中考数学专题'胡不归'经典讲解

1、胡不归知识背景：从前，有一个小伙子在外地当学徒，当他获悉在家乡的年老父亲病危的消息后，便立即启程日夜赶路。由于思念心切，他选择了全是沙砾地带的直线路径A-B（如图1所示：A是出发地，B是目的地，AC是一条驿道，而驿道靠目的地的一侧全是沙砾地带），当他气喘吁吁地赶到父亲眼前时，老人刚刚咽了气，小伙子不觉失声痛哭，邻舍劝慰小伙子时告诉说，老人在弥留之际还不断喃喃地叨念：胡不归?胡不归？这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子要提前到家是否有可能呢？倘有可能，他应该选择条怎样的路线呢？这就是风靡千年的“胡不归问题”.由于在驿道和沙砾地的行走速度不一样，那么，小伙子有没有可能先在驿道上走一程后，再走沙

2、砾地，虽然多走了路，但反而总用时更短呢？设在沙砾地行驶速度为，在驿道行驶速度为，显然.思路：不妨假设从C处进入砂砾地.设总共用时为t,t=+=(BC+AC).因为，是确定的，所以只要(BC+AC)最小，用时就最少。可以A为顶点作一条射线ON，使得MAN=，且sin=,过点C作AN的垂线，交于点E，这样AC=CE,当点B、C、E在一条直线上时，即过点B作AN的垂线交AM于点D，交AN于点F，即(BC+AC)的值最小为BF，小伙子可以先在驿道上走到点D处，然后再走砂砾地。这样时间可以更短。总结：在驿道上从点A走到点D的距离，其实就相当于，在砂砾上走了DF的距离，而 ABBF,所以从点A直接到点B，

3、用的时间肯定比先从点A到D再从点D到B所有的时间。“胡不归”模型建立：如图所示，已知sinMBN=k，点 P为角MBN其中一边 BM上的一个动点，点A在射线BM、BN的同侧，连接AP，则当“PA+kPB”最小时，P点的位置如何确定? (构造的角的正弦值为PB线段的系数值)分析：本题的关键在于如何确定“kPB”系数化为1，过点P作 PQBN垂足为Q，则 kPB=PBsinMBN=PQ, “PA+kPB”的最小值转化为求“PA+PQ”的最小值，即A、P、Q三点共线时最小。 证明：直线外一点到直线上任意一点的距离垂线段最短，也就是点到直线的距离。注意:当k值大于1时，则提取k，构造某角正弦值等于系数

4、解题策略：“胡不归”模型中涉及到两个定点，一个动点，且动点在直线上运动。 第一步：在系数不为1的线段的定端点处作一个角，使其的正弦值等于此线段的系数.（注意题目中有无特殊角）第二步：过动点作上一步的角的边的垂线，构造直角三角形.第三步：根据两点之间线段最短，找到最小值的位置.第四步：计算.例题讲解： 如图四边形ABCD是菱形，AB=6，且ABC=60，M为对角线BD（不含B 点）上任意一点,则 AM+BM 的最小值为 . 解题思路：此题点A,B是定点，点M在BD上运动。可将 BM化为系数为1的线段，题目出现了特殊角 DBC=30，只要过点M作BC的垂线交于点N， 即可将BM转化为MN，即AM+

5、BM=AM+MN， 过A点作BC的垂线交BD,BC分别于点M，N. 此时AM+BM 的最小值为AN.证明：直线外一点到直线上任意一点的距离垂线段最短。变式思考：(1)本题如要求“2AM+BM”的最小值你会求吗？ 解题思路：可以将2AM+BM提取一个2，即2AM+BM=2（AM+BM），同上述的解题思路。变式：如图，AC是圆O的直径，AC=4，弧BA=120，点D是弦AB上的一个动点，那么OD+BD的最小值为_.解题思路：此题可将BM化为系数为1的线段，构造 “胡不归”模型之前，一定要在点B处作一个角 使得sinB=,只要过点B作AC的平行线BK。 过点D作BK的垂线交于点E,BM=DE,即OD

6、+BD=OD+DE,过点O作BK的垂线交于点M,当E点与M点重合时，OD+BD，最小值为OM. 如图，等腰ABC中，AB=AC=3，BC=2，BC边上的高为AO，点D为射线AO上一点，一动点P从点A出发，沿AD-DC运动，动点P在AD上运动速度3个单位每秒，动点P在CD上运动的速度为1个单位每秒，则当AD= 时，运动时间最短为 秒. 解题思路:求运动时间最短，可根据,先表示出时间出来， 点P在AD上运动的时间为,在DC上运动的时间为,所以总时间为t=+.建立“胡不归”模型，过点D作AB的垂线交于点E，因为sinBAO=,所以=DE即t=+,过点C作AB的垂线交A0，AB分别于点D，E.此时+最

7、小值为CE，即可确定点D的位置使得运动时间最短。填空题：如图，在菱形ABCD中，AB=6，且ABC=150，点P是对角线AC上的一个动点，则PA+2PB的最小值为 . 等边三角形ABC的边长为6，将其放置在如图所示的平面直角坐标系中，其中BC边在x轴上，BC边的高OA在Y轴上一只电子虫从A出发，先沿y轴到达G点，再沿GC到达C点，已知电子虫在Y轴上运动的速度是在GC上运动速度的2倍，若电子虫走完全程菁优网的时间最短，则点G的坐标为_.圆中胡不归模型：如图，在ACE中，CA=CE，CAE=30，O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上试说明CE是O的切线；若中AE边上的高为h，试用含 h的代数式表

8、示O的直径AB；设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD+OD的最小值为6时，求O的AB的长 二次函数胡不归模型如图，已知抛物线（k为常数，k0）与x轴从左至右依次交于点A、B，与y轴交于点C，经过点B的直线与抛物线的另一个交点为D（1）若点D的横坐标为5，求抛物线的函数关系式；（2）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标为多少时，点M在整个运动过程中用时最少？如图，抛物线与直线交于A、B两点，交x轴于D、C两点，连接AC、BC，已知A

9、（0，3），C（3，0）（1）抛物线的函数关系式为_，tanBAC=_；（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位的速度运动到E点，再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到点A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点A（1，0），B（0，），C（2，0），其中对称轴与x轴交于点D求二次函数的表达式及其顶点坐标；若P为y轴上的一个动点，连接PD，则的最小值为_如图，已知抛物线，与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴交于点C，经过点A的直线与抛物线的另一个交点为D（1）若点D的横坐标为2，则抛物线的函数关系式为_；（2）在（1）的条件下，设点E是线段AD上一点（不含端点），连接BE，一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒个单位运动到点D停止，问当点E的坐标为多少时，点Q运动的时间最少？【问题探究】(1)如图，点E是正ABC高AD上的一定点，请在AB上找一点F，使EF=AE，并说明理由；(2)如图，点M是边长为2的正ABC高AD上的一动点，求AM+MC的最小值；【问题解决】(3)如图，A、B两地相距60