定积分的换元法与分部法ppt课件

1、上页下页铃结束返回首页 5.3 定积分的换元法和分部积分法一、定积分的换元法二、定积分的分部积分法上页下页铃结束返回首页一、定积分的换元法 假设函数f(x)在区间a, b上连续, 函数x(t)满足条件: (1)(t)在, (或, )上具有连续导数; (2)(a)a, ()b, 且(a,b)=a,b, 则有dtttfdxxfba)()()( v定理换元公式证明 是的原函数, 因此有那么baxxfd)()()(aFbF)(F)(Ftfd)(t)(tF)(tf)(t)(t 设F(x)为f(x)的一个原函数, 上页下页铃结束返回首页例1 计算).0(d022axxaa解 令,sintax 那么,dco

2、sdttax ;0,0tx时当.,2tax时原式=2attad)2cos1 (2202)2sin21(22tta0242a20ttdcos2dtttfdxxftxba)()( )()(令(当 xa 时 t 当 xb 时 t) 上页下页铃结束返回首页例2 计算10d .43xxx解 令43 ,tx那么24,3tx原式 =212423()d3tttt dtttfdxxftxba)()( )()(令(当 xa 时 t 当 xb 时 t) 2dd ,3xt t 当x =0时, t =2;当x =1时, t =12212(4)d9tt3212 (4)93tt10.27上页下页铃结束返回首页例 2 计算x

3、dxxsincos520 例3 解 xxdxdxxcoscossincos520520 xxdxdxxcoscossincos520520 xxdxdxxcoscossincos520520 610cos612cos61cos6166206x610cos612cos61cos6166206x 6161 106105015costdttdtttx令6161 106105015costdttdtttx令6161 106105015costdttdtttx令6161 106105015costdttdtttx令6161 106105015costdttdtttx令 xxdxdxxcoscossinc

4、os520520或提示：当 x0 时 t1 当2x时 t0 提示：换元一定要换积分限 不换元积分限不变 dtttfdxxftxba)()( )()(令(当 xa 时 t 当 xb 时 t) 上页下页铃结束返回首页aaadxxfdxxfxfdxxfxf000)(2)()()()( 证明 例4 设f(x)在a, a上连续, 证明 证明 因为dxxfdxxfdxxfaaaa)()()(00 而 aaatxadxxfdttfdttfdxxf0000)()()( )(令aaaadxxfdxxfdxxf00)()()( aaatxadxxfdttfdttfdxxf0000)()()( )(令aaatxad

5、xxfdttfdttfdxxf0000)()()( )(令aaatxadxxfdttfdttfdxxf0000)()()( )(令 0( ) ( )()aaaf x dxf xfx dx 并计算 211.1xxdxe2111xxdxe2210()11xxxxdxee120 x dx1.30()aft dt上页下页铃结束返回首页 注: 例4 设f(x)在a, a上连续, 证明 (1) 当f(x)为奇函数时, (2) 当f(x)为偶函数时, ( )0.aaf x dx0( )2( ).aaaf x dxf x dx 练习 1221(sin1cos)_.xxdx0( ) ( )()aaaf x dx

6、f xfx dx22(sin1 cos)xx222sin2sin1 cos1 cosxxxx 222sin1 cosxx4上页下页铃结束返回首页 证明 例5 若f(x)在0, 1上连续, 证明 (2)00)(sin2 )(sindxxfdxxxf (1)2020)(cos)(sindxxfdxxf 证明 (1)令tx2 则 dttfdxxf)2sin()(sin02202020)(cos)2sin(dxxfdttfdttfdxxf)2sin()(sin0220 2020)(cos)2sin(dxxfdttf 上页下页铃结束返回首页(2)令xpt. 因为 例5 若f(x)在0, 1上连续, 证明

7、 (2)00)(sin2 )(sindxxfdxxxf (1)2020)(cos)(sindxxfdxxf 证明 00)sin()()(sindttftdxxxf00)(sin)()sin()(dttftdttft00)(sin)(sindtttfdttf00)(sin)(sindxxxfdxxf所以 00)(sin2 )(sindxxfdxxxf 00)sin()()(sindttftdxxxf00)(sin)()sin()(dttftdttft上页下页铃结束返回首页 例6 计算02dcos1sinxxxx02dcos1sin2xxx02)(cosdcos112xx0)arctan(cos2

8、x.42)44(202dcos1sinxxxx 解 例5 若f(x)在0, 1上连续, 证明 (2)00)(sin2 )(sindxxfdxxxf (1)2020)(cos)(sindxxfdxxf 上页下页铃结束返回首页二、定积分的分部积分法 设函数u(x)、v(x)在区间a, b上具有连续导数 由 (uv)uvuv 得 uv(uv)uv 等式两端在区间a b上积分得 vdxuuvdxvubababa 或这就是定积分的分部积分公式 bababauvuvvudd上页下页铃结束返回首页 解 例7 例 1 计算xdxarcsin210 解 xdxarcsin210 xxdxxarcsinarcsi

9、n210210)1 (1121121621222102210 xdxdxxx123121122102xxdxarcsin210 xxdxxarcsinarcsin210210 )1 (1121121621222102210 xdxdxxx 123121122102x 上页下页铃结束返回首页例8 计算 解102d)2()1ln(xxx10)1ln(x2ln10)2ln()1ln(312lnxx2ln31原式=dx21102)1ln(xxxxxd112110 xd10 xx211131上页下页铃结束返回首页 解 202)sin(sin) 1(dxxxnnn 例9 例 10 求20sinxdxInn

10、 解 20120cossinsinxxdxdxInnn20202sin) 1(sin) 1(xdxnxdxnnn 21nnInnI 由此得 201201sincossincosxxdxxnn 2022sincos) 1(xdxxnn 20120cossinsinxxdxdxInnn 2(1)(1),nnnInI上页下页铃结束返回首页 21nnInnI 公式: 200dxI201dsinxxI注意:,2, 12200dcosdsinxxxxInnn nnnnnnnnnn,3254231,22143231为正偶数为大于1的正奇数 例9 例 10 求20sinxdxInn 上页下页铃结束返回首页例10 求 22204dxxx解2sin ,xt令原式242016(sinsin)dttt13 116()2 24 2 22cost24sin t02 ttxdcos2d2cos d t t.上页下页铃结束返回首页设( )0,1,fx在连续(0)1,(2)3,ff且,5)2( f求.d)2(10 xxfx 解 xxfxd)2(10)2(d2110 xfx10)2(21xfx xxfd)2(102510)2(41xf2思考题1上页下页铃结束返回首页证 右端baxfbxax)(d)(21abxfbxax)()(21xbaxxfbad)2)(21)(d)2(21xfbaxbaxxfbad