第三讲掌握抽象函数问题的常用处理方法

1、第三讲、掌握抽象函数问题的常用处理方法一、理论提示抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识可以说，这一类问题，是考查学生能力的较好途径，因此，在近年的高考中，这一类题目有增多和分量加重的趋势二、精典例题1 函数原型法例1：给出四个函数，分别满足f(x+y= f(x+ f(yg(x+y= g(x g(yh(xy= h(x+ h(yt(xy= t(x t(y，又给出四个函数图象正确的匹配方案是（ ）（A）丁乙丙甲（B）乙丙甲丁（C）丙甲乙丁（D）丁甲乙丙我们知道，抽象函数是

2、由特殊的、具体的函数抽象而成的。如正比例函数f(x=kx(k0, f(x1=kx1，f(x2=kx2,f(x1+x2=k(x1+x2= kx1+ kx2= f(x1+ f(x2可抽象为f(x+y= f(x+ f(y。因此，我们可得知如下结论：抽象函数f(x+y= f(x+ f(y 可由一个特殊函数正比例函数f(x= kx抽象而成的。抽象函数f(xy=f(xf(y可由一个特殊函数幂函数f(x=x抽象而成的。抽象函数f(x+y=f(xf(y可由一个特殊函数指数函数f(x=ax(a0，且a1抽象而成的。抽象函数f(xy=f(x+f(y可由一个特殊函数对数函数f(x=logax(a0，且a1抽象而成的

3、。（5）抽象函数f(x+y=可由一个特殊函数正切函数f(x=tanx抽象而成的。根据上述分析，可知应选D。2 代数演绎法例2：设定义在R上的函数f(x对于任意x，y都有f(x+y=f(x+f(y成立，且f(1=-2，当x0时，f(x 0。判断f(x的奇偶性，并加以证明；试问：当-2003x2003时，f(x是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说明理由；解关于x的不等式f(bx2-f(xf(b2x-f(b，其中b22.解：令x=y=0，可得f(0=0令y=-x，则f(0=f(x+f(x，f(x= f(x，f(x为奇函数设3x1x23，y=x1，x=x2则f(x2x1=f(x2+f(x1=f(

4、x2f(x1，因为x0时，f(x0，故f(x2x10，即f(x2f(x10。f(x2f(x1、f(x在区间2003、2003上单调递减x=2003时，f(x有最大值f(2003=f(2003=f(2002+1=f(2002+f(1=f(2001+f(1+f(1=2003f(1=4006。x=2003时，f(x有最小值为f(2003= 4006。由原不等式，得f(bx2 f(b2xf(x f(b。即f(bx2+f(b2x2f(x+f(bf(bx2b2x2 f(xb即fbx(xbf(xb+f(xbfbx(xbf2 f(xb由f(x在xR上单调递减，所以bx(xb2(xb(xb(bx2 0b22,

5、b或b1 当b时，b，不等式的解集为2 当b时，b，不等式的解集为3 当b=时，不等式的解集为当b=时，不等式解集为评注：本题综合考查函数性质、不等式解法及分类讨论等数学思想。本题中，若f(x满足f(x+y= f(x+ f(y，则f(x是奇函数。这一命题在解决问题中起着较大作用。事实上，对于抽象函数往往存在奇偶性:（1）若函数y=f(x满足f(x+y= f(x+ f(y，则f(x是奇函数（2）若函数y=f(x 满足f(x+f(y=f(，则f(x是奇函数（3）若函数y=f(x 满足f(x+y=，则f(x是奇函数（4）若函数y=f(x 满足f(x+y+ f(x-y=2 f(x f(y，f(x0，则

6、f(x 是偶函数。例3：已知函数y=f(x的定义域为R，且对于一切实数x满足f(x+2= f(2-x，f(x+7= f(7-x、求证： f(4-x= f(x，f(14-x= f(x；、试问y=f(x是否为周期函数，若不是，说明理由；若是，求出它的一个周期；、已知x时，f(x=x2,求当x时，函数y=f(x的表达式，并求此时f(x的最大值和最小值。、证明： f(4-x= f=f= f(xf(14-x= f=f= f(x、解：f(x= f= f(4-x= f = f= f(x+10 y=f(x是周期为10的周期函数、当x时，x-10 f(x= f(10-x=（x-10）2当x时, 24-x f(x

7、= f(x-10= f= f(24-x= (24-x2 f(x= 当x时，f(x的最小值为36，且f(x49当x时, f(x的最小值为16，最大值49f(x的最大值为49和最小值为16。评注：本题函数f(x以抽象函数为相关背景。考查了函数的概念、周期性、最值等基础知识；深刻考查了运算能力和逻辑思维能力。本题解决的关键是充分利用f(x+2= f(2-x，f(x+7= f(7-x这一条件。事实上(1 满足f(x+a= (a是大于零的常数，则f(x是周期为2a的周期函数。（2） 满足f(x+a= f(x-a(a0的函数f(x是以2|a|为周期的函数。（3） 满足f(a+x= f(a-x, f(b+x

8、= f(b-x (ba的函数f(x是以2(b-a为周期的函数。（4） f(x是奇函数，满足f(a+x= -f(a-x(a0的函数f(x是以2a为周期的函数。（5） f(x是偶函数，满足f(a+x= -f(a-x(a0的函数f(x是以4a为周期的函数。综上所述，由于抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而成的。故关于有关抽象函数问题的解决，我们往往可以从上述三个方面给予考虑，总是比较奏效的。3 特殊值法例已知定义在R上的函数满足：（1）值域为，且当时，；（2）对于定义域内任意的实数，均满足：试回答下列问题：（）试求的值；（）判断并证明函数的单调性；（）若函数存在反函数，求证：讲解：（）在中，令，则有

9、即：也即：由于函数的值域为，所以，所以（）函数的单调性必然涉及到，于是，由已知，我们可以联想到：是否有？（）这个问题实际上是：是否成立？为此，我们首先考虑函数的奇偶性，也即的关系由于，所以，在中，令，得所以，函数为奇函数故（）式成立所以，任取，且，则，故且所以，所以，函数在R上单调递减（）由于函数在R上单调递减，所以，函数必存在反函数，由原函数与反函数的关系可知：也为奇函数；在上单调递减；且当时，为了证明本题，需要考虑的关系式在（）式的两端，同时用作用，得：，令，则，则上式可改写为：不难验证：对于任意的，上式都成立（根据一一对应）这样，我们就得到了的关系式这个式子给我们以提示：即可以将写成的形

10、式，则可通过裂项相消的方法化简求证式的左端事实上，由于，所以，所以，点评：一般来说，涉及函数奇偶性的问题，首先应该确定的值三、反馈练习1（2001年全国高考题）设是定义在R上的偶函数，其图像关于直线对称，对任意都有，且（）求及；（）证明：是周期函数；（）记，求2（2002北京高考题）已知是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的都满足：（）求的值；（）判断的奇偶性，并证明你的结论；（）若，求数列的前项的和答案与提示：1（）；（）略；（） 2（）；（）奇函数；（）定义在R上的函数满足：对任意实数，总有，且当时，（1）试求的值；（2）判断的单调性并证明你的结论；（3）设，若，试确定的取值范围（4）试举出一个满足条件的函数讲解：（1）在中，令得：因为，所以，（2）要判断的单调性，可任取，且设在已知条件中，若取，则已知条件可化为：由于，所以为比较的大小，只需考虑的正负即可在中，令，则得 时， 当时，又，所以，综上，可知