将军饮马模型

1、将军饮马模型“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现模型 1：直线与两定点模型A作法结论AlBPBlPA PB 的最小值为AB当两定点 A、B 在直线 l 异侧时， 在直线 l 上找一点 P，使 PA PB 最小连接 AB 交直线 l 于点 P，点 P 即为所求作的点BAl当两定点 A、B 在直线 l 同侧时， 在直线 l 上找一点 P，使得 PA PB 最小BAlPPA PB 的最小值为AB'B'作点 B 关于直线l

2、 的对称点 B'，连接 AB'交直线 l 于点 P，点 P 即为所求作的点AABBlPA PB 的最大值为 ABPl当两定点 A、B 在直线 l 同侧时， 在直线l 上找一点 P，使得 PAPB 最大连接 AB 并延长交直线l 于点 P，点 P即为所求作的点AAB'lPlPA PB 的最大值为 AB'BB当两定点 A、B 在直线 l 异侧时， 在直线作点 B 关于直线 I 的对称点 B'，连接 AB'l 上找一点 P，使得 PAPB 最大并延长交直线l 于点 P，点 P 即为所求作的点AABBlPlPA PB 的最小值为 0当两定点 A、B 在直

3、线 l 同侧时， 在直线l 上找一点 P，使得 PAPB 最小连接 AB，作 AB 的垂直平分线交直线 l于点 P，点 P 即为所求作的点模型实例例 1：如图，正方形 ABCD 的面积是 12， ABE 是等边三角形，点E 在正方形 ABCD 内，在对角线AC 上有一点 P，则 PD PE 最小值是ADADPEEPBCBC解答：如图所示，点B与点 D关于 AC对称，当点 P 为 BE 与 AC 的交点时， PD PE 最小，且线段 BE 的长正方形 ABCD 的面积为12，其边长为 2 3 ABE 为等边三角形，BE AB 23 PD PE 的最小值为2 3 例 2：如图，已知 ABC 为等腰

4、直角三角形，AC BC4， BCD 15°，P 为 CD 上的动点，则PAPB的最大值是多少？AAPCBDPCBA'解答：如图所示，作点A 关于 CD 的对称点A，连接 AC，连接 AB 并延长交 CD 于点 P，则点 P 就是 PAPB的值最大时的点，PAPB AB ABC 为等腰直角三角形，AC BC 等于 4， ACB 90° BCD 15°， ACD 75°点 A、A关于 CD 对称， AA CD， AC CA， ACD DCA 75°， BCA 60° CA AC BC4， ABC 是等边三角形，AB BC 4 PA

5、PB 的最大值为4练习1如图，在 ABC 中， AC BC 2， ACB90°， D是BC边的中点，E 是AB 边上一动点，则ECED的最小值是AECDB解： 解：过点 C作 COAB于 O，延长 CO到 C ，使 OC =OC，连接 DC ，交 AB于 E，连接 C B，此时 DE+CE=DE+E=DC 的值最小连接 BC ，由对称性可知 C BE=CBE=45°， CBC =90°，BC BC， BCC =BC C=45°， BC=BC =2，D是 BC边的中点， BD=1，根据勾股定理可得： DC = 5 ，故 EC+ED的最小值是 52如图，点C

6、 的坐标为（3， y），当ABC的周长最短时，求y 的值yA(0,3)OB(2,0)x解：解：（ 1）作 A 关于 x=3 的对称点 A ，连接 A B 交直线 x=3 与点 C点 A 与点 A 关于 x=3 对称， AC=A C AC+BC=A C+BC 当点 B 、C、 A 在同一条直线上时， A C+BC 有最小值，即 ABC 的周长有最小值点 A 与点 A 关于 x=3 对称，点 A的坐标为（ 6， 3）设直线 BA 的解析式 y=kx+b ，将点 B 和点 A 的坐标代入得： k 3， b - 3 y= 3x-3 4242将x=3代入函数的解析式，y 的值为343如图，正方形ABCD

7、中， AB 7， M是DC上的一点，且DM 3， N是AC上的一动点，求|DN MN |的最小值与最大值ADMNBC解： 解：当 ND=NM时，即因为 |DN- MN|DM，当点所以 |DN-MN|的最小值为N 点 DM的垂直平分线与 AC的交点， |DN-MN|=0， N 运动到 C 点时取等号，此时 |DN-MN|=DM=3，0，最大值为 3模型作法结论AAP'CPP PCD 周长的最小值为BPPODOB点 P 在 AOB 内部，在 OB 边上找点 D，P''分别作点P 关于 OA、OB 的对称点P、OA 边上找点 C，使得 PCD 周长最小P，连接 PP，交 OA

8、、 OB 于点 C、D ，点 C、D 即为所求AACPPD CD的最小值为POBPCDOBP'点 P 在 AOB 内部，在 OB 边上找点D，作点 P 关于 OB 的对称点P，过 P作OA 边上找点 C，使得 PD CD 最小PCOA 交 OB 于 D，点 C、点 D 即为所求APAP'CPQPC CD DQ 的最小值为 PQ，所以四边形QOB点 P、Q 在 AOB 内部，在 OB 边上找点 D，OA 边上找点 C，使得四边形 PQDC周长最小以上余佳颖录入PQDC周长的最小值为OBPQ PQDQ'分别作点 P、 Q 关于 OA、 OB 的对称点 P、Q，连接 PQ，分

9、别交 OA、OB于点 C、 D，点 C、D 即为所求模型实例如图， ? AOB30°， DAOB 内有一定点P ，且 OP =10 . 在 OA上有一点 Q ， OB 上一点 R 若立 PQR 周长最小，则最小周长是多少？APOB解答如图，作点 P 分别关于 OA 、 OB 的对称点 E 、 F ，连接 EF ，分别交 OA、OB于点 Q、 R，连接 OE、OF 、PE、 PF.EQ =OP ， FR=RP PQR 的周长的最小值为EF 的长.由对称性可得 ? EOQ? POQ ， ?FOR? POR，? EOF 2? AOB60°EA EOF 是正三角形QPEF = OE

10、 = OP =10即 PQR 周长最小值为 10.OBRF模型 2/角与定点1已知， ? MON 40°， P 为 DMON 内一定点， A为 OM 上的点， B 为 ON 上的点，当 PAB 的周长取最小值时：(1) 找到 A 、 B 点，保留作图痕迹；(2) 求此时 DAPB 等于多少度 . 如果 ? MON q ， DAPB 又等于多少度？MPON1.解答（ 1）做点 P 分别关于 OM 、ON 的对称点 E、F ，连接 EF 分别交 OM、 ON 于点 A、B 点 A、B 即为所求，此时 PAB 的周长最小（）点 E 与点 P 关于直线 OM 对称，点 F 与点 P 关于 O

11、N 对称， E APE ， F = BPF ， CPD =180° - MON =140°在 EFP 中， E + F =180° -140 ° =40°， CPA + BPD =40 ° APB =100°如果 MON =， CPD =180° - ， E + F =又 PAB=2 E ， PBA=2 F PAB + PBA=2 （ E + F ） =2 APB =180° -2 EMCAPOBDNF2如图，四边形中ABCD ， ? BAD110°, ? B? D90°，在 BC 、

12、 CD 上分别找一点 M 、 N ，使 AMN 周长最小，并求此时? AMN? ANM 的度数ADNBMC2解答如图，作点 A 关于 BC 的对称点 A ，关于 CD 的对称点 A 连接 A A 与 BC 、 CD 的交点即为所求的点 M 、N 此时 BAD =110°， A + A =180° - 110° =70°由轴对称的性质得： A = A AM ， A = A AN ， AMN + ANM =2( A + A )=2× 70°=140°，AMN 周长最小ADBA''NMA'C3如图，在 x

13、轴上找一点 C ，在 y 轴上找一点 D ，使 AD +CD + BC 最小，并求直线 CD 的解析式及点 C 、 D 的坐标yA(1,3)B(3,1)Ox3解答作点 A 关于 y 轴的对称点A ，点 B 关于 x 轴的对称点B ，连接 A B 分别交 x 轴、 y 轴于点 C 、 D ，此时 AD CDBC 最小由对称性可知A （-1,3 ）， B （ 3，- 1）易求得直线 A B 的解析式为 yx 2 ，即直线 CD 的解析式 yx 2 当 y0 时， x2，点 C 坐标为（ 2,0 ）当 x0 时， y2，点 D 坐标为（ 0,2 ）yA'A (1，3)DB (3， 1)OCx

14、B'4如图， ? MON20°， A 、 B 占分别为射线OM 、 ON 上两定点，且OA = 2 ， OB = 4 ，点 P 、Q分别为射线OM、 ON 上两动点，当P 、 Q 运动时，线段AQ+PQ +PB的最小值是多少？MAON4解答作 A 点关于 ON 的对称点 A ，点 B 关于 OM 的对称点 B ，连接 A B ，分别交 OM 、ON 于点 P、 Q ，连接 OA 、OB 则AQPQPB由对称可知，PBAQPQPB， AQPBA QAB ，此时，OAOAAQ2 ，PQPB 最小OBOB4，AOB60 MOBNOAMON20作ADOB 于点 D，在 Rt ODA

15、中， OD1 ，A D3 B D413，A B23AQPQPB 的最小值是23 B'MDA PNOQBA'以上王其鑫录入模型 3 两定点一定长模型作法结论AAM MNNBAA BdB的最小值为A"Bdl如图，在直线l 上找 M、N 两点(M 在左 )，使得 AM MN NB 最MNl小，且 MN d.Al 1l 2B如图， l1 l2， l1、l 2 间距离为 d，在 l1 、l 2 分别找 M、N 两点，使得 MN l 1，且 AM MNNB 最小A"将 A 向右平移 d 个单位到 A ，作 A关于 l 的对称点 A" ，连接 A"B

16、与直线 l 交于点 N，将点 N 向左平移 d 个单位即为 M，点 M，N 即为所求 .AAM MN NBM的最小值为l1AA'Bd.Nl2B将 A 向下平移 d 个单位到 A ，连接 AB 交直线 l2 于点 N，过点 N 作 MN l1，连接 AM .点 M、N 即为所求例题 ：在平面直角坐标系中，矩形 OABC 如图所示，点 A 在 x 轴正半轴上，点为 OC 中点，点 E、 F 在线段 OA 上，点 E 在点 F 左侧， EF 2.当四边形 BDEFC 在 y 轴正半轴上，且 OA6，OC 4， D的周长最小时，求点E 的坐标解答：如图，将点D 向右平移 2 个单位得到D

17、9;(2， 2)，作 D' 关于 x 轴的对称点D"(2 ， 2)，连接 BD" 交 x 轴于点 F，将点 F 向左平移 2 个单位到点E ，此时点 E 和点 F 为所求作的点，且四边形BDEF 周长最小 .理由：四边形BDEF 的周长为 BD DE EF BF ，BD 与 EF 是定值 . BF DE 最小时，四边形BDEF 周长最小， BF EDBFFD 'BFFD " BD"设直线 BD" 的解析式为ykx b，把 B(6， 4)， D"(2 ， 2)代入，得 6k b 4，2kb 2，解得 k3，b 5，直线

18、BD" 的解析式为y3x522令 y 0，得 x10，点 F 坐标为 (10，0) 点 E 坐标为 (4，0) 333练习1在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点 O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上，A(3， 0)， B(0， 4)，D 为边 OB 的中点(1)若 E 为边 OA 上的一个动点，求CDE 的周长最小值；(2)若 E、 F 为边 OA 上的两个动点，且EF 1，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E、 F 的坐标解答：(1)如图，作点 D 关于 x 轴的对称点 D'，连接 CD'与 x 轴交于点 E，连接 DE，由模型可知 CDE 的周长最小在矩形 OACB 中， OA 3，OB 4， D 为 OB 的中点， D(0，2)，C(3，4)， D'(0， 2).设直线 CD'为 y kxb，把 C(3 ，4) ，D'(0， 2) 代入，得 3k b 4，b 2，解得 k 2，b 2，直线 CD'为 y 2x 2.