关于第二类曲线积分教学的探讨-

1、第24卷第6期喀什师范学院学报V o l.24N o.6 2003年11月Jou rnal of Kashgar T eachers Co llege N ov.2003关于第二类曲线积分教学的探讨战黎荣,赵田夫(保定师范专科学校,河北保定071051摘要:对第二类曲线积分的教学方法进行了探索,提出了自己的做法.关键词:第二类曲线积分;教学;参变量;积分路径中图分类号:O172.2文献标识码:A文章编号:10062432×(20030620097202第二类曲线积分是微积分学的重要内容.如果依教材安排进行讲授,学生不容易理解和接受.在教学实践中,我们对教材内容进行适当调整,改进教学方

2、法,取得了较好的教学效果.1重视定义解释及性质的证明在高等数学教材中,第二类曲线积分的定义来源于物理学背景(变力所作的功.选这个经典例子就是要说明方向问题,所以我们讲解定义时重点强调第二类曲线积分是有方向的,从而得到了第二类曲线积分的性质.接着对这一性质进行证明,通过第二类曲线积分性质的证明,不仅使学生对定义有了深入的理解,同时也能牢记性质的内容.2在第二类曲线积分的计算中将积分路径的参数方程表示出来例计算L y d x+x d y(其中积分路径L为x2+y2=2x(y>0由起点O(0,0到终点B (2,0的积分值.方法1分析:被积函数中的变量x,y都与积分路径L的方程有关,所以可以把x

3、(或y 作为参数,L的方程:x2+y2=2x(y>0,选x为参数,y=2x-x2(0x2,d y=1-xd x.2x-x2解:I=L y d x+x d y=20(2x-x2+x 1-xd x2x-x2=220(1-(x-12d x-20xd x,1-(1-x2收稿日期:2003207210作者简介:战黎荣(19562,女,黑龙江省鸡西市人,河北省保定师范专科学校讲师. 利用定积分第二类换元法作变量替换,令x -1=sin ,d x =co sd ,I =22-2co s co s d -2-21+sin co s co s d =-=0.在方法1中,确定参数为x ,写出L 的参数方程x

4、 =x y =f (x ,找出参数的起点和终点.被积函数表示为P (x ,y =P (x ,f (x ,Q (x ,y =Q (x ,f (x ,d y =f (x d x ,即把第二类曲线积分计算转化为关于x 的定积分计算.同样也可以选y 为参数,这里不再赘述.方法2分析:选t 为参数,把L 的方程x 2+y 2=2x 改写成参数方程:x =1+sin t y =co s t (-2t 2,即d x =co s t d t d y =-sin t d t 解:I =L y d x +x d y =2-2co s t co s t +(1+sin t (-sin t d t =2-2(co s

5、 2t -sin 2t -sin t d t =0.在方法2中,确定参数t ,把路径L 的方程y =f (x 改写为参数方程x =(t y =(t ,确定参数t的起点和终点.把被积函数表示为P (x ,y =P (t ,(t ,Q (x ,y =Q (t ,(t .d x =(t d t ,d y =(t d t .将第二类曲线积分计算转化为关于t 的定积分计算.通过上例分析,我们得出计算第二类曲线积分的一般步骤:(1选择适当的参数,写出积分曲线的参数方程;(2将曲线L 的参数方程代入被积函数中的x ,y ;分别求出d x ,d y ;把LP (x ,y d x +Q (x ,y d y 化为

6、关于参数的定积分,确定积分限时必须注意,下限对应于L 的起点,上限对应于L 的终点;(3计算该定积分.在教学中,还要向学生说明第二类曲线积分的计算还有其他方法,如利用全危分、格林公式和积分与路径无关等来计算,这些方法在以后的学习过程中会逐渐接触到.参考文献:1盛祥耀.高等数学M .北京:高等教育出版社,1998.12.2四川大学数学系高等数学教研室.高等数学M .北京:高等教育出版社,2001.1.3王景克.高等数学解题方法与技巧M .北京:中国林业出版社,2001.9.The I m provem en t on Educa tiona l Reforma tion of SecondCurv il i near I n tegra lZHAN L i 2rong ,ZHAO T ian 2fu(Baoding T eachers Co llege ,Baoding 071051,H ebei ,Ch ina Abstract :T h is article expounds the teach ing m ethod refo rm ati on of second cu rvilinear in te 2gral ,b ring upp ed the ow n w ay of do ing