x) 2 （5分）cos2 x2 tan 2x （7分）69.yxarcsin;2y'11 （4分）1x2241（7分）4x270.yln sin 2x ;y '1cos2x2 （5分）sin 2x2 cot 2 x （7分）71. 已知 y e x cos x ，求 y解： dy =e x (cos xsin x)3dxy2sin x ?e x

15、372. 设 f ( x)ex2x00 处可导。（ 8 分）axbx，求 a, b 的值，使 f (x) 在 x0解：要使 f ( x) 在 x0 处可导，则必须 f (0) f(0)而 f(0)1， f(0)a ，故 a 1 ；又 f (x) 在 x0必须连续所以 3f (0)f (0)3f (0)b ，故 b3 。73.讨论函数 f ( x)x sin 1 , x0在 x0 处的连续性及可导性（8 分）x0,x0解： lim f (x)0f (0) ，所以 f ( x) 在点 x0 处连续x0lim f (x)f (0)limsin1 不存在，所以f ( x) 在点 x 0 处不可导x0x

16、0x 0x2x0x174.讨论函数f ( x)x 211x2在点 x1 及 x2 处的 连续性 和可导性 .1x42x2解： 因limf(x)lim (x21)2limfx)x(lim 2x1x1x 1x 1所以 f ( x)在点 x1处连续。（1 分）又f '(1)2f ' (1)所以 f ( x)在点 x1处可导。（3 分）因 limf(x)5limf()x 2x 2x所以 f ( x)在点 x2 处连续。（5 分）又 f ' (2)21f ' (2)2所以 f ( x)在点 x2 处不可导。（7 分）f ( x)e x ,x0x k1,x0 在点 x0处可

17、导，则 k 为何值？75.f(0)limxklimxk1解：x0xx 0（3 分）f (0)limex11x0x（ 3分）k1（1 分）76.方程 x2yln y0 确定了 y 是 x 的隐函数，求y . （ 8分）解：两边同时关于x求导得： 2xyy0，所以2xyyyy 177.设方程 xyexey0 确定 y 是 x 的函数 ,求 dy解：两边求导得y xy'exe y y '0（5 分）从而y 'exyeyx所以dyexy dx（7 分）e yx78.求由方程 yxey1 所确定的函数 y y( x) 的微分 dy （ 8 分）解：y '(eyxey y

18、' )0 （2分）y'1e y（2 分）xeyeydy1xe y dx（3 分）79.设方程 x2xyy 24确定 y 是 x 的函数 , 求 dy解： 两边求导得2x xy 'y 2 yy '0（3 分）从而y '2xy（5 分）2yx所以dy2xy dx（7 分）2 yx80.已知 yxsin x ( x0) ，求 y解：对等式两边取对数得，ln ysin x ln x （3分）y 'cos xln xsin x（5分）yxy 'xsin x (cos x ln xsin x ) （7分）x81.已知 y(1x)x ，求导数 y 。解

19、： ln yx ln(1x)（ 2 分）1y 'ln(1 x)x（2分）y1xy'(1 x) x (ln( 1x)x) （3分）1x82. 求 y x x 的导数。解：令 ln yx ln x则1yy'ln x1（4 分）y 'y(1ln x) x x (1ln x)（3分）xsin 2ty( x) 的导数 dy83.求由参数方程y确定的函数 ycost 2dx解： dyytt sint 26dxxtcos2txt 2d2y84.已知2，求2y1tdx解 1： d 2 y=1dx2t3解 2： t1yx(1y) 2（2 分）2dy1（2 分）dx1yd 2 y1

20、（ 3分）dx2(1y) 385.求参数方程x3e t所确定的函数的二阶导数d2 yy2etdx2dydy2et dt2 e2解 :dt（4 分）dxdx3e t dt3dtd2yd214e2t dt42t33t（7分）dx2(3e)3e t dtedtdx9dt第三章微分中值定理与导数的应用86.函数 f (x)ln sin x 在区间, 5上满足罗尔定理的26687.lim( 1ex1) =x 0x1答案： 1/2;88.函数 f ( x)2x39x21在区间 1,1的最大值是答案：189.求函数 yx36x29x4 的驻点是答案：1 和 390.下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是

21、()Ayx 25x62,3By10,2( x1) 2Cyxex0,1Dx1x5yx0,515答案： A91.若在 ( a, b) 内， f( x)0, f( x)0, 则 f ( x)在 ( a, b) 内（）A 单调增加，曲线是凹的B 单调增加，曲线是凸的C 单调减少，曲线是凹的D 单调减少，曲线是凸的答案： A92.设 f ( x)x, ，则曲线（）3 xA. 仅有水平渐近线B. 仅有垂直渐近线C. 既有水平渐近线又有垂直渐近线D. 无渐近线答案： C93. 证明方程 x55x10 有且仅有一个小于1 的正实根 .证明 :函数 f ( x)x25x1在闭区间0,1 上连续，又f ( 0)0

22、f (1)0 0,1x113x2 (0,1), x2 x1f ( x2 )0f (x) x1, x2x1 , x2f ' ( ) 0f' ( )5(x41)0,x(0,1)x94. 证明：方程 4ln x x在 (1, e)内有唯一的实根。Q f (x)4ln xx在1， e上连续，且 f (e) f (1)0;f (x)0在 ( 1,e)上至少有一实数根；证明：Q f(x)40，即 f(x)，1在 (1,e)上有 f (x)xf (x)0在 ( 1,e)上有且只有一实数根；195.lim x1 x ;x11lim x1xx 1ln x1 xlim e4x1e1757896. lim exe xx0 sin xlim exe xlim exe x26x0xx 0197.limxxexx 0e解：limxlim116e x )e x )2x0 (exx 0 (ex98.极限limx(arctan x) ;x 2lim x(arctan x)x 22arctan x解：limx1（3分）x1lim1 x2（5分）x2x1 （7分）99. limx33x2x 1x 44x3解：原式 = lim3x