离散型随机变量及其分布列(一)

1、离散型随机变量及其分布列（一）聊城二中 魏清泉一教材内容分析- 地位与作用概率是对随机现象统计规律演绎的研究，而统计是对随机现象统计规律归纳的研究，两者虽有明显的不同，但它们都是相互渗透、相互联系的。“离散型随机变量的分布列”作为概率与统计的桥梁与纽带，它既是概率的延伸，也是学习统计学的理论基础，能起到承上启下的作用，是本章的关键知识之一。随机变量是将随机现象的结果数量化，把对随机事件及概率的研究转化为对随机变量及概率的研究2  重点、难点根据以上分析，本节课的重点是理解离散型随机变量二教学目标知识目标：理解随机变量、离散型随机变量的概念；能力目标：通过教学渗透由特殊到一般

2、的数学思想，发展学生的抽象、概括能力；情感目标：通过引导学生对解决问题的过程的参与，使学生进一步感受到生活与数学“零距离”，从而激发学生学习数学的热情，使学生获得良好的价值观和情感态度。三教学方法选择采用发现式教学法为主，讲授式教学法为辅的教学方法，让学生充分参与知识的发现与问题的解决过程，整个过程设置了四个问题情境，要求学生思考、讨论、表述，自始至终处于活跃的思维状态中，充分发挥学生的形象思维、抽象思维、逻辑思维和创造思维。四教学过程设计1、新课引入（1）掷色子（2）投掷硬币2、随机变量的概念在课本上的射击的随机试验中，可能出现的结果都可以用一个数即“环数”来表示，这个数在随机试验前是无法预

3、先确定的在不同的随机实验中，结果可能有变化，就是说，这种随机试验的结果都可以用一个变量来表示在产品检验的随机试验中，结果也可以用“次品数”这个变量表示如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母、等表示两点说明：（1）课本在介绍随机变量的概念时，不加定义地引入了“随机试验”的概念一般地，一个试验如果满足下列条件：试验可以在相同的情形下重复进行；试验的所有可能结果是明确可知的，并且不只一个；每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果这种试验就是一个随机试验，为了方便起见，也简称试验（2）所谓随机变量，即是

4、随机试验的试验结果和实数之间的一个对应关系，这种对应关系是人为建立起来的，但又是客观存在的这与函数概念的本质是一样的，只不过在函数概念中，函数f(x)的自变量x是实数，而在随机变量的概念中，随机变量的自变量是试验结果例如，任意掷一枚硬币，可能出现正面向上、反面向上这两种结果，虽然这个随机试验的结果不具有数量性质，但仍可以用数量来表示它通常我们用来表示这个随机试验的结果：=0，表示正面向上；=1，表示反面向上例1 如果用表示抛掷一枚硬币的结果，出现“正面”记为1，出现“反面”记为0，则是一个可以取0和1两个可能值的随机变量。例2 如果用表示抛掷一颗骰子出现的点数，则是一个可以取1，2，6六个可能

5、值的随机变量。 例3如果用表示在件产品中不合格品的件数，或在次射击时命中目标的次数，则是一个可以取个可能值0，1，2，的随机变量。3、随机变量和函数的关系4、离散型随机变量的概念如果随机变量的所有可能值只有有限多个或可列多个（所有值可以一一列出）则称之为离散型随机变量。说明：（1）离散型随机变量可能取的值为有限个或至多可列个这里的“可列”不易理解，所以课本用比较浅显的语言“按一定次序一一列出”来描述比如取1，2，n，（2）教材中为了控制难度，所涉及到的离散型随机变量可能取的值的个数多数是有限的5、电灯泡例子的分析6、练习与巩固（1）课本52页（2）指导书3031页7  课堂小结引导学

6、生总结，教师加以整理离散型随机变量的概念的理解。五、作业布置预习第二节离散型随机变量及其分布列（二）聊城二中 魏清泉教材内容分析1  地位与作用概率是对随机现象统计规律演绎的研究，而统计是对随机现象统计规律归纳的研究，两者虽有明显的不同，但它们都是相互渗透、相互联系的。“离散型随机变量的分布列”作为概率与统计的桥梁与纽带，它既是概率的延伸，也是学习统计学的理论基础，能起到承上启下的作用，是本章的关键知识之一。随机变量是将随机现象的结果数量化，把对随机事件及概率的研究转化为对随机变量及概率的研究；离散型随机变量的分布列反映了随机变量的概率分布，将实验的各个孤立事件联系起来，从整体上研究

7、随机现象。并为定义离散型随机变量的数学期望和方差奠定基础，揭示了离散型随机变量的统计规律。2  重点、难点根据以上分析，本节课的重点是求离散型随机变量的分布列。难点是二项分布，这是因为如何判断随机变量是否服从二项分布及二项分布综合运用n次独立重复实验恰好发生k次的概率公式及二项式定理公式的运用存在困难，其次计算比较烦琐。教学目标1  知识、能力、情感目标知识目标：了解离散型随机变量的分布列，会求某些简单的离散型随机变量的分布列；能力目标：通过教学渗透由特殊到一般的数学思想，发展学生的抽象、概括能力；情感目标：通过引导学生对解决问题的过程的参与，使学生进一步感受到生活与数学“

8、零距离”，从而激发学生学习数学的热情，使学生获得良好的价值观和情感态度。2  学生的认识水平知识结构方面，学生已学习了排列、组合、二项式定理、概率和随机变量，已具备了本节课所需的预备知识。能力方面，经过两年学习，学生具有了一定的发现、分析、解决问题的能力，抽象、概括能力，逻辑思维能力，通过设立问题情境，在教师的启发引导下，能力目标不难达到。情感方面，学生对新鲜事物充满好奇，参与意识强，通过与生活紧密相连的问题设计，激发学生的学习兴趣，情感目标可以达到。教学方法选择采用发现式教学法为主，讲授式教学法为辅的教学方法，让学生充分参与知识的发现与问题的解决过程，整个过程设置了四个问题情境，要

9、求学生思考、讨论、表述，自始至终处于活跃的思维状态中，充分发挥学生的形象思维、抽象思维、逻辑思维和创造思维。教学过程设计一、  设立问题情境，设置悬念断案兔子是谁打死的？在还未禁猎的年代，有一天，两位猎人同时发射一枪，打死一只正在奔驰的野兔，二人直奔猎物，都想得到这个战利品，于是争论起来。一智者路过此地，问明事由，出面调解，猎人甲称：“我的枪法百发百中，兔子是我打死的。”猎人乙争辩道：“我的枪法比他准，兔子分明是我打中的。”智者道：“你们不必争吵了，听我安排。”智者命二人向同一目标各打五枪，甲的命中率为0.4，乙的命中率为0.6。甲以为这下完了，兔子必判给乙，很丧气，扭头便走，智者喊

10、到：“且慢，听我慢慢道来。”智者经计算，告诉二人：“既然兔子已被你们打死，那么甲单独击中的机会是，乙单独击中的机会是 ，二人共同击中的机会是 。”他建议：“如果此猎物价值若干，你们可按 七比十二分配。”结果兔子卖了五十七元，甲分得二十一元，乙分得三十六元，两人皆大欢喜，欣然而归。 请同学们想一想，这个分配方案是否合理？智者是如何做出这个分配方案的？涉及意图：设置悬念，营造一种神秘气氛，容易吸引学生注意力，调动学生学习兴趣，使他们有一种强烈的求知欲望，同时揭示随机变量的分布列的客观存在性和研究它的必要性。二、  提出问题，引入主题     抛掷一

11、枚骰子，求所得点数 及 取各值的概率；     抛掷三枚硬币，求正面向上的个数 及 取各值的概率；学生思考、讨论，教师巡视、倾听，获取反馈信息，适时引导，共同探究，画出表格，表格从概率角度指出 的可能取值及取各值的概率，我们称此表为 的分布列。由学生观察表格，归纳其特征，试着表述分布列的概念，教师及时纠正，引导学生用规范的数学语言叙述得到：三、离散型随机变量概率分布 （一）概率分布 定义1 设X是离散型随机变量，它可能取值为 ，对这些不同的值，其概率为 (k=1,2,)称为离散型随机变量的概率分布，简称分布列（或分布律）1.表达式法 通常，称上式为离散型

12、随机变量的概率函数。2.表格法通常，称上表为离散型随机变量的概率分布表。3.图示法有时为直观起见，也可以用图示的方法表示离散型随机变量的概率分布，如图4.3所示。的概率分布还可用图示法表示,图4.3是离散型随机变量的概率分布图。 图4.3 命中次数的概率分布图进一步思考：离散型随机变量的分布列有何性质？设计意图：学生自己发现问题、分析问题、解决问题。这一过程遵循由特殊到一般，从感性到理性的认知规律，进一步发展学生归纳、抽象能力。（二）概率分布的基本性质 1. . 2. .（三）两种分布1、两点分布：只有两个可能取值的随机变量所服从的分布，称为两点分布。其概率函数为例1 一批产品的废品为5%，从

13、中任意抽取一个进行检验，用随机变量来描述废品出现的情况。即写出的分布。解  这个试验中，用表示废品的个数，显然只可能取0及1两个值。表示“产品为合格品”，其概率为这批产品的合格率，即      ，而表示“产品是废品”，即，列成概率分布表如表2-2所示。表2-2095%15%也可以用下述等式表示：    2、超几何分布超几何(Hypergeometric)分布这是如下的概率分布：P(=)=， ， = 0，1，2，(,)。 (16)在产品质量的不放回抽检中，若件产品中有件次品，则抽检件时所得次品数就服从超几何

14、分布。因为，所以我们证明了一个很有用的组合公式：二项分布与超几何分布有密切的联系。在(16)式中，若,不变， 则 ()。 (17)因此，当很大时，超几何分布就可以用二项分布来近似计算。四、 例题评讲，巩固深化例1 在掷一枚骰子的试验中，试写出可能出现的点数的概率分布列.X1 2 3 4 5 6 P1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 解 设X表示掷一枚骰子可能出现的点数.显然，X的所有可能取值为：1，2，3，4，5，6.由古典概型知X取每一个值的概率均为 .X的概率分布表为: 例2     某射手射击所得环数的分布如下：X0 1 2 3 4 5

15、 6 7 8 9 10 P0 0 0.01 0.01 0.01 0.02 0.10 0.30 0.35 0.15 0.05 求此射手射击一次命中环数7的概率。离散型随机变量在某一范围内取值概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。设计意图：例题本身是利用离散型随机变量的分布列求概率，目的是加强对分布列的认识与记忆，帮助学生明确解题步骤，规范解题格式，提高运算能力。例3 某人打靶，命中环数X的概率分布表为：45678910P002004006009028029022求（1）至少命中9环的概率；（2）命中少于6环的概率.解：X为此人命中的环数，它是一个随机变量，X的取值为0，1，10.（1）“至少命

16、中9环”是指命中9环或命中10环，并且这两个事件互不相容， X取值为9和10，概率为P(X9)=P(X=9)+P(X=10)=0.15+0.05=0.20. （2）“命中少于6环”是指命中环数为0环、1环、2环、3环、4环、5环，并且两两事件互不相容，X取值为0，1，2，3，4及5，概率为 =P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5) =0+0+0.01+0.01+0.01+0.02=0.05. 五  课堂小结引导学生总结，教师加以整理离散型随机变量的分布列的概念二项分布设计意图：有利于巩固所学知识，培养归纳、概括能力，进一步完成知识目标和能力目标。六、  练习与作业通过课内练习和课外作业，巩固加深对知识的理解。解决引入部分提出的问题，并提出课后思考题：分布列全面反映统计规律，但有些实际问题这样的全面描述并不使人感到方便，例如：已知在同一品种的母鸡中，一只母鸡的年产蛋量是一个随机变量，试比较两个品种的母鸡年产蛋量，这个问题如何解决？通过最后设题，将学生的思维向外延伸，激发学生的发散思维，为下节课学习作好铺垫。七、评价与分析 学生学习的过程应该是：具体抽象具体。即由感性认识上升到理性认识，形成抽象思维，这是一个归纳过程，然后用归纳的结论去指导具体问题的解决，这是一个演绎过程，学生