两个基本计数原理(一)

1、11 两个基本计数原理（一）一、教学目标 1通过实例，总结出分类计数原理、分步计数原理； 2了解分类、分步的特征，合理分类、分布； 3体会计数原理的基本原则：不重复，不遗漏二、教学重点： 1分类计数原理与分步计数原理的区别与联系； 2如何选用分类计数原理与分步计数原理三、教学难点 1准确理解分类计数原理与分步计数原理； 2初步运用分类计数原理与分步计数原理解决简单的实际问题四、教学过程姜堰千岛湖火车1火车2火车3汽车1汽车2 1问题情境一：五一期间，某家庭自助旅游，欲从姜堰去千岛湖（浙江淳安县），一天中有火车3班，有汽车2班，那么一天中乘坐这些交通工具从姜堰到千岛湖有多少种不同的走法？ 思考：

2、假使一天中还有航班1次，轮船2次，那么从姜堰到千岛湖有多少种不同的方法？ 2由情境一，你能归纳猜想出一般结论吗？ 分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2中不同的方法，在第n类方式中有mn中不同的方法，那么完成这件事共有 N = m1 + m2 + + mn种不同的方法要点分析：（1）分类；（2）相互独立；（3）N = m1 + m2 + + mn（各类方法之和）3问题情境二：后来听说衢州（浙江省西部）是中国著名影视明星周迅的故乡，有被誉为“世界第九大奇迹”的龙游石窟，于是改变行程，先乘火车从姜堰到衢州，再乘汽车从衢州到千岛湖，一

3、天中火车有3班，汽车有2班，那么从姜堰到千岛湖有多少种不同的走法？（不考虑时间因素） 4由情境二，你能归纳猜想出一般结论吗？ 分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N = m1 × m2 × × mn种不同的方法要点分析：（1）分步；（2）每步缺一不可，依次完成；（3）N = m1 × m2 × × mn（各步方法之积） 5数学运用 例1 （课本P6页例2）（1）在图的电路中，只合上一只开关以接通电路，有多少种不同的

4、方法？（2）在图的电路中，合上两只开关以接通电路，有多少种不同的方法？ 总结，提升：变式训练：如下图，从A到B共有多少条不同的线路可通电？（每条线路仅含一条通道）例2 （补充）现有高一年级的学生4名，高二年级的学生5名，高三年级的学生3名 （1）从中任选一人参加夏令营，有 种不同的选法？ （2）从每个年级的学生中各选一人参加夏令营，有 种不同的选法？变式训练：从不同年级中选两名学生参加夏令营，一共有多少种不同的选法？例3 （课本P7页例3）为了确保电子信箱的安全，在注册时，通常要设置电子信箱密码在某网站设置的信箱中， （1）密码为4位，每位均为0到9这10个数字中的一个数字，这样的密码共有多少

5、个？ （2）密码为4位，每位是0到9这10个数字中的一个，或是从A到Z这26个英文字母中的一个这样的密码共有多少个？ （3）密码为46位，每位均为0到9这10个数字中的一个这样的密码共有多少个？变式训练：若在登陆某网站时弹出一个4位的验证码：XXXX（如2a8t），第一位和第三位为0到9中的数字，第二位和第四位为a到z这26个英文字母中的一个，则这样的验证码最多有 个？6随堂练习 （1）书架的上层放有4本不同的英语书，中层放有5本不同的语文书，下层放有6本不同的数学书，从中任取1本书的不同取法的种数是 （2）在上题中，如果从中任取3本，英语、语文、数学各1本，则不同的取法的种数是 （3）（课本

6、P8页例4）用4种不同颜色给下图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，共有多少种不同的涂法？ 7课堂小结 弄清两个原理的区别与联系，是正确使用这两个原理的前提与条件 这两个原理都是指完成一件事，区别在于： （1）分类计数原理（加法原理）是“分类”，每类办法中的每一种方法都能独立完成一件事； （2）分步计数原理（乘法原理）是“分步”，每种方法都只能做这件事的一步，不能独立完成这件事，只有各个步骤都完成才算完成这件事！ 8布置作业11 两个基本计数原理（二）一、教学目标 1能根据具体问题的特征，选择运用分类计数原理、分步计数原理； 2能综合运用两个原理解决一些简单的实际问题； 3会用列举法解一

7、些简单问题，并体会两个原理的作用二、教学重点综合运用两个基本原理解决一些简单的实际问题三、教学难点准确选用两种基本原理四、教学过程 1复习回顾 分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2中不同的方法，在第n类方式中有mn中不同的方法，那么完成这件事共有N = m1 + m2 + + mn种不同的方法要点分析：（1）分类；（2）相互独立；（3）N = m1 + m2 + + mn（各类方法之和） 分步技术原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，

8、那么完成这件事共有N = m1 × m2 × × mn种不同的方法要点分析：（1）分步；（2）每步缺一不可，依次完成；（3）N = m1 × m2 × × mn（各步方法之积）两种基本计数原理的区别与联系：（见下表） 2数学运用（1）列举法计数例1 某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3盒，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式有 7 种注明：本题可以列树状图（2）合理分类，运用分类加法计数原理计数 例2 等腰三角形的三边均为正整数，且其周长不大于10，这样的不同形状的

9、三角形的种数为 10 种 注明：注意到边长为正整数，周长不大于10，且任意两边之和大于第三边按腰长分类，再分类计数，防止重复或遗漏（3）巧妙分步，运用分步乘法计数原理计数 例3 将3种作物种植在如图所示的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有多少种？（三种作物必须都种植） 注明：因有3种作物种植，需去掉只种两种作物的情况，这种情况易被忽略 答案：42种（4）综合运用两个计数原理 例4 现有高一年级某班三个组学生24人，其中第一、二、三组各7人、8人、9人，他们自愿组成数学兴趣小组 （1）选其中1人为负责人，有多少种不同的选法？ （2）每组选1名组长，

10、有多少种不同的选法？ （3）推选2人作代表发言，这2人需来自不同的组，有多少中不同的选法？ 注明：计数关键在于不重复不遗漏，我们常用分类或分步的方法将较复杂的问题分解成若干较简单的问题 答案：（1）24种；（2）504种；（3）191种 例5 在3000至8000之间有多少个无重复数字的奇数？ 注明：解决本题，容易得到以下错解：“分三步完成，先排首位有5种方法，再排个位有5种方法，最后排中间两位有8×7种方法，所以共有5×5×8×7 = 1400（个）”产生以上错解的原因是：由题意，3、5、7这三个数既可以排在首位，也可以排在个位，因而首位与个位有可能重

11、复实际上，当首位为3、5、7时，末位只有4种方法因此，首位是用3、5、7，还是用4、6，影响到第二步，即填个位的方法数，遇到此类情形，则要分类处理 答案：1232（个） 3随堂训练 （1）课本P9页练习15；（2）课本P9页习题1.1 4课堂总结 解决计数问题必须审清：做什么“事”？怎样才算“完成”？采用何种“方式”完成？若采用“分类”的方式完成，则需遵循同一个分类标准，以防重漏现象的发生；若采用“分步”的方式，则需按这件事发展的连续过程分层次进行，若某一步中的每一种方法对其下一步中的方法数产生了不同的影响，则需采取先分类后分步的方式来协调 5布置作业 12 排列（一）一、教学目标 1正确理解

12、排列的概念，了解树形图及字典排序法； 2理解排列数及简单的排列数的计算；二、教学重点排列的概念及写排列问题三、教学难点 1利用树形图或字典排序法写一些简单排列问题的所有排列； 2排列与排列数的区别与联系四、教学过程 1问题情境前面我们认识了计数的两个基本原理，下面来研究关于计数的一类常见问题：问题一：从5人的数学兴趣小组中选2人分别担任正、副组长，有多少种不同的选法？（20）问题二：用1，2，3，4，5这5个数字组成没有重复数字的两位数，共有多少个？（20）问题三：从a，b，c，d，e这5个字母中，任取两个按顺序排成一列，共有多少种不同的排法？（20）这三个问题有什么共同特点？能否对上面的计数

13、问题给出一种简便的计数方法呢？共同特点：问题三中把字母a，b，c，d，e分别代表人，就是问题一；分别代表数，就是问题二把上面问题中所取的对象叫做元素，于是问题一、二、三都变成问题：从五个不同的元素中任取两个，然后按顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？ 2问题探究（学生活动） 排列问题：从5个不同的元素a，b，c，d，e中任取2个，然后按顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？ 方法一：运用分步计数原理：可知共有5×4 = 20种不同排列方法二：因为所有不同的排列（可以一一列举出来）是ab，ac，ad，ae，ba，bc，bd，be，ca，cb，cd，ce，da，db，dc，de，e

14、a，eb，ec，ed所以共有20种说明：如果排列问题搞清楚了，那么以后这类问题的解决就可以直接说出结果，这无疑是今后计数问题的一种非常简便的方法（一劳永逸的方法哦！）再比如课本的两个问题，阅读课本第11页到第12页学生自我分析问题：从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？（介绍字典排序法与树形图）字典排序法 树形图 3数学理论（排列概念及排列数概念） 一般地，从n个不同的元素中取出m（mn）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列（arrangement） 概念说明：（1）元素不能重复；（2）“按一定顺序”就是与位

15、置有关，这是判断一个问题是否是排列问题的关键；（3）两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同；（4）mn时的排列叫做选排列，mn时的排列叫做全排列；（5）为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，最好采用“数形图”或“字典排序法” 为了研究问题的方便，我们给出下面概念及符号： 一般地，我们把从n个不同元素中取出m（mn）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示 思考：（1）“排列”与“排列数”有何区别与联系？（2）运用分步乘法计数原理或枚举法（字典排序或数形图），我们可以求出排列数试求及 4数学运用 例 分析下列问题，那

16、些是求排列数问题？ （1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各一本，共有多少种不同的送法？ （2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各一本，共有多少种不同的送法？ （3）用0，1，2，3，4这5个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ （4）用1，2，3，4，5这5个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ （5）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做加法，其不同结果有多少种？ （6）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做除法，其不同结果有多少种？ 答案：（1）是；（2）不是；（3）不是；（4）是；（5）不是；（6）不是 拓展：求出上面问题的答案 答案：（1）60；（2

17、）125；（3）48；（4）60；（5）5；（6）10 5课堂总结 （1）排列的定义中包含两个基本内容：一是“取出元素”，二是“按照一定顺序排列”，这里的“一定顺序”就是指与位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志 （2）当元素较少时，可以根据排列的意义列出所有的排列（枚举法中的字典排序法与树形图） （3）思考：那么怎样更快的写出排列数呢？ 6布置作业12 排列（二）一、教学目标 1掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思想； 2初步掌握应用排列数公式进行一些简单的排列数的计算、证明与化简二、教学重点 排列数公式的推导与应用三、教学难点 排列数公式的推导与应用四、教学过程

18、 1复习回顾与问题引入 在上一节课，我们认识了排列、排列数的概念，下面，请同学们计算如下排列数：，并由此归纳猜想：一般地=？ 2学生活动= 2，= 6，= 12，= 20，= 30另外，排列可以看作是分步完成的，以为例 故= 6×5 = 30一般地，有故更一般地，有故 3数学理论（1）根据分步计数原理，我们得到排列数公式其中n，mN*，且mn （2）n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列在排列数公式中，当m = n时，即有称为n的阶乘（factorial），通常用n!表示，即 （3）概念剖析 排列数公式的特点：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个因数少1，

19、最后一个因数是n m + 1，共有m个因数； 当m = n时，即n个不同元素全部取出的一个排列全排列数为：（叫做n的阶乘）； 公式的变形： 规定：0！= 1，其中mn 4数学运用例1 计算：（1）；（2） 答案：（1）720；（2）5例2 若，则n = ，m = 答案：17，14例3 若nN*，且55n69，则用排列数符号表示为 ？ 答案：例4 7人站在一排照相，共有多少种不同的站法？ 答案：例5 某年全国足球甲级联赛共有14队参加，每队都要与其余各队在主客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？ 答案：182例6 四支足球队争夺冠、亚军，不同的结果有多少种？ 答案：12种例7 从参加乒乓球团体比赛

20、的5名运动员中选出3名进行某场比赛，并排定他们的出场顺序，有多少种不同的方法？ 答案：60种例8 从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上进行试验，有多少种不同的种植方法？ 答案：24种例9 解方程： 答案：例10 解不等式： 答案：3，4，5，6，7例11 求证：（1）；（2）例12 化简：（1）；（2） 答案：（1）；（2） 5课堂小结（1）解含排列数的方程或不等式时要注意排列数中，n，mN*，且mn这些限制条件，要注意含排列数的方程和不等式中未知数的取值范围；（2）公式常用来求值，特别是m，n均为已知时，公式，常用来证明和化简 6布置作业12 排列（三）一、教学目标 1熟

21、练掌握排列数公式； 2能运用排列数公式解决一些简单的应用问题，使学生逐步学会分析问题的方法，提高解决问题的能力二、教学重点 常见的排列数公式应用问题的解题策略三、教学难点 排列数公式应用的切入点分析四、教学过程 1复习回顾与问题引入前面我们认识了分类加法原理与分步乘法原理以及从n个不同元素取出m（mn）个不同元素的排列数，运用这些知识方法可以较好的解决一些计数问题 这节课，主要通过一些计数问题的思考来体会其中的方法及训练思维2数学运用 思考一：（课本P16页例7）用0到9这10个数字能组成多少个没有重复数字的三位数？ 解法1：直接法（优先考虑特殊位置） 由于百位上的数字不能是0，因此，为了得到

22、这个三位数， 第一步：先排百位上的数字，它可从1到9这9个数字中任选1个，有种选法 第二步：再排十位和个位上的数字，是从余下的9个数字中任选2个的一个排列，有种选法 根据分步计数原理，所求的三位数的个数是· = 9×9×8 = 648解法2：直接法（优先考虑特殊元素） 由于0是一个特殊元素，因此可先排这个特殊元素符合条件的三位数可以分为3类： 第一类：每一位数字都不是0的三位数有个； 第二类：十位数字是0的三位数有个； 第三类：个位数字是0的三位数有个 根据分类计数原理，符合条件的三位数的个数是+= 648解法3：间接法（先求排列总数，然后去掉不符合条件的，间接求

23、得答案）从0到9这10个数字中任取3个数字的排列数为，其中0在首位的排列数为，这些排列不能构成三位数，因此，所求的三位数的个数是：= 648答 可以组成648个没有重复数字的三位数同步练习一：（1）7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？ 答案：240种（2）7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？ 答案：2400种说明：对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“排除法”，“直接法”中对某些特殊元素可以优先考虑思考二：7位同学站成一排（1）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？（2）甲、乙不能相邻的排法共有多少种？（3）甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能

24、站在排头和排尾的排法有多少种？解：（1）相邻问题可以采用“捆绑法”，但要注意捆绑在一起的元素也要排序！ 答案：1440种； （2）不相邻问题可以采用“排除法”或“插空隙法”，前者是一种间接法，后者是一种直接法； 答案：3600种； （3）可以按“位置的特殊性”或“元素的特殊性”进行特殊考虑 答案：960种同步练习二：（3）6张同排连号的电影票，分给3名教师与3名学生，若要求师生相间而坐，则不同的分法有多少种？（答案：）（4）某商场中有10个展架排成一排，展示10台不同的电视机，其中甲厂5台，乙厂3台，丙厂2台，若要求同厂的产品分别集中，且甲厂产品不放两端，则不同的陈列方式有多少种？（答案：28

25、80） 思考三：（1）七个人站成一排，其中甲在乙前（不一定相邻），乙在丙前，则共有多少种不同的站法？（2）8个人坐在圆桌上吃饭，共有多少种不同的坐法？（圆排列问题） 解：（1）这类部分元素有先后顺序的问题可以用如下的两种方法处理： 整体除法原理答案÷= 840种；逐步插空法答案= 840种（2）这是圆排列问题，我们可以以某个元素为参照物把它转化为排列问题，即规定在这个元素左边相邻的一个元素为排头，在该元素右边相邻的一个元素为排尾，也就是让该元素定下位置（无论在哪个位置都一样），再让其余7个元素站成排成一排，排头的在该元素左边，其余元素依次确定这样，把n个元素放在圆周上无编号的n个位置

26、上的问题，我们称之为n个元素的圆排列问题，其圆排列种数为3课堂小结 基本的解题方法：（1）有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常通常是先排特殊元素或特殊位置，称为优先法；（2）某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”；（3）某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空隙”法 排列问题解法相当灵活，一般可采用直接和间接两种思维形式，用多种方法思考不仅可以提升思维能力，还可以检验答案4布置作业13 组合（一）一、教学目标 1正确理解组合与组合数的概念； 2弄清组合与排列之间的关系

27、； 3会做组合数的简单运算二、教学重点 1组合与排列的区别与联系； 2组合数公式的推导三、教学难点 组合数公式的推导四、教学过程 1设置情境前面我们研究的排列问题，许多计数问题可归结为排列问题来处理思考下面两个问题：问题一：有5本不同的书， （1）取出3本，分给甲、乙、丙三人，每人一本，有几种不同的分法？（60）（2）取出3本给甲，有几种不同的取法？（10） 问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名，（1）分别去参加某天的上、下午活动，有多少种不同的选法？（2）去参加一项活动，有多少种不同的选法？ 分析：两个问题的第（1）问都涉及顺序，而第（2）问都没有顺序前者是排列问题，后者就是今天要研究的组

28、合问题2数学理论1 组合：一般地，从n个不同元素中取出m(mn)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 思考：排列和组合有什么区别与联系？ 区别：对于从n个不同元素中所取出m个元素，排列还要“把所取元素按照一定的顺序排成一列”，而组合却是“把所取元素并成一组无顺序要求” 联系：排列可以看成由两步来完成的事情：第一步：从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；第二步：把所取的m个元素排成一列（m个元素的全排列）3学生活动概念对比研究，加深印象 排列：一般地，从n个不同的元素中取出m（mn）个元素（注意：所取元素必须不相同），按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元

29、素的一个排列（arrangement） 组合：一般地，从n个不同元素中取出m(mn)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 共同点：都是与“从n个不同元素中任取m个元素”有关的 不同点：对于从n个不同元素中所取出m个元素，排列还要“把所取元素按照一定的顺序排成一列”，而组合却是“把所取元素并成一组无顺序要求” 联系：排列可以看成由两步来完成的事情：第一步：从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；第二步：把所取的m个元素排成一列（m个元素的全排列）4数学理论2 组合数：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数记作： 注意：

30、是一个数，应该与组合区分清楚5数学理论3：如何求组合数？ 简单的，可以用列举法，如： 范例：（1）写出从a，b，c三个元素中取出两个元素的所有组合（）（2）写出从a，b，c，d四个元素中取出两个元素的所有组合（）（3）写出从a，b，c，d四个元素中取出三个元素的所有组合（）一般地，如何求呢？（尝试用组合与排列的联系来思考）一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数，可以分为以下2步：第1步，先求出从这n个不同元素中取出m个元素的组合数 第2步，求每一个组合中m个元素的全排列数根据分步计数原理得到：这里m，nN*，mn，这个公式就叫做组合数公式又因为，所以，上面的组合数公式还可以写成，特别地

31、，当m = 0时，即，同理：6数学运用 例1 求（1）；（2）（答案：（1）35；（2）120） 例2 已知，求（答案：28） 例3 求证（答案：略） 例4 解不等式（答案：7或8） 例5 下列问题是排列问题还是组合问题，请用排列数或组合数表示其结果 （1）某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需多少种不同的车票？ 排列问题，； （2）某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共有多少种不同的票价（相连两站来去票价一样）？ 组合问题， （3）集合A = a，b，c，d，e，f，则集合A含有4个元素的子集有多少个？ 组合问题，（4）从1，3，5，9中任取两个数相加，可得多少个不同的和？ 组合问题：（5

32、）从1，3，5，9中任取两个数相除，可得多少个不同的商？ 既不是排列数问题也不是组合数问题，可用分步计数原理解决（需删除部分相同的商值）7课堂小结 组合只取元素，排列既取元素又排顺序；排列问题可看成先取元素，后排顺序 组合数公式的推导过程 8布置作业13 组合（二）一、教学目标 1理解排列数与组合数的异同； 2熟练进行组合数的运算、化简； 3能利用组合数的两个性质简化计算二、教学重点 1组合数公式与排列数公式的区别与联系； 2组合数公式的两个性质三、教学难点 组合数公式的两个性质的应用四、教学过程 1复习与引入上节课，我们认识了组合的意义，并注意到排列与组合的联系：对于从n个不同元素中取出m个

33、不同元素的排列可分两步来做：第一步：从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；第二步：把所取的m个元素按一定顺序排成一列（m个元素的全排列）正是运用该联系，根据分步计数原理我们得到组合数的计算公式：2学生活动1 练习：（1）计算，；（2）比较与的大小 答案：（1）= 120，= 120；（2）大小相等 思考一：为何上面两个不同的组合数其结果相同？这一结果的组合的意义是什么？3数学理论1 一般地，从n个不同元素中取出m个不同元素后，剩下n m个元素，因为从n个不同元素中取出m个不同元素的每一个组合，与剩下的n m个元素的每一个组合一一对应，所以从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数，等于从这n个

34、元素中取出n m个元素的组合数即这就是我们今天学习的组合数的第一个性质性质的证明： 4学生活动2练习：（1）计算：（答案：161700） （2）已知：，求x（答案：6或7） （3）已知：，求（答案：190）5学生活动3 思考：一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球 （1）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？（） （2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？（） （3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？（）6数学理论2组合数的第二个性质：（证明略） 7学生活动4练习：（1）计算；（原式）（2）若，则n = ；（14）（3） ；（166649）（4）计算 （20

35、02）8数学运用 例在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品从这100件产品中任意抽出3件 （1）一共有多少种不同的抽法？（2）抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有多少种？（3）抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有多少种？（4）抽出的3件中至多有2件是不合格品的抽法有多少种？9课堂小结 （1）组合数的两个性质； （2）解组合应用题的一般思路13 组合（三）一、教学目标 1进一步理解组合的意义，区分排列与组合； 2熟练进行组合数的运算与排列数的运算； 3熟练运用排列与组合，解决一些简单的应用题二、教学重点对计数问题进行清晰分类，合理分步三、教学难点对计数问题进行清晰分类，合理分步四

36、、教学过程 1引入在计数问题中，重点要做到“分类清晰，分步合理”，那么问题将“迎刃而解” 2思考一有6个工人，按下列条件，各有多少种分法？ （1）分配到3个不同的车间，每车间2人；（2）分为3组，每组2人；（3）分为3组，一组1人，一组2人，一组3人；（4）分配到3个不同的车间，一车间1人，一车间2人，一车间3人；（5）分配到3个不同的车间，每车间至少1人 答案：（1）90；（2）15；（3）60；（4）360；（5）450 3思考二现有6个不同的白球和7个不同的黑球，从中取5个，至少有2个黑球的概率是多少？选取至少两个黑球为，这样做对吗？如果不对，错在那里？ 4思考三你会求方程有多少组正整数

37、解吗？这个问题等价于：（1）要从7个班中选出10个人参加数学竞赛，每个班至少一个人，这10个名额有多少种分配方案？（2）当然，这个问题还可以等价于：把10个球放入7个不同的盒子，每个盒子中至少放一个球，至少有多少种放法？答案：84种 5随堂练习 （1）今欲从1，2，3，8，9，10，12这七个数中选取两数，使其和为偶数，问共有几种选法？（答案：9） （2）（05江西）将9个（含甲、乙）人平均分成3组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为多少种？（答案：70） （3）某段马路上有7盏路灯，为了节约用电，现关掉其中的2盏，但要求关掉的2盏不能相邻，且不在马路的两段，那么关灯的不同方案共有多少种

38、？（答案：6种） （4）学校准备把12个三好学生的名额分给高二10个班，每班至少一个名额，则有多少种不同的分配方案？（答案：55种） 6课堂小结 解决一个排列组合题首先必须分清它是排列问题还是组合问题；其次，分析求解过程要注意掌握处理排列与组合的基本思想：即按元素的性质分类或按事件发生过程分步另外，对于同一个问题应从多个角度去思考，一题多解，这样既可以防止重复与遗漏问题，又可提高分析问题、解决问题的能力14 计数应用题（一）一、教学目标 1体会分类、分步在计数中的重要作用； 2会解相邻、不相邻、定序问题； 3学会解含限制条件的计数问题，正面分类、分步较困难时会用排它法二、教学重点应用计数原理解

39、决应用题时，明确是排列问题还是组合问题三、教学难点正确对排列组合问题进行恰当分类，合理分步四、教学过程 1正确进行合理分步、分类，区分排列、组合例1 在直角坐标系xOy平面上，平行直线x = n(n = 0，1，2，5)与平行直线y = n(n = 0，1，2，5)组成的图形中，矩形共有多少个？ 解：每个矩形对应于两条水平直线与两条竖直直线，故共有= 225个 解题回顾：每个矩形对应于两条横线与两条竖线，分两步分别确定横线与竖线，从6条横（竖）线上选2条，两横（竖）线无需排序，是组合问题 2相邻、不相邻、定序问题 例2 某车队有7辆车，现要调出4辆按一定顺序去执行任务，要求甲、乙必须参加，且甲

40、车要在乙车前开出，那么有多少种不同的调度方法？ 思路分析：本题要选排分开，先选再排甲在乙之前（未必相邻）是固定次序问题，只要定下位置不需排序，或者考虑到甲与乙换位后每两种排法中有一种满足条件 解法一：先选定车辆有种，在4个位置中排定其余两辆车，剩下两位置按甲前乙后安排，有种，故共有= 120种 解法二：不考虑甲、乙的次序有= 240种，考虑各种方法中按甲、乙交换次序配对，每对恰有一种符合要求，故共有240÷2 = 120种 例3 有4名男生、3名女生排成一排，问下列情形各有多少种不同的排法？ （1）甲不在正中间也不在两端； （2）甲、乙两人必须排在两端； （3）男、女生分别排在一起；

41、 （4）男、女生相间； （5）甲、乙、丙三人按从左到右顺序排（不一定相邻） 解：（1）先排甲，再排其余人，有4= 2880种； （2）先将甲乙捆绑，再排序，有= 1440种； （3）将男、女生分别看成整体有= 288种； （4）男生排1，3，5，7位，女生排2，4，6位，有= 144种； （5）假设有7个位置，让其余4人排好，剩三个位置甲、乙、丙依次从左向右顺序排入，有= 840种 3直接、间接法解含限制条件的计数问题 例4 从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有多少种？解法一：分类： （1）3男1女，有= 12种；（2）2男2女，有=

42、18种；（3）1男3女，有= 4种； 根据分类计数原理，共有12 + 18 + 4 = 34种 解法二：先不考虑“既有男生又有女生”的限制，共有= 35种，再去掉其中只有男生的种数= 1种（本题中不可能只有女生）共有35 1 = 34种 解题回顾：若从7人任选4人，列一张表，看看选出的学生中男女生分配情况：共有4类，满足条件的有3类，而不满足条件的只有1类，可见用排除法较简洁男生4人4321女生3人0123 4随堂练习 （1）有5名男司机、3名女司机，现派3名男司机、2名女司机出发到五个不同的地区去，不同的分配方案种数有多少种？（）（2）4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有多少种？（36）（3）在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有多少个？（58个）（4）让4名男生和4名女生站成一排，其中任何两名女生不能相邻，则共有多少种不同的排法？（2880种）（5）设坐标平面内有一质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动质点落在点(3，0)（允许重复过此点）处，则质点不同的运动