奥数：5-3-1约数与倍数-题库

1、5-3 约数与倍数教学目标本讲中的知识点并不难理解，对于约数、最大公约数；倍数、最小公倍数的定义我们在学校的课本上都已经学习过，所以重点在于一些性质的应用，完全平方数在考试中经常出现，所以对于平方差公式还有一些主要性质一定要记住 .本讲力求实现的一个核心目标是让孩子对数字的本质结构有一个深入的认识，即所谓的整数唯一分解定理，教师可以在课前让学生练习几个两位或三位整数的分解，然后帮学生做一个找规律式的不完全归纳，让学生自己初步领悟“原来任何一个数字都可以表示为. 的结构”知识点拨一、约数的概念与最大公约数0 被排除在约数与倍数之外1 求最大公约数的方法分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数

2、连乘起来例如： 231 3 7 11， 252 22327 ，所以 (231,252)3721 ；21812短除法： 先找出所有共有的约数，然后相乘例如：3 96，所以 (12,18)236；32辗转相除法： 每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数， 直到余数是 0 为止那么，最后一个除数就是所求的最大公约数 ( 如果最后的除数是 1，那么原来的两个数是互质的 )

3、例如，求 600 和 1515的最大公约数： 1515 600 2L 315； 600315 1L 285； 315285 1L 30 ；285 30 9L 15； 30 152L 0 ；所以 1515 和 600 的最大公约数是152 最大公约数的性质几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；几个数都乘以一个自然数n ，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n 3 求一组分数的最大公约数先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a；求出各个分数的分子的最大公约数b； b 即为所求a二、倍数的概念与最小

4、公倍数1. 求最小公倍数的方法分解质因数的方法；例如：23137 11， 252 22327 ，所以 231,25222327 11 2772 ；短除法求最小公倍数；21812例如：3 96，所以 18,12233236；32 a, bab(a, b)2. 最小公倍数的性质两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数3. 求一组分数的最小公倍数方法步骤先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数a ；求出各个分数分母的最大公约数即为所求例如：353,515,4412(4,12

5、)注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数. 例如：141,42,432,3b ；ba三、最大公约数与最小公倍数的常用性质1 两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。如果 m 为 A 、B 的最大公约数， 且 Ama ，Bmb ，那么 a、b 互质，所以 A 、B 的最小公倍数为mab，所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系： A B ma mb m mab ，即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积；最大公约数是 A 、 B 、 A B 、 A B 及最小公倍数的约数2 两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。即 (a,b) a,

6、 bab ，此性质比较简单，学生比较容易掌握。3 对于任意3 个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为a) 奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数例如： 567 210， 210 就是 567 的最小公倍数b) 偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2 倍例如： 678 336，而 6,7,8 的最小公倍数为 336 2168性质（ 3）不是一个常见考点，但是也比较有助于学生理解最小公倍数与数字乘积之间的大小关系，即“几个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大”。四、求约数个数与所有约数的和1 求任一整数约数的个数一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的

7、指数( 次数 ) 加 1 后所得的乘积。如 :1400 严格分解质因数之后为32，所以它的约数有(3+1) × (2+1) × (1+1)=4 × 3× 2=24 个。25 7(包括 1 和 1400 本身)约数个数的计算公式是本讲的一个重点和难点，授课时应重点讲解，公式的推导过程是建立在开篇讲过的数字“唯一分解定理”形式基础之上，结合乘法原理推导出来的，不是很复杂，建议给学生推导并要求其掌握。难点在于公式的逆推，有相当一部分常考的偏难题型考察的就是对这个公式的逆用，即先告诉一个数有多少个约数，然后再结合其他几个条件将原数“还原构造”出来，或者是“构造出

8、可能的最值”。2 求任一整数的所有约数的和一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从1 加至这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。如： 21000337 ，所以 21000 所有约数的和为23 5(122223 )(13)(155253)(17)74880此公式没有第一个公式常用，推导过程相对复杂，需要许多步提取公因式，建议帮助学生找规律性的记忆即可。例题精讲模块一、约数与倍数、最大公约数与最小公倍数基本概念【例 1 】把一张长1 米 3 分米 5 厘米、 宽 1 米 5 厘米的纸裁成同样大小的正方形纸块，而没有剩余，

9、问：能裁成最大的正方形纸块的边长是多少？共可裁成几块？【解析】要把一张长方形的纸裁成同样大小的正方形纸块，还不能有剩余，这个正方形纸块的边长应该是长方形的长和宽的公约数由于题目要求的是最大的正方形纸块，所以正方形纸块的边长是长方形的长和宽的最大公约数1米3分米 5厘米 135 厘米， 1 米 5 厘米 105厘米， (135,105)15 ，长方形纸块的面积为 135105 14175 (平方厘米 ) ，正方形纸块的面积为15 15 225 ( 平方厘米 ) ，共可裁成正方形纸块 14175 225 63 ( 张 ) 【 巩固】一个房间长 450 厘米，宽 330 厘米现计划用方砖铺地，问需要

10、用边长最大为多少厘米的方砖多少块 ( 整块 ) ，才能正好把房间地面铺满？【 解析】要使方砖正好铺满地面，房间的长和宽都应是方砖边长的倍数，也就是方砖边长厘米数必须是房间长、宽厘米数的公约数由于题中要求方砖边长尽可能大，所以方砖边长应为房间长与宽的最大公约数 450 和 330 的最大公约数是30 450 30 15， 33030 11 ，共需 15 11165 ( 块).【例 2 】有 336 个苹果， 252 个桔子， 210 个梨， 用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，三样水果各多少？【解析】此题本质上也是要求出这三种水果的最大公约数，有 (336,252,210) 4

11、2 , 即可以分 42 份，每份中有苹果 8 个，桔子 6 个，梨 5 个【巩固】把 20 个梨和 25 个苹果平均分给小朋友，分完后梨剩下2 个，而苹果还缺2 个，一共最多有多少个小朋友？【解析】此题相当于梨的总数是人数的整数倍还多2 个，苹果数是人数的整数倍还缺2 个，所以减掉2 个梨，补充 2 个苹果后， 18 个梨和 27 个苹果就都是人数的整数倍了，即人数是18 和 27 的公约数，要求最多的人数，即是18 和 27 的最大公约数9 了【巩固】教师节那天，某校工会买了320 个苹果、 240 个桔子、 200 个鸭梨，用来慰问退休的教职工，问用这些果品，最多可以分成多少份同样的礼物

12、( 同样的礼物指的是每份礼物中苹果、桔子、鸭梨的个数彼此相等 ) ？在每份礼物中，苹果、桔子、鸭梨各多少个？【解析】因为 (320,240,200) 40 ， 320 40 8 ， 240 40 6， 200 40 5 ，所以最多可分 40 份，每份中有 8 个苹果 6 个桔子， 5 个鸭梨 .【例 3 】 现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公约数中，最大的可以是多少？【解析】只知道三个自然数的和，不知道三个自然数具体是几，似乎无法求最大公约数只能从唯一的条件“它们的和是1111”入手分析三个数的和是1111，它们的公约数一定是1111 的约数因为1111 11101，它的

13、约数只能是1，11，101 和 1111，由于三个自然数的和是1111，所以三个自然数都小于 1111 ， 1111 不可能是三个自然数的公约数，而101 是可能的，比如取三个数为101，101 和 909所以所求数是101【巩固】用 1: 9 这九个数码可以组成362880 个没有重复数字的九位数，求这些数的最大公约数【解析】1 2 L945 ，是 9 的倍数， 因而 9 是这些数的公约数又 123456789 和 123456798 这两个数只差 9，这两个数的最大公约数是它们的差的约数，即是9 的约数，所以 9 是这两个数的最大公约数从而 9 是这 362880 个数的最大公约数【巩固】

14、用 2、 3、 4、5、 6、 7 这六个数码组成两个三位数A 和 B，那么 A、 B、 540 这三个数的最大公约数最大可能是 _ 23这三个数的最大公约数是540 的约数，而 540 的约数从大到小排列【解析】 540 23 5 ，A、B、 540依次为： 540、 270、180、 135、 108、90 由于 A 和 B 都不能被10 整除，所以540、 270、 180都不是 A 和 B 的约数由于 A 和 B 不能同时被5 整除，所以135 也不是 A 和 B 的公约数 540 的约数除去这些数后最大的为108，考虑108 的三位数倍数，有108、216、 324、 432、 54

15、0、 648、756、 864、 972，其中由2、3、 4、5、 6、 7 这六个数码组成的有324、 432 和 756，易知当 A 和 B一个为 756、另一个为 324 或 432 时， A、B、540 这三个数的最大公约数为108，所以 A、B、 540这三个数的最大公约数最大可能是108【例 4 】 两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5，试求这两个数的差【解析】设这两个自然数为：5a、5b ，其中 a 与 b 互质， 5a5b50 ， ab10 ，经检验，容易得到两组符合条件的数： 9 与 1 或者 7 与 3于是， 所要求的两个自然数也有两组：45 与 5，35 与 15它

16、们的差分别是：455 40，35 1520所以，所求这两个数的差是40 或者 20【巩固】一个两位数有6 个约数，且这个数最小的3 个约数之和为10，那么此数为几？【解析】最小的三个约数中必然包括约数1，除去 1以外另外两个约数之和为9，由于 9是奇数，所以这两个约数的奇偶性一定是相反的，其中一定有一个是偶数，如果一个数包含偶约数，那么它一定是 2 的倍数，即 2 是它的约数。于是2是这个数第二小的约数，而第三小的约数是7，所以这个两位数是14 的倍数，由于这个两位数的约数中不含3、 4、 5、 6，所以这个数只能是14或 98，其中有 6 个约数的是 98【例 5 】 ( 西城区 13 中入

17、学试题 ) 一次考试，参加的学生中有1 得优， 1 得良， 1 得中，其余的得差，已732知参加考试的学生不满50 人，那么得差的学生有多少人？【解析】由题意“参加的学生中有1 得优，1 得良， 1 得中”，可知参加考试的学生人数是7，3，2 的倍732数，因为7，2， 3的最小公倍数为42， 4228450 ，所以参加的学生总数为42 人那么得1111人差的学生有： 42 (13)72【巩固】甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的最小公倍数是126，那么甲数是多少 ?【解析】对 90 分解质因数 :902 325 .因为 126 是甲的倍数，又126 不是

18、 5 的倍数，所以甲中不含因数5如果乙也不含因数5，那么甲、乙的最小公倍数也不含因数5，但 90是 5 的倍数，所以乙含有因数 5因为 105 不是 2 的倍数，所以乙也不是2 的倍数，即乙中不含因数2，于是甲必含有因数2因为 105 不是 9 的倍数，所以乙也不是9 的倍数，即乙最多含有1 个因数 3由于甲、乙两数的最小公倍数是90， 90 中含有2 个因数 3，所以甲必含有 2 个因数3，那么甲23218 总结：两个数的最小公倍数含有两数的所有质因子，并且这些质因数的个数为两数中此质因数的个数的最大值如a 233527 ， b23325 711 ，则 A 、 B 的最小公倍数含有质因子2，

19、3，5， 7，11，并且它们的个数为个， 2 个， 1 个， 1 个，故 a, ba 、 b 中含有此质因子较多的那个数的个数332235711. 即依次含有3个，3【巩固】一 次考试，参加的学生中有1 得优，1 得良， 1 得中，其余的得差，已知参加考试的学生不满743100 人，那么得差的学生有多少人？【解析】由题意“参加的学生中有1 得优，1得良，1 得中”，可知参加考试的学生人数是7，4，3的倍743数，因为74， 3 的最小公倍数为生有： 8412212823人84( 小于100 人 ) ，所以参加的学生总数为84 人那么得差的学【例 6 】动物园的饲养员给三群猴子分花生，如只分给第

20、一群， 则每只猴子可得12 粒；如只分给第二群，则每只猴子可得15 粒；如只分给第三群，则每只猴子可得20 粒那么平均给三群猴子，每只可得多少粒？【解析】依题意得 :花生总粒数12第一群猴子只数15第二群猴子只数20第三群猴子只数, 由此可知，花生总粒数是12，15，20 的公倍数， 其最小公倍数是60花生总粒数是60，120，180， ,那么：第一群猴子只数是5， 10， 15， ；第二群猴子只数是4， 8，12， ；第三群猴子只数是 3， 6， 9， ；所以，三群猴子的总只数是 12，24， 36， 因此，平均分给三群猴子，每只猴子所得花生粒数总是 5 粒【巩固】加工某种机器零件, 要经过

21、三道工序 , 第一道工序每名工人每小时可完成6 个零件 , 第二道工序每名工人每小时可完成10 个零件 , 第三道工序每名工人每小时可完成15 个零件 . 要使加工生产均衡 ,三道工序最少共需要多少名工人?（假设这三道工序可以同时进行）【解析】为了使生产均衡 , 则三道工序每小时生产的零件个数应相等, 设第一、二、三道工序上分别有a 、c10b15ck , 那么 k 的最小值为6,10,15 的最小公倍数 , 即6,10,15 30所b 、 个工人 , 有 6a以 a5 ,b3 ,c2 , 则三道工序最少共需要53210名工人【例 7 】 大雪后的一天，小明和爸爸同时步测一个圆形花圃的周长，他

22、俩的起点和步行方向完全相同，小明每步长 54厘米，爸爸每步长 72 厘米由于两人脚印有重合的，所以各走完一圈后，雪地上留下60 个脚印求圆形花圃的周长【解析】必须求出相邻两次脚印重合所走的路程以及走完全程脚印重合的次数两人从起点出发到第一次脚印重合所走的路程是相同的，是两人步长的最小公倍数，为 54,72216 厘米在 216 厘米里，两人留下的脚印数分别是：216544 ( 个)，21672 3( 个 ), 由于两人有 1个脚印重合，所以实际上只有4316( 个) 脚印60 610 ，即走完全程共重合10 次，因此，花圃周长为：216102160 (厘米 ).【巩固】甲、乙两人同时从A 点背

23、向出发，沿 400 米的环形跑道行走，甲每分钟走80 米，乙每分钟走50米，两人至少经过多长时间才能在A 点相遇？【解析】甲、乙走一圈分别需要5 分钟和8 分钟，因此他们要是在A 点再次相遇，两人都要走整圈数，所以所需的时间应是5 和 8 的最小公倍数40 分钟【巩固】 3 条圆形跑道，圆心都在操场中的旗杆处，甲、乙、丙3 人分别在里圈、中圈、外圈沿同样的方向跑步 . 开始时， 3 人都在旗杆的正东方向，里圈跑道长1 千米，中圈跑道长1千米，外圈跑道长 3千米.甲每小时跑 3154千米，乙每小时跑 4 千米，丙每小时跑 5千米 . 问他们同时出发，几小82时后， 3 人第一次同时回到出发点?【

24、解析】甲跑完一圈需 1312 小时， 乙跑一圈需 141小时，丙跑一圈需353 小时， 他们同5235416840时回到出发点时都跑了整数圈，所以经历的时间为2， 1 ， 3 的倍数，即为它们的公倍数而3516402132,1,36,4035,16,406 . 所以， 6 小时后， 3 人第一次同时回到出发点 .35161【巩固】有甲、乙、丙三个人在操场跑道上步行，甲每分钟走80 米，乙每分钟走120 米，丙每分钟走70米已知操场跑道周长为 400 米，如果三个人同时同向从同一地点出发，问几分钟后，三个人可以首次相聚？【解析】由题意，甲、乙、丙相聚时他们两两路程之差恰好是400 米的倍数，甲和

25、乙每分钟差120 80 40 ( 米 ) ，则需要 400 40 10 分钟乙才能第一次追上甲；同理，乙每分钟比丙多走120 70 50 ( 米 ) ，则需要 400 50 8 分钟乙才能追上丙；同理，甲每分钟比丙多走80 70 10 ( 米 ) ，则需要 400 10 40分钟甲才能追上丙； 而想要三人再次相遇， 所需的时间则为 10， 8， 40 的公倍数因为 10,8,40 40 ，所以三人相聚需要过 40 分钟，即 40 分钟后，三个人可以首次相聚【例 8 】已知两个自然数的积为240，最小公倍数为60，求这两个数【解析】由 于两个自然数的积两数的最大公约数两数的最小公倍数，可以得到，

26、最大公约数是240 60 4，设这两个数分别为 4a 、 4b ，那么 (a, b) 1 ，且 a b 60 4 15，所以 a 和 b 可以取 1和15 或3 和 5 ，所以这两个数是 4和 60 或 12和20【巩固】已知两数的最大公约数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？【解析】假 设这两个数是21a 和 21b ，易得 21ab126 ，所以ab6 ，由 a 和 b 互质，那么就有61 623两种情况所以甲、乙是：21 121， 21 6126 或 21242 ， 21 363 两种情况它们的和是147 或 105【巩固】已知两个自然数的最大公约数为4，最小公倍数为120

27、，求这两个数【解析】这两个数分别除以最大公约数所得的商的乘积等于最小公倍数除以最大公约数的商， 120 4 30，将 30 分解成两个互质的数之积： 1 和 30，2 和 15，3 和 10，5 和 6，所以这两个数为 4 与 120，或 8 与 60，或 12 与 40，或 20 与 24【 巩固】两个自然数的和是 125，它们的最大公约数是 25，试求这两个数【解析】 125255 ， 51423，两数可以为25、100 或者 50、75模块二、最大公约数与最小公倍数性质的综合应用【例 9 】 数 360 的约数有多少个 ?这些约数的和是多少?32× 5； 360 的约数可以且只

28、能是abc【解析】 360 分解质因数 :360=2 × 2× 2× 3× 3× 5= 2 × 32× 3 ×5,(其中 a,b,c 均是整数 , 且 a 为 0 3,6 为 0 2,c为 01) 因为 a、 b、 c 的取值是相互独立的, 由计数问题的乘法原理知, 约数的个数为 (3+1) × (2+1) × (1+1)=24 我们先只改动关于质因数3 的约数 , 可以是 l,3, 32, 它们的和为 (1+3+ 32 ), 所以所有360 约数的和为 (1+3+32 ) × 2 y

29、 × 5w ；我们再来确定关于质因数2323，所以所有 360约数的2 的约数 , 可以是 l,2, 2 , 2, 它们的和为 (1+2+ 2+ 2 )和为 (1+3+32 ) × (1+2+ 22 + 23 ) ×5w；最后确定关于质因数 5 的约数 , 可以是 1,5,它们的和为 (1+5),所以所有360 的约数的和为 (1+3+2233 ) × (1+2+2 + 2 ) × (1+5) 于是 , 我们计算出值 :13 × 15×6=1170 所以 ,360 所有约数的和为1170【巩固】已知 m、n 两个数都是只含质

30、因数10 个约数，求m 与 n 的和2p【解析】因为 75 3 5，如果设 m 33 和5，它们的最大公约数是75，已知 m 有 12 个约数， n 有q， nxy，那么 p、x 中较小的数是 1， q、y 中较小的数是5352 由于一个数的约数的个数等于它分解质因数后每个质因数的次数加1的乘积所以( p 1) ( q1) 12 ，( x1)( y 1)10 又 122 63 4，1025 ，由于 y 2，所以 y1 3 ，那么 y15 ， x 12 ，得到 x1， y 4 那么 q2 ，得到 p3 ，所以 m33 52675 ，n 341875 ， mn=2550 5【例 10 】甲、乙两个

31、自然数的最大公约数是7，并且甲数除以乙数所得的商是11 . 乙数是 _.8【解析】由( 甲，乙 )7 ，且甲：乙9:8 ，由于 8与 9互质，所以乙数8756 .【巩固】甲数是 36，甲、乙两数最大公约数是4，最小公倍数是288，那么乙数是多少？【解析】法 1：根据两个自然数的积两数的最大公约数两数的最小公倍数，有：甲数乙数 4288 ，所以，乙数 4 28836 32；法 2：因为甲、乙两数的最大公约数为4，则甲数4 9 ，设乙数4 b，则 (b,9)1 因为甲、乙两数的最小公倍数是288，则 2884 9 b ，得 b8 所以，乙数4832【巩固】马鹏和李虎计算甲、乙两个两位数的乘积，马鹏

32、把甲数的个位数字看错了，得乘积473；李虎把甲数的十位数字看错了，得乘积407，那么甲、乙两数的乘积应是 _.【解析】乙数是 473 与 407 的公约数 .473 与 407 的最大公约数是 11，11 是质数，它的两位数约数只有11，所以乙数是11，又 47343 11， 407 3711 ，所以甲数是47，甲、乙两数的乘积应为：47 11 517 .【例 11 】如图，鼹鼠和老鼠分别从长157 米的小路两端A、 B 开始向另一端挖洞。老鼠对鼹鼠说： “你挖完后，我再挖。 ”这样一来，由于老鼠原来要挖的一些洞恰好也是鼹鼠要挖的洞，所以老鼠可以少挖多少个洞？【解析】因为 157 除以 5 的

33、余数是2，可得下图鼹鼠 AB 老鼠0236 7912157单位：米由图中很明显可知，鼹鼠和老鼠重合的第一个洞在距离A点 12米处因为 3 ， 515，（15712） 15 145 159L 10 ，所以，老鼠和鼹鼠要挖的洞里重合的有9 1 10(个)【巩固】有一些小朋友排成一行，从左面第一人开始每隔2 人发一个苹果； 从右面第一人开始每隔4 人发一个桔子，结果有10 个小朋友苹果和桔子都拿到. 那么这些小朋友最多有多少人？（）【解析】苹果每 3 人发 1 个，桔子每 5 人发 1 个. 因为 3,515 ，所以苹果和桔子都拿到的 10个小朋友之间包括这10 个小朋友，共有 15(10 1)11

34、36 (人). 在他们的左边最多有4 个小朋友拿到苹果，所以左边最多还有3412 ( 人 ) ；右边最多有 2 个小朋友拿到桔子， 所以右边最多还有5 210( 人 ). 所以最多有： 13612 10 158 ( 人).【巩固】在一根长木棍上，有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10 等份，第二种刻度线把木棍分成12 等份，第三种刻度线把木棍分成15等份，如果沿每条刻度线把木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？【解析】从题目中可以知道，木棍锯成的段数，比锯的次数大1；而锯的次数并不一定是三种刻度线的总和，因为当两种刻度线重合在一起的时候，就会少锯一次所以本题的关键在于计算出有多少两种刻度线或者三种

35、刻度线重叠在一起的位置把木棍看成是10、12、 15的最小公倍数个单位，那么每个等分线将表示的数都是整数，而且重合位置表示的数都是等分线段长度的公倍数，利用求公倍数的个数的方法计算出重合的刻度线的条数10,12,1560 ，先把木棍60 等分，每一等分作为一个单位，则第一种刻度线相邻两刻度间占6个单位，第二种占5 个单位，第三种占4 个单位，分点共有9 11 14 34( 个)5,630，故在30 单位处二种刻度重合1 次；4,520，故在20、 40单位处二种刻度重合2次； 4,612 ，故在12、 24、 36、 48 单位处二种刻度重合4 次； 4,5,660 ，所以没有三种刻度线重叠在

36、一起的位置所以共有不重合刻度3412 427个从而分成 28 段【例 12 】已知正整数 a、 b 之差为120，它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍，那么 a、 b 中较大的数是多少？【解析】设 ab ，有 ab120 ，又设有 pqd 105d ，所以 pq 105若 p105 ， q1 ，则 pq( a, b)d ， apd ， bqd ， ( p, q)1 ，且 pq ，则 a,bpqd ，357 因为 ab( pq )d120 ，所以 ( pq) 是 120 的约数104 ，不符合；若 p35， q3 ，则 pq32 ，不符合；若 p21， q5 ，则 pq16 ，不符合；若 p

37、15， q7 ，则 pq8，符合条件由 ( pq)d8d120 ，得 d15，从而 a、 b 中较大的数 apd1515225 【巩固】已知两个自然数的和为54，它们的最小公倍数与最大公约数的差为114，求这两个自然数【解析】设这两个自然数分别是ma 、 mb ，其中 m 为它们的最大公约数，a 与 b 互质 ( 不妨设 ab ) ，根据题意有：mbmam(ab)54mab m m(ab 1) 114所以可以得到m 是 54 和 114的公约数，所以是 (54,114)6 的约数 m1，2，3 或 6如果 m1，由 m(ab)54 ，有 ab54；又由 m(ab1)114 ，有ab115 11

38、511155 23，但是 1115 11654， 5 232854 ，所以 m1 .如果 m2，由 m(ab)54 ，有 ab27 ；又由 m(ab1)114 ，有 ab58 58158229，但是 1585927， 229 3127 ，所以 m2 如果m3，由 m(ab)54 ，有 ab18；又由 m(ab1)114 ，有 ab39 39139313 ，但是 1394018， 313 1618，所以 m 3 如果 m6，由 m(ab)54 ，有 ab9；又由 m(ab1)114 ，有 ab2020表示成两个互质的数的乘积有两种形式：2012045 ，虽然1 2021 9，但是有459，所以取

39、 m6 是合适的，此时 a4 ， b 5 ，这两个数分别为24 和 30【例 13 】（ 2008 第四届“ IMC 国际数学邀请赛” （新加坡）六年级复赛）如图，A、 B、C 是三个顺次咬和的齿轮，当 A 转 4 圈时， B 恰好转 3 圈：当 B 转 4 圈时， C 恰好转 5 圈，则 A、B、C的齿数的最小数分别是多少？ACB【解析】当 A 转 4 圈时， B 恰好转3 圈，则 A、B 齿数的比值为 3: 4 ，同理， B、C 的齿数比值为 5: 4 。所以A、B、C 齿数比值为3 5:45:4415: 20:16 ，所以此时 A 齿数至少为15，B 的齿数至少是20，C 齿数至少是 1

40、6。【例 14 】求满足条件 111的 a、 b 的值 (a 、 b 都是四位数 ) ab1001【解析】取 1001 的两个不同约数 x、 y( xy) ，得到：1xyxy110011001(xy)1001( x y)1001(x y) 1001(xx的约数，所以1001 、 1001 都是整数所以只需令axy1，因为x、 y 都是 10011001 (x y)y)y1001（ x+y）， b1001（x+y）就可以了而xya、 b 都要大于 1001，要保证 a、b 都是四位数，所以 a、b 的比值都要小于 10，即 x、y 的比值小于 10而 1001 的两个互质且比值小于 10 的约数

41、有以下几组： （1,7）、（7,11）、（7,13）、（11,13）、（11,91）、（13,77）所以我们依次取x、 y 为上面所列的数对中的数，代入a、 b 的表达式，得到本题的答案：a8008,2574,2860,2184,9282,6930b1144,1638,1540,1848,1122,1170【例 15 】 N 为自然数， 且 N1 ， N2 、 、 N9 与 690 都有大于 l 的公约数 N 的最小值为多少？【解析】 69023 523，连续 9 个数中，最多有5 个是 2 的倍数，也有可能有4 个是 2 的倍数如果有 5 个连续奇数，这5 个连续奇数中最多有2 个 3 的倍

42、数， 1 个 5 的倍数， 1 个 23 的倍数，所以必然有一个数不是2、 3、 5、 23 的倍数，即与690 没有大于l 的公约数所以 9 个数中有5 个偶数，则N1、 N3、 N5、 N7 、 N9 是偶数，剩下的4 个奇数中，有 2个 3的倍数， 1个 5的倍数， 1个23 的倍数可知 4个奇数中 N2 、 N8 是 3 的倍数，还有 N4、 N6 一个是5 的倍数，一个是23 的倍数，那么这两个数最小只能为23 和 25，故N 423，得N19故 N 的最小值为 19【例 16 】一个两位数有6 个约数，且这个数最小的3 个约数之和为10，那么此数为几？【解析】最小的三个约数中必然包括约数1，除去1 以外另外两个约数之和为9，由于9 是奇数，所以这两个约数的奇偶性一定是相反的，其中一定有一个是偶数，如果一个数包含偶约数，那么它一定是 2 的倍数，即2 是它的约数。于是2 是这个数第二小的约数，而第三小的约数是7，所以这个两位数是 14的倍数，由