平行四边形的性质及判定典型例题

1、平行四边形的性质及判定典型例题1.平行四边形及其性质A-方7C例1如图，0是ABCD对角线的交点. OBC的周长为59,BD=38 , AC=24，贝0 AD=假设厶OBC与厶OAB的周长之差为 15,那么AB= ABCD的周长=分析：AC,可得BC,再由平行四边形对边相等知 AD=BC，由平 行四边 形的对角线互相平分，可知 OBC与厶OAB的周长之 差就为BC与AB之差，可得 AB，进而可得 ABCD的周长.对角线互相平分 OBC 的周长 =OB + OC + EC=19 12 BC=59BC=28ABCD 中， BC=AD平行四边形对边相等AD=28 OBC 的周长 - OAB 的周长=

2、OBOCBC-OBOA+AB =BC-AB=15 AB=13 ABCD 的周长=ABBCCDAD=2ABBC=21328=82说明：此题条件中的“ OBC占厶OAB的周长之差为15 用符号语言表示出来后，便容易发现其实质，即BC与AB之差是15 .例2判断题(1) 两条对边平行的四边形叫做平行四边形.()(2) 平行四边形的两角相等.()(3) 平行四边形的两条对角线相等.()(4) 平行四边形的两条对角线互相平分.()(5) 两条平行线中，一条直线上任一点到另一条直线的垂线段叫 做两条平行线的距离.()(6) 平行四边形的邻角互补.()分析：根据平行四边形的定义和性质判断.解：(1)错“两组

3、对边分别平行的四边形叫做平行四边形是两组对 边，而不是两条对边.如图四边形ABCD，两条对边AD / BC .显 然四边形ABCD 不是平行四边形.(2) 错平行四边形的性定理 1， “平行四边形的对角相等. 对 角是指四边形中设有公共边的两个角，也就是相对的两个角.(3) 错平行四边形的性质定理 3， “平行四边形的对角线互相平 分. 一般地不相等. (矩形的两条对角线相等 ) .(4) 对根据平行四边形的性质定理 3 可判断是正确的.(5) 错线段图形，而距离是指线段的长度，是正值正确的说法是： 两条平行线中，一条直线上任一点到另一条直线的垂线段的 长度叫做这两条平行线的距离.(6) 对由

4、定义知道，平行四边形的对边平行，根据平行线的性质可知平行四边形的邻角互补.例3 如图1，在ABCD中，E、F是AC上的两点.且AE=CF 求证：ED / BF .分析：欲址 DE / BF，只需/ DEC= / AFB,转证=/ ABFCDF,因 ABCD ,那么有 AB CD ,从而有/ BAC= / CDA 再由 AF=CF得AF=CE .满 足了三角形全等的条件.证明:AE=CFAE+EF=CF+EFAF=CE在 ABCD中AB / CD 平行四边形的对边平行/ BAC= / DCA 两直线平行内错角相等AB=CD平行四边形的对边也相等 ABF CDE (SAS )/ AFB= / DC

5、EED II BF 内错角相等两直线平行 说明：解决平行四边形问题的根本思想是化为三角形问题不处理.例4如图在 ABC中DE II BC II FG，假设BD=AF、求证;DE + FG=BC A 人分析1：要证DE + FG=DC由于它们是平行线，由平行四边形定义和性质.考虑将DE平移列BC上为此，过E 或D 作 EH II AB 或 DM II AC，得到 DE=BH、只需证 HC=FG , 因 AF=BD=E , H Z CEH Z = A. Z AGF =Z C 所以 AFG EHC .此方法称为截长法.分析2 :过C点作CK II AB交DE的延长线于K，只需证FG=EK , 转证

6、AFG CKE .ZxFR证法1：过E作EH II AB交于HT DE II BC 四边形DBHE是平行四边形 平行四边形定义DB=EHDE=BH平行四边形对边也相等 又 BD=AFAF=EH/ BC II FG / AGF= Z C 两直线平行同位角相等 同理 Z A= Z CEH AFGEHC(AAS)FG=HC BC=BH+HC=DE=FG即 CE+FG二BD证法2:.过C作CK II AB交DE的延长线于K./ DE II BC 四边形DBCK是平行四边形平行四边形定义 CK=BD DK=BC平行四边形对边相等又 BD=AFAF=CKCK II AB/ A= / ECK 两直线平行内错

7、角相等BC II FG/ AGF= / AED 两直线平行同位角相等 又/ CEK= / AED 对顶角相等/ AGF= / CEK AFGCKE AAS FG=EKDE+EK=BC二 DE+FG=BC例 5 如图 ABCD 中，/ ABC= / 3 A，点 E 在 CD 上,CE=1 , EF丄CD交CB延长线于 F，假设 AD=1，求 BF的长.D】? jr /|rJ/cJr /A:ipIf /jr?分析：根据平行四边形对角相等，邻角互补，可得/C= / F=45 进而由勾股定理求出CF，再根据平行四边形对边 相等，得 BF 的长解：在 ABCD 中，AD II BC/ A +Z ABC=

8、18 0 两直线平行同旁内角互补/ ABC=3 / A/ A=45 , Z ABC=13 5 / C= Z A=45 平行四边形的对角相等EF丄CD.Z F=45 直角三角形两锐角互余 EF=CE=1/ AD=BC=1例 6 如图 1，ABCD 中，对角线 AC 长为 10cm，Z CAB=30A解：过点C作CH丄AB，交AB的延长线于点H .(图2)/Z CAB=30 S ABCD = AB CH = 6 X 5=30(cm2)答：ABCD的面积为30cm2 .说明：由于=底X高，题设中AB的长，须求出与底AB相应的高，由于此题条件的制约，不便于求出过点D的高，应选择过点C作高.例7如图，

9、E、F分别在 ABCD的边 CD、BC上，且EF / BD分析：运用平行四形的性质，利用三角形全等，将其底同咼的二角形.证明：将EF向两边延长分别交 AD、AB的延长线于G、H.ABCD D / E AB / DEG / = BHF 两直线平行同位角相等 / GDE / = DAB 同上AD / BC/ DAB= / FBH 同上 / GDE / = FBH/ DE / BH , DB / EH四边形BHED是平行四边形DE=BH平行四边形对边相等 S GDE= S FBH 全等三角形面积相等 GE=FH全等三角形对应边相等 S ACE=S AFH 等底同高的三角形面积相等 S ADE = S ABF说明：平行四边形的面积等于它的底和高的积.即S=a ha . a可以是平行四边形的任何一边， h必须是a边与其 对边的距离.即 对应的高，为了区别，可以把高记成 ha，表 明它所对