平面向量的概念及其线性运算(含解析)

1、归纳与技巧：平面向量的概念及其线性运算基础知识归纳一、向量的有关概念1向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模2零向量：长度等于0 的向量，其方向是任意的3单位向量：长度等于1 个单位的向量4平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0 与任一向量共线5相等向量：长度相等且方向相同的向量6相反向量：长度相等且方向相反的向量二、向量的线性运算向量运算定义法则 (或几何意义)运算律(1)交换律： a bb加法求两个向量和的运算三角形法则a；(2) 结合律： (a b) c a (bc)平行四边形法则求 a 与 b 的相反向量减法 b 的和的运算叫做 a与 b 的差三角

2、形法则三、向量的数乘运算及其几何意义1定义：实数 与向量 a 的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作a，它的长度与方向规定如下： |a| |a|；当 >0 时， a 的方向与a 的方向相同；当<0 时， a 的方向与a 的方向相反；当 0 时， a 0.2运算律：设， 是两个实数，则： (a) ()a； ( )a aa； (a b) a b.四、共线向量定理向量 a(a0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数，使得 b a.基础题必做1下列命题正确的是()A 不平行的向量一定不相等B平面内的单位向量有且仅有一个Ca 与 b 是共线向量， b 与 c 是平行向量，则 a 与 c

3、是方向相同的向量D若 a 与 b 平行，则 b 与 a 方向相同或相反解析：选A对于 B ，单位向量不是仅有一个，故B 错；对于 C， a 与 c 的方向也可能相反，故 C 错；对于 D，若 b0，则 b 的方向是任意的，故 D 错，综上可知选A.2.如右图所示，向量a b 等于 ()A 4e 2eB 2e 4e1212Ce 3eD 3e e1212uuur解析：选C由题图可得 a b BA e12 3e .uuuruuuruuur3 (教材习题改编 )设 a， b 为不共线向量，AB a 2b， BC 4a b， CD 5a3b，则下列关系式中正确的是()uuuruuuruuuruuurAA

4、D BCB AD 2 BCuuuruuuruuuruuurC AD BCD AD 2BC解析：选 BuuuruuuruuuruuurAD AB BC CD a2b ( 4a b) ( 5a 3b) 8a2buuur2( 4a b) 2 BC .uuur uuuruuur4若菱形 ABCD 的边长为2，则|AB CB CD |_.uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur解析： |AB CB CD |AB BC CD |AD |2.答案： 25已知 a 与 b 是两个不共线向量，且向量a b 与 ( b 3a)共线，则 _.解析： 由题意知 a b k (b3a) ，1 k，k 3

5、，所以解得11 3k， 3.答案：13解题方法归纳共线向量定理应用时的注意点(1)向量共线的充要条件中要注意“ a 0” ，否则 可能不存在，也可能有无数个(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系， 当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合向量的有关概念典题导入例 1 给出下列命题：两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；若 A， B， C，D 是不共线的四点，则uuuruuurAB DC 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件；若 a 与 b 同向，且 |a|>|b|，则

6、a>b； ， 为实数，若 a b，则 a 与 b 共线其中假命题的个数为 ()A 1B 2C3D 4自主解答 不正确当起点不在同一直线上时，虽然终点相同，但向量不共线uuuruuuruuuruuuruuuruuur正确 AB DC，| AB|DC|且 AB DC .又A，B， C， D 是不共线的四点，四边形 ABCD 是平行四边形uuuruuuruuur反之，若四边形ABCD 是平行四边形，则AB 綊 DC 且 AB 与 DC 方向相同，因此ABuuur DC .不正确两向量不能比较大小不正确 当 0 时，a 与 b 可以为任意向量，满足 a b，但 a 与 b 不一定共线答案C解题方

7、法归纳1 平面向量的概念辨析题的解题方法准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键， 特别是对相等向量、 零向量等概念的理解要到位，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法2 几个重要结论(1)向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性；(2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量；(3)向量平行与起点的位置无关.以题试法1设 a 为单位向量，若 a 为平面内的某个向量，则a|a|a ；若 a 与 a平行，则000a |a|a0；若 a 与 a0 平行且 |a| 1，则 a a0.上述命题中，假命题的个数是 ()A 0B 1C2D 3解析：选D向量是既有大小又有方向的量，a 与|a|a0

8、 的模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若a 与 a0 平行，则 a 与 a0 的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a |a|a0，故也是假命题综上所述，假命题的个数是3.向量的线性运算典题导入uuuruuuruuur例 2(1)如图， 正六边形 ABCDEF 中， BA CD EF ()uuurA 0B BEuuuruuurC ADDCFuuuruuur uuuruuuruuur(2)在 ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，若AD 2 DB ， CD 31 CA CB ，则 等于 ()21A. 3B.312C 3D3uuuruuuruuur自主解答 (1) 如图， 在正六边

9、形 ABCDEF 中， CD AF ， BF uuurCE ，uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurBACDEF BAAF EF BF EF CEEF CF .uuuruuuruuuruuuruuur uuur(2)CDCA AD ，CDCB BD ，uuuruuuruuuruuuruuur2CDCACBAD BD.uuuruuur又 AD2DB ，2uuuruuuruuur1 uuurCDCACB 3AB1 uuur CA CB 3( CB CA )uuuruuuruuur2 uuur4 uuur3CA 3CB .uuur1 uuur2 uuur2C

10、D 3 CA 3 CB ，即 3.答案 (1)D(2)A若 (2)中的条件作如下改变：若点uuuruuuruuurD 是 AB 边延长线上一点且 | BD ，若CDuuuruuur|BA|CB CA ，则 的值为 _uuur uuur uuuruuuruuuruuuruuur uuuruuuruuuruuur解析： CDCA AD CA 2AB CA 2(CB CA ) 2 CB CA CBuuurCA . 2， 1. 3.答案： 3解题方法归纳在进行向量的线性运算时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则求解，并注意利用平面几何的性质，如三角形中位线、相似三角形等知

11、识以题试法2 若 A， B， C，D 是平面内任意四点，给出下列式子：uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur ABCDBCDA；ACBDBCAD；uuur uuur uuuruuurACBDDC AB .其中正确的有 ()A0 个B1个C2 个D3 个uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur解析：选 C 式的等价式是 AB BC DA CD ，左边 AB CB ，右边 DAuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur uuuruuur DC ，不一定相等； 式的等价式是AC BCAD BD，AC CBAD DBuuuruuuruuuruuu

12、ruuuruuuruuur AB 成立；式的等价式是 AC DC AB BD ， AD AD 成立共线向量典题导入例 3设两个非零向量a 与 b 不共线uuuruuuruuur(1)若 AB a b， BC 2a 8b， CD 3(a b)求证： A， B，D 三点共线；(2)试确定实数k，使 ka b 和 akb 共线自主解答(1) 证明：uuur ABa b，uuur BC 2a8b，uuurCD 3(a b)，uuurBDuuur BCuuur CD 2a 8b 3(ab) 2a8b 3a3buuur 5(a b) 5 AB .uuuruuurAB ， BD 共线，又它们有公共点B，A，

13、 B， D 三点共线uuur(2)ka b 与 akb 共线， BC存在实数 ，使 ka b (a kb)，即 kab a kb.(k )a (k 1)b.a， b 是不共线的两个非零向量，k k1 0，即 k2 1 0.k ±1.解题方法归纳1 当两向量共线时，只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，解决向量共线问题要注意待定系数法和方程思想的运用2证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系以题试法uuuruuuruuuruuuruuur3已知 a， b 不共线， OA a， OB b， OC c， OD d， OB e，设 t R，如果 3a c

14、,2b d， e t(ab)，是否存在实数t 使 C， D， E 三点在一条直线上？若存在，求出实数 t 的值，若不存在，请说明理由uuuruuur解： 由题设知， CD d c2b 3a， CE e c (t 3)a tb， C， D， E 三点在一条uuuruuur直线上的充要条件是存在实数k，使得 CEk CD ，即 (t 3)a tb 3ka2kb，整理得 (t 3 3k)a (2k t)b.t 3 3k 0，因为 a， b 不共线，所以有t 2k 0，6解之得 t 5.6故存在实数t 5使 C， D， E 三点在一条直线上1下列等式：0 a a； ( a) a； a ( a) 0；

15、a 0 a； a b a( b)正确的个数是()A 2B 3C4D 5解析：选Ca ( a) 0，故错2 若 a b c0，则 a，b， c()A 都是非零向量时也可能无法构成一个三角形B一定不可能构成三角形C都是非零向量时能构成三角形D一定可构成三角形解析： 选 A当 a，b，c 为非零向量且不共线时可构成三角形，而当a，b，c 为非零向量共线时不能构成三角形uuuruuuruuuruuur 2|BC | 已知平面上不共线的四点，若OAOC3OB，则 uuur 的值为 ()3OABC.|AB |11A. 2B.311C.4D.6解析：选 Auuuruuuruuuruuuruuuruuuruu

16、uruuuruuur由 OA 2OC 3OB ，得 OA OB 2OB 2OC ，即 BA 2CB ，uuur| BC|1.所以 uuur|AB |24 如图，正方形 ABCD 中，点 E 是 DC 的中点，点 F 是 BC 的一个三uuur()等分点 (靠近 B)，那么 EFA.1uuur1 uuurB.1uuur1 uuur2AB 3AD4AB 2ADC.1uuur1 uuurD.1uuur2 uuur3AB 2DA2AB 3AD解析：选 Duuur uuuruuuruuur在 CEF 中，有 EF EC CF，因为点 E 为 DC 的中点， 所以 EC uuuruuuruuuruuuru

17、uuruuuruuur21 DC .因为点 F 为 BC 的一个三等分点， 所以 CF 32 CB .所以 EF 21DC32CB 21 AB2 uuur1 uuur2 uuur3DA 2AB3AD .uuuruuuruuur5 已知点 O 为 ABC 外接圆的圆心， 且 OA OB CO 0，则 ABC 的内角 A 等于()A30°B 60°C90°D 120 °解析：选 Auuuruuuruuuruuuruuuruuur由 OA OB CO 0得 OA OB OC ，由 O 为ABC 外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知四边形OACB 为菱形，且

18、CAO 60°，故 A 30°.uuuruuuruuur uuur6已知 ABC 的三个顶点 A、B、C 及平面内一点P满足 PAPBPCAB，则点 P 与 ABC 的关系为 ()AP 在 ABC 内部BP 在 ABC 外部CP 在 AB 边所在直线上D P 是 AC 边的一个三等分点uuuruuuruuuruuur解析：选DPA PB PC AB ，uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurPA PB PC PB PA ，PC 2 PA 2AP ，P 是 AC 边的一个三等分点uuuruuuruuuruuur7 设点 M 是线段 BC 的中点， 点

19、A 在直线 BC 外， BC 216，| AB AC | | AB uuuruuuurAC |，则 | AM | _.uuuruuuruuuruuuruuuruuur解析：由| AB AC | | AB AC |可知， AB AC ，则 AM 为 RtABC 斜边 BC 上uuuur1uuur的中线，因此， | AM| | BC |2.2答案： 2uuur uuuruuuruuur8 已知 O 为四边形 ABCD 所在平面内一点，且向量OA，OB，OC，OD满足等uuuruuuruuuruuur式 OA OC OB OD ，则四边形 ABCD 的形状为 _uuuruuuruuuruuuruuu

20、ruuuruuuruuur解析：OAOC OBOD ，OAOBOD OC ，uuuruuurBA CD .四边形 ABCD 为平行四边形答案： 平行四边形uuuruuur9设向量e1， e2 不共线， AB 3(e1 e2)， CB论： A， B， C 共线； A， B，D 共线； B，C， Duuur e2 e1， CD 2e1 e2，给出下列结共线； A， C， D 共线，其中所有正确结论的序号为_uuuruuuruuuruuuruuuruuur解析：由ACABCB12，且AB与CB不共线，可得A，C，D4e 2e 2 CD共线，且 B 不在此直线上答案： uuur10设 i ，j 分别是

21、平面直角坐标系Ox ，Oy 正方向上的单位向量，且OA 2i mj ，uuuruuurOB n i j ， OC 5i j ，若点 A，B，C 在同一条直线上，且m 2n，求实数 m，n 的值uuuruuuruuur解：ABOB OA (n 2)i (1 m)j，uuuruuuruuurBC OC OB (5 n) i 2j .点 A，B， C 在同一条直线上，uuuruuuruuuruuurABBC，即AB .BC(n 2)i (1 m)j (5 n)i 2j n 2 5n ，m 6，m3， 1 m 2，解得或3m2n，n 3，n 2.uuur11.如图所示，在ABC 中， D， F 分别是

22、 BC，AC 的中点， AE2 uuuruuuruuur3AD ， AB a， AC b.uuuruuuruuuruuuruuur(1)用 a， b 表示向量 AD ， AE ， AF ， BE ， BF ；(2)求证： B， E，F 三点共线解： (1)延长 AD 到 G，uuur1 uuur使AD2AG ，连接 BG ，CG，得到 ?ABGC ，uuur所以 AG a b，uuur1 uuur1AD 2AG2(a b)，uuur2 uuur1AE 3AD3(a b)，uuur1 uuur1AF 2AC2b，uuuruuuruuur11BE AE AB 3(a b) a3(b 2a)，uuu

23、ruuuruuur11BF AF AB 2ba 2(b 2a)uuur2 uuur(2)证明：由 (1)可知 BE 3 BF ，又因为uuuruuurBE ， BF 有公共点 B，所以 B， E，F 三点共线uuur12设 e1，e2 是两个不共线向量，已知AB 2e1 8e2，uuur e1uuur 2e1CB22 3e ， CD e .(1)求证： A， B，D 三点共线；uuur(2)若 BF 3e12，且 B， D， F 三点共线，求k 的值 ke解： (1)证明：由已知得uuuruuuruuurBD121212 CD CB (2e e ) (e 3e ) e 4euuuruuuruu

24、urAB 2e18e2， AB 2 BD ，又AB 与 BD 有公共点 B，A， B， D 三点共线uuuruuur(2)由 (1) 可知 BD e14e2 ，且 BF 3e1 ke2，uuuruuurB， D， F 三点共线，得BF BD ，即 3e1 ke2 e1 4e2 ， 3，得解得 k 12， k 4，k 12.1.如图所示，已知点G 是 ABC 的重心，过G 作直线与AB， AC 两uuuuruuur uuuruuur边分别交于M ， N 两点，且 AM x AB ， AN y AC ，则 x·y 的值为x y()1A 3B.31C2D.2x·y1解析：选 B

25、(特例法 )利用等边三角形， 过重心作平行于底面 BC 的直线， 易得 . x y 3uuuur uuuruuur2 若点 M 是 ABC 所在平面内的一点，且满足5AM AB 3AC ，则 ABM 与ABC 的面积比为 ()12A. 5B.534C.5D.5解析： 选 C设 AB 的中点为D，uuuuruuuruuur由5AM AB3AC ，uuuuruuuruuuruuuur得3AM 3AC 2AD2AM ，uuuruuur即 3 CM 2 MD ，如图所示，uuur3 uuur故 C，M，D 三点共线，且 MD CD ，也就是 ABM 与 ABC 对于边 AB 的两高之533比为5，则 ABM与 ABC 的面积比为5.uuuruuuru