控制工程基础答案

1、第 2 章系统的数学模型(习题答案)2.1 什么是系统的数学模型？常用的数学模型有哪些？解：数学模型就是根据系统运动过程的物理、化学等规律，所写出的描述系统运动规律、 特性、输出与输入关系的数学表达式。常用的数学模型有微分方程、传递函数、状态空间 模型等。2.2 什么是线性系统？其最重要的特性是什么?解：凡是能用线性微分方程描述的系统就是线性系统。线性系统的一个最重要的特性就是 它满足叠加原理。2.3 图(题 2.3)中三图分别表示了三个机械系统。求出它们各自的微分方程,图中 Xi表示输入位移,Xo表示输出位移，假设输出端无负载效应。题图 2.3解：图(a)：由牛顿第二运动定律，在不计重力时，

2、可得将上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即初始条件全部为零，可得严廿吵冷 -于是传递函数为CJ=mx（JII-整理得图(b):其上半部弹簧与阻尼器之间，取辅助点A，并设 A 点位移为 X,方向朝下;而在其下半部工。引出点处取为辅助点 B。则由弹簧力与阻尼力平衡的原则，从 A 和 B 两点可以分别列出如下原始方程：消去中间变量 x,可得系统微分方程dx0dxi对上式取拉氏变换，并记其初始条件为零，得系统传递函数为c(Ki + K十KiKj图(c):以 的引出点作为辅助点，根据力的平衡原则，可列出如下原始方程:- X)+ etc,-忌)=Kjxo移项整理得系统微分方程dxi(心十Kxo=

3、c- +KjXj对上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即竝(0= xo(0) = 0则系统传递函数为乙cs + Kjcs + (Ki + K2)2.4 试建立下图(题图 2.4)所示各系统的微分方程并说明这些微分方程之间有什么特点， 其中电压ur(t)和位移xr(t)为输入量；电压 uc(t)和位移 xc(t)为输出量；k,k1和k2为弹簧弹 性系数；f为阻尼系数。【解】：(a)设回路电流为i，根据克希霍夫定律，可写出下列方程组:dtUcRi消去中间变量，整理得:方法CsRiO-Xr(t)kXc(t)(c)Xr(t)(b)kiXc(t)(d)题图 2.4RCdUcdtRCdurdt方法U

4、rUc(s)RCsUr(S)RCs1RCdUcdtuc= RCdtCs(b)由于无质量，各受力点任何时刻均满足=0,则有:(c)Uc(s)Ur(s)f(R2dxrdXcdtdt)=kxf dXck dtXcf dxrk dtCsR2CS 1R R2Cs 1pl.(R1R2)C話 UTCdUrdtUr(d)设阻尼器输入位移为Xa，根据牛顿运动定律，可写出该系统运动方程2.5 试求下图(题图 2.5)所示各电路的传递函数题图 2.5【解】：可利用复阻抗的概念及其分压定理直接求传递函数1(F2)LsR1Uc(s)一Cs/(R2Ls) Ur(s)R1 2 3(R Ls)CS -R221Ri(R?)/L

5、sR?CsCs_LCR?s2CsR2+LSRLCs4(RR2C L)s R R,4(R +F2)LCs2+(RPC +L)s + Ri-Xc) *(兀-Xa)k2(XcXa)dtk1k2dxcFXcf dXrk2dtXr结论：(a)、(b)互为相似系统,(c)、(d)互为相似系统。四个系统均为一阶系统(b)Uc(s)Ur(s)R1C1s(R1/丄)R?C1s1C2sRR2GC2S2+(RG +R2C2)S+ 12R1R2GC2S ( R1C1R2C2 R1C2)s 1(a)Uc(s)Ur(S)(c)0丄1 1(R ) / R_C2S十Cs乂R.1 . 1 . 1 . 1 . 1(R )/ R(

6、R )/RR CisC2SC1SC2SC1S(d)Uc(s)Ur(s)2 2R C1C2S2RCiS 122R C1C2S (2RCiRC2)S1题图 2.6解（1）对图（a）所示系统，由牛顿定律有（2）对图（b）所示系统，由牛顿定律有门.川:2.7 求图（题图 2.7）所示机械系统的微分方程。图中 M 为输入转矩，Cm为圆周阻尼，J 为 转动惯量。圆周半径为 R，设系统输入为 M （即 M（t）,输出为 （即傀）,其中题图 2.7解：分别对圆盘和质块进行动力学分析，列写动力学方程如下:M = J 6ICIRkW - X） .k（R9-x） = mx + ex消除中间变量 x,即可得到系统动力

7、学方程：防广,I5芮! 4)；+k r ):严公匸2.8 求图(题图 2.8)所示系统的传递函数(f(t)为输入，y2(t)为输出)解分别对常，“进行受力分析，列写其动力学方程有f -c2y2-cxy2-yx） = m7y2:旳）一=E班对上两式分别进行拉氏变换有:F-込叶2-巧毗-珀1 =皿泸皱2。)IClsY2(s)-均一= mYs)消除得7=mrs2+ cys + kmeys4+m2ci+ 皿1（匚+ c2）s3+（in2k+ c1c2）s24-址（匸4- c3）2.9 若系统传递函数方框图如图(题图 2.9)所示,求：(1) 以 R(s)为输入，当 N(s) = 0 时，分别以 C(s

8、),丫(s)， B(s), E(s)为输出的闭环传递 函数。(2) 以 N(s)为输入，当 R(s) = 0 时，分别以 C(s)，Y(s)，B(s)，E(s)为输出的闭环传递函比较以上各传递函数的分母，从中可以得出什么结论解(1)以为输入，当 N( )=0 时：C(s)GGs)若以 C()为输出，有、； 心、：，.：.：.；，；若以丫()为输出，有眾门 B(s)GG地矶可若以 B()为输出，有：.r,、Es)1若以 E()为输出，有J：)(2)以*:为输入，当 R()=0 时：/ zz / / / z /题图 2.8题图 2.9(3)从上可知：对于同一个闭环系统，当输入的取法不同时，前向通道

9、的传递函数 不同，反馈回路的传递函数不同，系统的传递函数也不同，但系统的传递函数分母保持不 变，这是因为这一分母反映了系统的固有特性，而与外界无关。若以 C()为输出，有八若以丫()为输出，有八若以 B()为输出，有八八总若以 E()为输出，有c耳= 屈 =1十为肝(巧K(s)-6(可山迄)日(巧=丽=1 +1 +冋町2.10 求出图(题图 2 .10)所示系统的传递函数 X(S)/Xj(S)题图 2.10解方法一：利用公式（231）,可得r池GG 卯 4B（s）二 丽 二1 -G1G2G3G.H3+G1G2G3H2-G2G3H1+G3G4H,方法二：利用方框图简化规则，有图（题2.16.b）

10、n扎尹4B（S）二丽二1 -+ GrG2G3H2- G2G3Hr+ G3G4H,2.11 求出图（题图 2 .11）所示系统的传递函数 X（S）/Xi（S）解根据方框图简化的规则，有图（题2.17.b）Xo(s)G1C2G3 +B(S)=丽=1匸3&2G3TG町G&26H曲;Gi仏一-马题图 2.112.12 图（题图 2 .12）所示为一个单轮汽车支撑系统的简化模型。口勺代表汽车质量，B 代表振动阻尼器，K1为弹簧，m2为轮子的质量，K2为轮胎的弹性，试建立系统的数学模型。问题 2 质点振动系统。这是一个单轮汽车支撑系统的简化模型。；，代表汽车质量，B 代表振动阻尼器，人为弹

11、簧，-为轮子的质量，人为轮胎的弹性，建立质点平移系统数学 模型。解答：d2Xy fdxdxA（dx2dxA叫乔W ”-心也-巧）-S拉氏变换：叭护禺=-乩凶心-KjXt(s) -X2(s) m2s2X2(s) = F(s)-阳罔-禺卜 K 此-笔(刖-K 几题图 2.12问题 2解答;（mrs2+ Es + 心）Xi（5）- （Bs +KjXQ= 0-Bs + KjXa + m2s2+ Bs+ (心 + K-Xs) =F(5)& K1F尬皿2住+日(皿1+尬2 + (11 +心加2 + K刃耳)* +K2BS+ KYK2X2(s)mvs,z十Bs +Fm1m254+ 疏仙 + m2)s

12、3+(心伽 + KLm2+ K2m1)s2+ K2Bs + KYK22.13 液压阻尼器原理如图(题图 2.13)所示。其中，弹簧与活塞刚性联接，忽略运动件的惯 性力，且设 Xj为输入位移，x 为输出位移，k 弹簧刚度，c 为粘性阻尼系数，求输出与输入 之间的传递函数。经拉氏变换后有kXo(s)二 cqXi(s) -Xo(s)解得传递函数为TsTs 1式中，T二RC为时间常数2.14 由运算放大器组成的控制系统模拟电路图如图(题图 2.14)所示，试求闭环传递函数-X0-W解：1)求系统的传递函数活塞的力平衡方程式为kXo(t)二C JXi(t)-X(t)dtXt题图 2.13Uc(s)/5(

13、s)U2) _7t/0(s) _硏矿薪匹矿-式(1) (2) (3)左右两边分别相乘得U(s) + 5(s)_ RJu)-= ZW、 比_ _皓_所以： Ri1Ts +1C2SR2=脇日+ z忆靑2=_口 &Z1Z贸2 +5 6 7 Ts+c2s(T|S +122.15 某位置随动系统原理方块图如图(题图 2.15)所示。已知 电位器最大 工作角度臨ax3300，功率放大级放大系数为 K3，要求：6分别求出电位器传递系数 Ko、第一级和第二级放大器的比例系数K1和K2；7画出系统结构图；解:C1题图 2.14旳Ri& 简化结构图，求系统传递函数 入(s)/4(s)；Koe题图

14、2.15 位置随动系统原理图解:(1)(2)u-mw 小鱼几=RJO + Lasla(s) += S)品 a+ /0(5)= M?n - Mc(s)Ebs) = K 肥系统结构图如下:(3)系统传递函数+ Ra)(J$ + DK 点並位一1 +s(Las + Ra)(Js + f)s(Las + Ra)(Js + /) +K.K.K2K5Cm-1 J_+ K.K K2K LaS+Ra)(JS+ 门世/ + R】(j + f) + 5 心1 +s(Las + RJCJs + f)CmKbr心 5)(/2n+ G 冷+航苫声&Ko2.16 设直流电动机双闭环调速系统的原理图如图(题图 2.

15、16)所示，要求:(1)分别求速度调节器和电流调节器的传递函数；画出系统结构图(设可控电路传递函数为K2/C3S 1);电流互感器和测速发电机的传递函数分别为K4和 K5)；(3)简化系统结构图，求系统传递函数 门(s)/Ui(s)。题图 2.16 直流电动机调速系统原理图解：(1)速调1RIUST(s)Z11CAs RCxs +1Ts+1Us) - Uf(s)=R= RCrs =RC 企流调1Rr. + “防22S+ 12 + 1UST(s) - Udx(s)_ 玄SRC2SRC2S(2)系统结构图如下(3)简化结构图，求系统传递函数：!因为求系统传递函数：,所以令 r：,系统结构图如下:迥

16、业化饶祢进-b-t I1:u N31%心nK-进一出化站咛:LLa .r月加GlKg d-UCU-C J GJ(:占4】 +耳Ki Gflrfx It-DKKs & G： ,-1K T：所以：il(s)W_拝+ 1)(卩 2+1)=RCiSCmRC2s(LQs + R(Jms + fj + CeCr3s+ 1) +K3K4Cm(Jms+ / J +K.K3CT2s +以下无正文仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur fur den pers?n

17、lichen fur Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l etude et la recherche uniquementades fins personnelles; pasades fins commerciales.TO员BKOgA.nrogeHKO TOpBieno员b3ymm(acH6yqeHu 兄cj egoB u HHue肉go员冶HBIUCnO员B3OBaTbCEBKOMMepqeckux以下无正文仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur fur d