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文档简介

1、§2 复合函数与反函数 函数的运算：加、减、乘、除四则运算 复合运算 取反函数的运算。l. 复合函数 例 ， ，变量通过中间变量得到： ，定义2.6 设函数的定义域为，函数的定义域为，且，则是定义在上的函数，称为与的复合函数有时也记为 或。称为中间变量称为外函数，称为内函数。定义中条件保证了确实能给出一个对应法则这时对每一个，都有而是定义在上的函数，因而有唯一的与对应，也就是说有唯一的与对应这样就建立了上的对应法则更一般地，若，仍可得到复合函数，但这时复合函数的定义域不是，而是的一个子集可见并不是任意两个函数都可进行复合而成为复合函数，关键在于它们的复合是否确能给出一个对应法则例如，

2、1+，显然函数的定义域为-1,1，而>1，因此不可能通过复合为函数 例l 设 。 求和。解 f(x)和g(x)的定义域都是(一，+)，所以存在复合函数和又>1当且仅当>，故有 ， 即 ，可见，复合运算一般并不满足交换律，即。2反函数在匀速直线运动中，若已知速度， 则测得时间，可求出路程 ，路程作为时间的函数。 反之测得路程，可求得时间，时间作为路程的函数。自变量与因变量的转化，就是反函数的概念。问题：什么时候存在反函数？函数定义： : ，存在唯一的，使得当，时，在中的对应物不唯一！定义2.7 设是定义在上的函数。如果对值域的每个，都有唯一的，使得，则这样定义的作为的函数，称为的反函数，记为，即 ，如果。反函数存在的条件： ，存在唯一的，使得 ，若，则 若在严格单调则它一定有反函数存在显然，如果函数有反函数存在，那么 ， ， 通常习惯于用表示自变量，用表示因变量 ， 的反函数仍写为 ，它与 ，是同一函数，因为对应法则都是，定义域也都是的值域。 在同一个坐标系下与的图形关于直线对称。例2 函数，的反函数为 ，或 ，。 命题2.2 严格递增(减)的函数必有反函数，且其反函数也是严格递增(减)的。 证明 反函数存在性由定义是显然的。因为 ，若，则

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