最优策略下的投资收益风险问题

1、最优策略下的投资收益风险问题长安大学 程牧刚 陈晓渭 杨剑浩摘 要本文针对日常生活中的投资组合问题的一般特点和要求，建立了两个遵循题目要求的单目标规划模型。在给定投资风险上限的情况下，利用多项式进行数据拟合，并对拟合函数的拐点处进行计算，从而得到最优投资点，进一步找到最优的投资组合方案。对于问题一和问题二，因为这两个问题有着很大的共同点，因此我们选择了相同的模型，其中问题二中仅对模型的选取范围进行了调整。为了避免对目标函数的讨论过于复杂，我们选取了投资组合的净收益作为目标函数，成功而简单的将投资总收益与投资的总体风险结合起来。考虑到模型求解的方便，我们对题目中的交易费用和投资风险承受上限进行了

2、合理的简化和假设，对投资额与投资阈值的关系进行了限定，给出了投资风险承受上限的一些取值，同时，把总体风险最小化约束由非线性约束转化为线性约束。在各个取值条件下，利用lingo软件进行了求解，得出相关数据，再利用matlab软件对数据进行四次二项式拟合，得到总体净收益与总体风险上限的函数关系式，通过对该函数关系式的拐点处数据计算，从而确定最优点和最优投资组合方案。我们经过对问题一模型的求解得到最优投资组合方案为： 将资金M用于投资资产S1，资产S2，资产S3和资产S4，其中对资产S1的投资占总投资的24.00%，对资产S2的投资占总投资的40.00%，对资产S3的投资占总投资的10.91%，对资

3、产S4的投资占总投资的22.12%。对问题二的模型求解得到最优投资组合方案为：将资金M用于投资资产S3，资产S7，资产S8,资产S9,资产S10和资产S13其中对资产S3的投资占总投资的13.33%，对资产S7的投资占总投资的11.76%，对资产S8的投资占投资总额的19.00%，对资产S9的投资占投资总额的15.01%，对资产S10的投资占投资总额的20.00%，对资产S13的投资占总投资的17.39%。关键词：数据拟合 非线性规划模型 总体风险上限 总体净收益一、问题重述市场上有n种资产（如股票、债券、）s( i=1,n)供投资者选择，某ii公司有数额为M的一笔相当大的资金可用作一个时期的

4、投资，对这n种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买is的平均收益率为r，并预测出购买s的风ii险损失率为q。考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的购买iis中最大的一个风险来度量。 iis要付交易费，费率为p，并且当购买额不超过给定值u时，交易费按购买ui计算（不买无须付费）。另外，假定同期银行存款利率是r0, 且既无交易费又无风险。（r0=5%）（1）根据相关数据，试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。已知n = 4时的相关数据如下：Si ri (%)

5、qi (%) Pi (%) ui (元)S1 28 2.5 1 103S2 21 1.5 2 198S3 23 5.5 4.5 52S4 25 2.6 6.5 40（2）试就一般情况对以上问题进行讨论，并利用给出的数据进行计算。 Si ri (%) qi (%) Pi (%) ui (元)S1 9.6 42 2.1 181S2 18.5 54 3.2 407S3 49.4 60 6.0 428S4 23.9 42 1.5 549S5 8.1 1.2 7.6 270S6 14 39 3.4 397S7 40.7 68 5.6 178S8 31.2 33.4 3.1 220S9 33.6 53.3

6、 2.7 475S10 36.8 40 2.9 248S11 11.8 31 5.1 195S12 9 5.5 5.7 320S13 35 46 2.7 267S14 9.4 5.3 4.5 328S15 15 23 7.6 131二、基本符号说明与基本假设2.1 基本符号说明1.Xi：第Si种资产的实际购买额2.ri：购买第Si种资产的平均收益率3.qi：购买第Si种资产的风险损失率4.Qi：购买第Si种资产的交易费5.r0：同期银行存款利率6.ui：购买第Si种资产的阈值7.Pi：购买第Si种资产的交易费率8.D：总体风险9.f：净收益额2.2 基本假设1) 假设所考查的资产的平均收益率和

7、风险损失率在决策期间内稳定，即发生的变化不会影响到投资决策。2) 将各资产投资的总体风险用所投资资产Si中最大的一个风险来度量。3) 假设银行同期存款利率稳定。4) 某公司数额为M的资金不会在投资期内发生重大改变，且M足够大。5) 题目所给数据可靠性高。三、问题分析和基本思路3.1 问题分析和建模思路该问题是一个比较明显的策略优化问题，由于投资的风险及收益受社会、经济等因素的影响，而影响投资的盈亏趋势的直接重要因素是：每种投资项目的收 3益概率和风险概率的大小关系，因此我们在建立模型时不可能也没有必要考虑所有因素，只能抓住关键因素，进行合理的假设和建模。建立模型对投资风险收益问题进行定量安排，

8、就是根据现有的资产评估资料和原始数据，从当前实际的准备投资情况出发，并对待定的投资项目进行合理的评估，提出合理的投资要求和假定，应用科学的方法，预测出该项目资产投资所能获得的收益及出现投资失败的可能性大小，以使投资取得最好的效果。（一）.对问题一的分析：问题一属于投资组合优化问题，根据问题一中所给出的四种资产的相关数据，以及同期银行存款利率，我们可以判定问题一中总计有五种投资项目，对于问题一，我们根据对投资的净收益进行计算，同时保持有较低的风险率，从而得到投资方案中更为优化的方案，然后通过对总体风险限制的改变，对方案进行灵敏度分析，从而给出在细微变化下的，更为灵活的投资方案。（二）.对问题二的

9、分析：问题二也是一个投资组合优化问题，与问题一的区别在于问题二中资产的数目有所增加，使得投资组合的项目数量增加，但研究方法没有太大变化，我们仍然通过应用解决问题一的思路来处理问题二，给出投资方案,并进行灵敏度分析。四模型的建立4.1模型准备投资组合问题中约束条件组合多样性和不确定性是本次投资组合优化问题的几个主要讨论问题。由题目中给出的提示和我们的进一步研究，我们将此投资组合优化问题的要素归纳成：投资资产集合：S=S1,S2,SS 投资资产的平均收益率集合：R=r1，r2，rr投资资产的风险损失率集合：q=q，q，q 12q投资资产的交易费率集合：P=p，p12，pp投资资产的交易费阈值集合：

10、U=u1，u2，uu除过以上这些要素集合外，还有一个同期银行存款利率r0，即表示公司可以把资金存放到银行。因此，我们也必须将把资金存入银行当做是一种投资选择。第一部分：问题1模型的建立4.2约束条件的确定在对投资组合问题的若干要素进行统一规定后，下面来分析题目中已知的或隐含的可能约束条件:（1）.由题目中对公司投资总额的要求可知，该时期内公司投资总额不超过M元，由于第一问中题目给出了四种可投资资产，因此当公司对这四种资产都进行投资时，总投资额不大于投资上限M元，即：a.总购买额限制：XiMi=14而在实际的投资过程中，投资者不可能对投资资产进行负的投资，即投资金额不应该小于零元：b.购买额非负

11、限制：Xi0 ， i=1，2，3，4因此我们可以得到该问题的总投资额约束条件：Xi=14iMXi0i=1，2，3，4（2）.在投资问题中，对于投资所引起的不良后果的考虑是必要的，即所谓投资风险问题，从题目中我们得知，在同一时期内购买各种资产的各自的风险损失率为q=q，q，qq ，其中总体风险用所投资的各资产中风险最12大的一个来衡量，用D来表示总体风险，可以得到：D=MaxXq，其中x是iii为投资第Si种资产的实际风险，取其中最大的作为总体风险。在投资问题中，应当是投资的总体风险达到近可能的小，因此我们对总体风险表达式进行一些更改，得到最终的总体风险表示式：第Si种资产的实际购买额，qi是购

12、买第Si种资产的风险损失率，两者之积即MinD=MaxXiqii=1，2，3，4（3）.由题目可知，购买s要付交易费，费率为p，所付的交易费用可以ii分为三种情况下的交易费。第一种，当购买额不超过定值ui时，根据规定，所付交易费用为uip；第二种，当该资产的购买额为零时，所付交易费用为0；i第三种，当购买额为xi时，而xi超过了阈值ui，则所付交易费用为xi此可得表达式如下：p。因iQi=uPiiiiXP当0<Xiui时，Qi=uiPi； 当Xi=0时，Qi=0； 当Xi>ui时，Qi=XiPi。 i=1，2，3，4综上所述，我们共得到三个约束条件，其中需要注意的是，银行存款作为一

13、种投资方案，既没有投资风险，也没有投资交易费用。因此需要与其他四种投资项目有所区别。 4.3目标函数的确定由题目可知，该问题主要涉及投资的收益多少和风险大小，因此，我们决定将投资的收益及风险作为两个目标函数，通过约束条件对目标函数的限制，进行求解，以期得到较为满意的结果。（1）.投资收益目标函数的确定经过对题目的进一步研究我们发现，资产投资的预估收益应该分为三部分，即投资项目的收益，银行存款所的利息和投资项目风险所引起的资产损失。如果用总体收益表示目标函数，则只考虑了投资收益，风险和利息造成的变动将不好表示，因此我们决定用资产投资的净收益作为目标函数。由公式得：资产投资的净收益=投资项目的收益

14、+银行存款所得利息-投资项目风险损失 即：总净收益=总收益+银行利息-风险损失 （a）.总收益总收益=项目投资额*平均收益率 第一个项目的预估收益为xr 11因此所有投资项目的总收益为xri=1i4i（b）.投资风险损失由约束条件三可知，投资风险损失有三种情况，现用Q表示，则其中一个i项目的风险损失为因此所有投资项目的总风险损失为Qi=1i4Q1（c）.银行利息当投资额有剩余时，为了使公司获得最大收益，则不应该将剩余资金闲置，可以将其存入银行获取利息，银行同期利率为r0，因此银行利息为44 M-xi-Q(r0%) ii=1i=1由以上三式可得，投资收益目标函数为44z=xiri-Q+ M-xi

15、-Q(r0%) iii=1i=1i=1i=1 44（2）.投资风险目标函数的转移作为本问题的另一个目标函数，投资风险目标函数的确定与投资收益目标函数会出现一些重复，因为在投资收益目标函数中已经对投资风险损失做过处理。同时，如果将投资风险作为目标函数，则会出现双目标函数的情况，在对两个目标的统一过程中由于不清楚两者的相对权重大小，因此会出现不小的困难。考虑到上述情况，我们决定将投资风险转移到约束条件中，既简化了目标函数，又解决了题目对投资风险尽可能小的要求。具体方法，即如约束条件二中的阐述。 7综合以上两点，我们得到题目的目标函数为：4444 maxf= xiri-Q+ M-xi-Q(r0%)

16、iii=1i=1i=1i=14.4 规划模型综上所述，我们得到一个单目标的规划模型，如下：44 maxf= xiri-Q+ M-xi-Q(r0%) iii=1i=1i=1i=1444S.T i=1XiMXi0MinD=MaxXiqiQi=uPii0i， iXP当0<Xiui时，Qi=uiPi；当Xi=0时，Qi=0；当Xi>ui时，Qi=XiPi。i=1，2，3，4第二部分：问题2模型的建立4.5 问题二的模型讨论根据题目要求，问题二中希望就一般情况对问题一进行讨论，并利用给出的新数据进行计算。我们认为其实质是对问题一的扩展，与问题一相比，问题二中比较明显的变化在于数据量上的增加，

17、从问题一中的四组数据增加到了十五组数据，而问题所对应的模型却没有太大的变化，因此我们认为问题一与问题二具有相似的数学模型，其约束条件和目标函数在问题一的基础上稍作修改即可得到。综上所述，我们得到问题二的单目标规划模型如下：1515maxz= xiri-Q+ M-xi-Q(r0%)iii=1i=1i=1i=1151515S.TXMi=1iXi0MinD=MaxXiqi Qi=uPiii，iXP当0<Xiui时，Qi=uiPi； 当Xi=0时，Qi=0； 当Xi>ui时，Qi=XiPi。 i=1，2，.，15五模型的求解第一部分：问题一中模型的求解5.1 模型求解时交易费用及最大投资风

18、险的处理 问题一中，在交易费用的限制条件中存在三种不同的情况，这对模型的求解造成了一定困难，因为投资项目阈值的存在，使得每个投资项目的交易费用的表达式不唯一，为了方便求解，我们根据题目中的条件：数额为M的一笔相当大的资金，认为公司对每个项目的投资额只有两种情况，一种是投资额为零，则交易费用Q=XiPi，其中Xi为零，则Qii=0.；另一种是投资额远大于投资项目的阈值，则交易费用仍然为Qi=XiPi。在本投资问题中，由于投资项目的风险不把定，为了方便，我们定义了公司所能承受的最大投资风险，即总体风险上线，MinD=MaxXq 线性化，转化为x(i)*q(i)<e。而总体风险上线不是确定的i

19、i数字，因此我们对总体风险上线取一定的数值，在该数值下进行运算。5.2 模型求解在总体风险上线e取不同值时，用Lingo求解的投资组合分别如下表所示：表一：f与e的关系：得到总收益f与总体风险上线e的关系曲线如图：图一：302520f(%)1510500.51e(%)1.522.5、总收益f与总体风险上限e的函数关系式如下：f=-2.2277e4+15.97e3-40.99e2+47.204e+2.4557f随e的增大而增大，在0,0.5范围内f随e的增大变化明显，当e>0.8时f逐渐趋 于平缓e增大到一定范围，e的变化给引起f的变化不明显。据此我们给出近似最优投资组合问题一的模型求解结

20、果：综上所述，在问题一的要求下，最优投资组合为：将资金M用于投资资产S1，资产S2，资产S3和资产S4，其中对资产S1的投资占总投资的24.00%，对资产S2的投资占总投资的40.00%，对资产S3的投资占总投资的10.91%，对资产S4的投资占总投资的22.12%。第二部分：问题二中模型的求解5.3 对问题二中模型的处理鉴于问题二在模型建立上与问题一模型的相似性，我们仍采用问题一中模型的解法，因此，对于问题二模型的处理与问题以相同：1.同样认为公司对每个项目的投资额只有两种情况，一种是投资额为零，则交易费用Qi=XiPi，其中Xi为零，则Qi=0.；另一种是投资额远大于投资项目的阈值，则交易

21、费用仍然为Q=XiPi。2.定义了公司所能承受的最大投资风险，对总体风险上线取一定i的数值，在该数值下进行运算。5.4 模型求解在总体风险上线e取不同值时，用Lingo求解的投资组合分别如下表所示：表二：得到总收益f与总体风险上线e的关系曲线如图：图二：40353025f(%)2015105005101520e(%)25303540总收益f与总体风险上限e的函数关系式如下：f=-0.00011374e4+0.011409e3-0.40234e2+5.9722e+4.1867f随e的增大而增大，在0,7范围内f随e的增大变化明显，当e>14时f逐渐趋于平缓e增大到一定范围，e的变化给引起f

22、的变化不明显。 据此我们给出近似最优投资组合近似最优投资组合点e=0.08M f=0.3229M问题二的模型求解结果：综上所述，在问题二的要求下，最优投资组合为：将资金M用于投资资产S3，资产S7，资产S8,资产S9,资产S10和资产S13其中对资产S3的投资占总投资的13.33%，对资产S7的投资占总投资的11.76%，对资产S8的投资占投资总额的19.00%，对资产S9的投资占投资总额的15.01%，对资产S10的投资占投资总额的20.00%，对资产S13的投资占总投资的17.39%。六灵敏度分析第一部分：问题一中模型的分析6.1 关于M假设的合理性分析在模型简化过程中，我们默认M相当大，

23、关于M相当大的假设是否合理，在此我们给出M假设的合理性验证。现根据以上问题一中的模型结果推算最小投资额M，对于每个资产S都满足：(x-p*x)M>u，不等式左边是对投资资产的实际购买额，不等式右边是该资产购买额的阈值限制，对该式稍作变形得：M=u/(x-p*x)，其中的最大者就是问题一的最小投资额。经过运算得表如下：从表中所得数据可以看出，问题一中各个项目的最小投资额在不同的总体风险上线下，除去两个最小投资额小于投资阈值外，其余均大于投资阈值，由此得出，对于总投资额M的假设是合理的。6.2关于平均收益率r，风险损失率q和交易费率p的变化对投资方案的影响分析1. 平均收益率r由模型的构建过

24、程可知，平均收益率对投资方案有一定影响，保持其它参数不变，我们对每一个项目的r都进行一定的变化，得到下表：表四：可以看出，r的变化在小范围内对投资方案的影响不大。2.风险损失率q保持其它参数不变，我们对每一个项目的q都进行一定的变化，得到下表：的增大，对f影响越大。3.交易费率p保持其它参数不变，我们对每一个项目的p都进行一定的变化，得到下表： 表六：可以看出，p的变化对投资方案的净收益是有一定影响的，p的变化愈大，净收益f变化愈大。第二部分：问题二中模型的分析6.3 关于M假设的合理性分析由于问题二与问题一的模型建立思路基本一致，因此在问题二中我们依然默认M相当大，利用M=u/(x-p*x)

25、式对问题二中的模型结果进行推算得到最小投资额，经过运算得表如下：表七：从表中所得数据可以看出，问题二中各个项目的最小投资额在不同的总体风险上线下，最低投资额均大于投资阈值，由此得出，对于总投资额M的假设是合理的。6.2关于平均收益率r，风险损失率q和交易费率p的变化对投资方案的影响分析1. 平均收益率r由模型的构建过程可知，平均收益率对投资方案有一定影响，保持其它参数不变，我们对每一个项目的r都进行一定的变化，得到下表：表八：可以看出，r的变化在小范围内对投资方案的净收益影响不大。2. 风险损失率q保持其它参数不变，我们对每一个项目的q都进行一定的变化，得到下表：表九：可以看出，q的变化对投资

26、方案有一定的影响，并且可以推断，随着q绝对值的增大，对f影响越大。 3. 交易费率p保持其它参数不变，我们对每一个项目的p都进行一定的变化，得到下表：表十：可以看出，p的变化对投资方案的净收益是有一定影响的，p的变化愈大，净收益f变化愈大。七.模型评价与推广此模型是针对总体风险可用所投资的s中最大的一个风险来度量的投资组i合问题的处理方案，而对于通常的投资组合问题，其总体风险并不一定按此度量，其度量方式在专门的书中有所讲述。但对于一般投资者，在某些不太关键的投资中，依然可以采用此模型进行方案的比较和选取。本模型对投资者关于风险的态度有一定的依赖性，因此投资者的风险承受上限在一定程度上决定了最终

27、的方案。模型的应用是在金融市场较稳定的情况下进行的，此时的平均收益率，风险损失率和交易费用变化不是很大，由前面的灵敏度分析可知，在这种情况下模型的决策作用是比较稳定的，有利于投资方案的确定。其次，由于在通常情况下，投资者的投资金额是大于投资阈值的，这一点与模型的建立条件吻合，因此使模型的可用性增强。八 .参考文献1 曾建军，matlab语言与数学建模，安徽大学出版社，2005年。2 肖华勇，实用数学建模与软件应用，西北工业大学出版社，2008年11月。3 牛映武，运筹学，西安交通大学出版社，2006年5月。附录:问题一Lingo程序model:sets:invest/1.5/:x,r,q,p;

28、endsetsdata:r=0.28 0.21 0.23 0.25 0.05;q=0.025 0.015 0.055 0.026 0;p=0.01 0.02 0.045 0.065 0;enddatae=0.0055;max=sum(invest:r*x-p*x);sum(invest:x+p*x)=1;for(invest:q*x<e);end问题一matlab程序%求f与e的关系e=0.1000 0.2000 0.3000 0.3500 0.4000 0.4500 0.5000 0.5500 0.6000 0.6500 0.7000 0.7500 0.8000 0.9000 1.00

29、00 1.5000 2.0000 2.2000 2.5000;f=7.5528 10.1055 12.6583 13.9347 15.2110 16.4874 17.7638 19.0402 20.1908 20.4258 20.6607 20.8957 21.1243 21.5520 21.9020 23.5392 25.1765 25.8314 26.7327;p=polyfit(e,f,4);e1=0:0.05:2.5;f1=polyval(p,e1);plot(e1,f1,'-b');问题二程序：LINGO程序!求解不同e下投资组合model:sets:invest/1

30、.16/:x,r,q,p;endsetsdata:r=0.05 0.096 0.185 0.494 0.239 0.081 0.14 0.407 0.312 0.336 0.368 0.118 0.09 0.35 0.094 0.15;q=0 0.42 0.54 0.60 0.42 0.012 0.39 0.68 0.334 0.533 0.40 0.31 0.055 0.46 190.053 0.23;p=0 0.021 0.032 0.060 0.015 0.076 0.034 0.056 0.031 0.027 0.029 0.051 0.057 0.027 0.045 0.076;en

31、ddatae=0.015 ;max=sum(invest:r*x-p*x);sum(invest:x+p*x)=1;for(invest:q*x<e);end问题二matlab程序%求f与e的关系e=0.5000 1.5000 3.0000 6.0000 10.0000 15.0000 18.0000 20.0000 22.0000 25.0000 30.0000 35.0000 40.0000;f=7.2421 11.7264 18.4529 29.4503 33.5341 34.9592 35.5704 35.8622 36.1539 36.5916 37.3210 38.0028

32、38.6833;p=polyfit(e,f,4);e1=0:0.1:40;f1=polyval(p,e1);plot(e1,f1,'-b');%灵敏度分析matlab程序x1=0.0400 0.0800 0.1200 0.1400 0.1600 0.1800 0.2000 0.2200 0.2400 0.2600 0.2800 0.3000 0.3200 0.3600 0.4000 0.0000 0.8000 0.8800 0.9901;x2=0.0667 0.1333 0.2000 0.2333 0.2667 0.3000 0.3333 0.3667 0.4000 0.433

33、3 0.4667 0.5000 0.5333 0.6000 0.5843 0.6000 0.1882 0.1090 0.0000;x3=0.0182 0.0364 0.0545 0.0636 0.0727 0.0818 0.0909 0.1000 0.1091 0.1182 0.1273 0.1364 0.1271 0.0233 0.0000 0.3863 0.0000 0.0000 0.0000;x4=0.0385 0.0769 0.1154 0.1346 0.1538 0.1731 0.1923 0.2115 0.2212 0.1614 0.1016 0.0418 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000; p=0.01 0.02 0.045 0.065;u=103 198 52 40;for i=1:19m1