余弦定理的多种证明方法

1、.余弦定理的多种证明方法法一 (平面几何 )：在 ABC中，已知 ACb, BCa, 及C ，求 c。A过 A 作 AD BC于 D，是 AD AC sin CBC sin C ，CDAC cos bcosc,BC在 RtABD 中， AB 2AD 2BD 2(b sin c) 2(a b cosc)2a2b22ab cosc ，法二（平面向量）：AB AB( ACBC) ( AC222BC) AC 2AC BCBCAC 2| AC| |BC|cos(180B)22ab cosB a2 ，即： c2a2b22ab coscBC b2法三（解析几何） ：把顶点 C 置于原点， CA 落在 x 轴

2、的正半轴上，由于ABC 的 AC=b ，CB=a ， AB=c ，则 A，B， C 点的坐标分别为A(b ， 0)， B(acosC ， asinC) ， C(0 ， 0) |AB| 2=(acosC b) 2 +(asinC 0)2=a 2cos2C 2abcosC+b 2 +a 2sin2C=a 2+b 2 2abcosC ，即 c 2=a 2+b 2 2abcosC 法四（利用正弦定理）：先证明如下等式： sin2 Asin2 B sin 2 C 2sin Asin B cosC证明： sin 2 A sin 2 Bsin 2 C;.1c o 2sA 1c o 2sB1c o 2sC22

3、21c o o2sAc o 2sB1c o 2sC222c o sAB c o sABc o sC2s i nAs i nB c o Cs故式成立，再由正弦定理变形，得a2Rs i nAb2Rs i nB( 2)c2Rs i nC结合、(2) 有a2b2c24R2222s i n A s i n B s i nC4R22s i nAs i nB c o Cs2abc o Cs.即 c2a2b22abcosC .同理可证a2b2c22bccos A ； b2c2a22ca cosB .法五（用相交弦定理证明余弦定理）:如图，在三角形ABC 中， A=，AB=a ，BC=b ，AC=c 。现在以

4、B为圆心，以长边AB 为半径做圆，这里要用长边的道理在于，这样能保证 C 点在圆内。 BC 的延长线交圆B 于点 D 和 E这样以来， DC=a-b ， CE=a+b ， AC=c 。因为 AG=2acos ，所以CG=2acos -c。根据相交弦定理有：DC CE=AC CG ，带入以后就是(a- b)(a+b)=c(2acos-c)化简以后就得b2 =a 2+c 2+2accos 。也就是我们的余弦定理。法六（面积解释）：如图 9，以 ABC的三边为边长向外作三个正方形，交 AB于 K。据说欧几里德就是利用此图形证明勾股定理的。易证( 最好是将看作是旋转而成 )，进而可得；同理，所以直角三

5、角形斜边上的正方形面积等于两直角边上两正方形面积之和。;.此处还有一个副产品：等价于，无需用到相似，轻松可得射影定理。图9图10假若不是直角三角形呢？如图10，ABC的三高的延长线将三个正方形分为6 个矩形，而且两两相等，则，轻松可得余弦定理。例 1：证明余弦定理。勾股定理只是对于直角三角形成立， 很有必要将之推广到一般三角形的情形， 这样在使用的时候才方便。在第一章中已经介绍了面积法证明余弦定理了，下面再介绍三种面积证法。证明勾股定理主要用到平移，而证明余弦定理则可能需要用旋转。余弦定理证明 1：如图 1，将 ABC 绕点 B 旋转一个较小角度得到 DBE ，则；由面积关系得，即，即，化简得。;.图1 图2如果认为证法 1 较麻烦，也还有简单的证法。余弦定理证明 2：只要注意到，立马可得。余弦定理证明 3