导数的几何意义(教学设计施永红).

1、导数的几何意义广大附中施永红一作业讨论并由学生陈述：问题： 1导数 f / (x0 ) 的本质是什么？2在高台跳水运动中，t 秒 (s) 时运动员相对于水面的高度是h(t )4.9t 26.5t10（单位： m ），求运动员在 t1s 时的瞬时速度，并解释此时的运动状态。3圆面积 S 是半径 r 的函数 Sr2 ，求圆在 r 1时的面积瞬时变化率，并解释此时圆面积的瞬时变化规律。4球体积 V 是半径 r 的函数 V4r 3 ，问：球在 r 1 时的体积3瞬时变化率，并解释此时球体积的瞬时变化规律。参考答案：1导数 f / ( x0 ) 的本质是函数 f (x) 在 xx0 处的瞬时变化率，即：

2、f / x0lim0f x0x f ( x0 )xx2.h /(1)lim h(1t )h(1)t0t4.9(t1)26.5(t1) 104.9126.51 104.9 t 23.3tlimtlimtt0t 0lim4.9t3.33.3 ，所以 h /(1)3.3 。t 0运动员在 t1s时的瞬时速度为 h / (1)3.3 。这说明运动员在 1s附近，正以大约 3.3m/ s 的速率下落。3 S/ (1) limS(1r ) S(1)lim1r 212 limr 22 rr0rr0rr0r1limr 22 ，所以 S/ (1) 2 。这说明圆在 r1 的附近，面积r 0正以大约 2的瞬时变化

3、率增大。（思考，动画）4. V / (1) lim V (1r ) V (1)41r 34 13lim33r 0rr 0r4( r 33 r 23 r )4lim 3rlim( r 23 r 3) = 4 ，所以 V / (1) 4 。r 0r0 3这说明球在r1 的附近，体积正以大约4的瞬时变化率增大。（思考，动画）二（一）引入：函数的思想中，数形结合是一种重要而且直观的数学思想方法。我们已经学习了导数的本质及其物理意义或者实际意义，我们不禁要问：导数的几何意义是什么？例如：上述的三个问题中， h / (1)3.3 , S/ (1)2, V / (1)4的几何意义分别是什么？我们利用数形结合

4、，画出函数的图像，看看通过函数的图像研究，能有什么新的体会。（二）转化：为了使研究更具有操作性，我们抛开问题的实际背景，从研究更简单的函数入手，这也是数学研究的常用方法。（三）问题与探索：求函数 f ( x) x 2在 x0.2 处的导数 f / ( 0.2) ，说说它的本质，并用数形结合的方法，探索f / (0.2) 的几何意义。f / 0.2limf 0.2x f (0.2)lim0.2x 20.22x 0xx0xlimx20.4xlim ( x0.4)0.4。所以f / (0.2)0.4x 0xx 0f / (0.2)0.4的本质是函数f ( x)x 2在 x0.2处的瞬时变化率是20.

5、4 ，即函数 f ( x)x2 在 x0.2的附近正以大约0.4 的瞬时变化率增大。画出函数 f (x)x2 的图像，从图像上的哪几个点开始研究？yyx2BB1QAPOMNx联想：定义 f / 0.2limf 0.2x f (0.2)x 0x从 点 A(0.2, f (0.2). 点 B(0.2x, f (0.2x) 入 手 。 那 么 点A( 0.2, f (0.2) ,点 B(0.2x, f (0.2x) 的几何意义是什么？请在图形中体现体现出来。 f 0.2xf (0.2) 的几何意义是什么？请在图形中体x现体现出来。填表，讨论，发言，展示。3静态有关量几何意义静态 A (0.2, f

6、(0.2)0.2QAf ( 0 .2 )MAB (0.2 x, f (0.2x) 0 .2xQPf ( 0 .2x ) NBxxQPQAAPf (0.2x)f (0.2)f (0.2x)f (0.2)NBMANBNPPBf0.2x f ( 0.2)f0.2xf (0.2)xxPBtanBAPAP动x0f/limf 0.2态0.2x0切线 AD 的斜率（四）动画演示，阅读课本，小结：动态x0坐标的几何表示坐标点的几BA何表示横坐x0标的差（自变量的增量）纵坐标的差割线割线ABAB的（极限位斜率置）即：切线 ADxf (0.2)切线xAD的斜率1 平均变化率f ( 0.2 x) h(0.2) 在趋

7、向于某一时刻的变化过程x中，自变量的增量x 越来越小，能越过任意小的间隔，但始终不能为 0，不然，我们就得不到平均变化率的值；平均变化率在图形中的几何意义是割线 AB 的斜率。当 t 趋近于 0 时，平均变化率 f ( 0.2x) h(0.2) 无限趋近于的常x4数就是 f / (0.2) ，从图形上看， 当 t 趋近于 0 时，点 B 沿曲线趋近于点 A，割线绕点 A 转动，它的极限位置为直线 AD ，这条直线叫做此曲线在点 A 处的切线。于是当 t 0 时，割线 AB 的斜率趋近于过点A 的切线的斜率，即：f /0.2lim f 0.2 x f (0.2) 切线 AD 的斜率x 0x还可以

8、利用点斜式求出切线AD 的方程： y 0.040.4( x 0.2) ，即：y0.4x0.04 。（展示学生作品）（五）训练：分别在函数图像上，用图形来体现导数h(t )4.9t 26.5t10 ，S r 2 和 V4r 3 的3h / (1)3.3， S/ (1)2 ，V /(1) 4的几何意义，并用数学语言表述出来。 （展示学生作品）1hh t4.9t 26.5t 10Ot523VSV4r 33Sr 2OrOr三学生继续动手：()4.9 26.510的图像中，请描述，比较曲线 h(t)（一）在函数 h ttt在 t 0 0.67, t11,t 2 3 附近增（减）以及增（减）快慢的情况。在

9、t 3 0.2, t4 0.3附近呢？（二）请估计曲线 f ( x)x 2 在 x0.2,0,0.6,1 的瞬时变化率， 把数据用表格的形式列出。x0.2,00.61函数的瞬时变化率 f / ( x)6反思，发现。1 导函数。（探索作业求 h/ (t ), S/ (r ) ， V / (r ) ）2 单调性： 在 某个区间 上 ，当 f / ( x)0, f ( x) 单调 递增； 当f / ( x)0, f (x) 单调递减。3 求出 f / ( x) ，验证你的结论。f / xlimf xx f ( x) limxx 2x 2x 0xx0xx22 xxlim ( x 2x)2x 。验证：（

10、1）数据；（2）单调性。limxx0x 0思考：1如图表示人体血管中的药物浓度cf (t ) （单位： mg / mL ）随时间 t（单位： min ）变化的函数图像，根据图像，估计 t 0.2,0.4,0.6,0.8 时，血管中药物浓度的瞬时变化率， 把数据用表格的形式列出。 有什么发现？7c mg / mLOt mint0.20.40.60.8药物浓度的瞬时变化率2下图是利用信息技术画出的函数r (V )33V的图像，请根(0V5)4据图像，估计 V0.6,1.2 时，气球的瞬时膨胀率。有什么发现？8rr (V )33V0 V 54OV四小结：1知识结构：基本初等函数导数公式平均速度瞬时速度（物理意义）及导数运算法则平均变化率瞬时变化率（导数本质）导数平均变化率瞬时变化率（导数本质）导数与函数单调性的关系导数与极（最）值的关系2数学思想： 运动变化的观点（以静态刻划动态），数形结合（函数思想）以直代曲（以近似求精确）（微积分思想方法）作业：习题 3.1A5,6.B2,3.书上。探索作业1、求 h /(t),S/ (r )， V / (r ) 2。用导数定义及单调性定义解释：在某个区间上，当f / ( x)0, f (x) 单调递增；当f/ (x)0,( )单调递减。f/(x)0, f ( x)f x单调递增；（参考：一般地，当当f/ ()0,f()单调递减。在某个区间上