新题库--第02节两个记数原理

1、1 两个计数原理 1. 集合 A=1,2, 3, 4, B=a, b, c, d，则从 A 到 B 可建立多少个不同的映射？其中一一映射有多少个？ 解： 从 A 到 B 可建立的映射的个数为： 44=256（个）。从 A 到 B 可建立的一一映射的个数为： 4X3X2X1=24 （个）. 2. 集合 A=1,2, -3, B=-1, -2, 3, 4.现从 A、B 中各取一个元素作为点 P（x,y）的坐标. （ 1）可以得到多少个不同的点？ （ 2）在这些点中，位于第一象限的有几个？ 解：（1）第一类：选 A 中的元素为 x, B 中的元素为 y,有 3X4=12 （个）不同的点；第二类：选

2、A 中的元素为 y, B 中的元素为 x，有 4X3=12 （个）不同的点.不同点的个数为 12+12=24 （个）. （2）第一象限内的点, 即 x, y 必须为正数, 从而只能取 A、 B 中的正数, 同样可分为两类, 同（1）由 分类计数原理得适合题意的不同点的个数为 2X2+2X2=8 （个） 3在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？ 解： 根据题意,将十位数上的数字分别是 1,2,3,4,5,6,7,8 的情况分成 8 类：在每一类中满足题目条件 的两位数分别是 8 个, 7 个, 6 个, 5 个, 4 个, 3 个, 2 个, 1 个。 由分类计数据原理知：符

3、合题意的两位数的个数共有： 8+7+6+5+4+3+2+1=36 个。 4从 1 到 200 的自然数中,有多少个各位数上都不含数字 5 的数？ 解： 一位数中不含数字 5 的数共有 8 个两位数中不含数字 5 的数可分两步来确定：其个位数字除 5 以外,还有 9 种选法,十位数字则还有 8 种选法,根据分步计类原理,可知共有 9X8=72 个不含数字 5 的 两位数 三位数中不含数字 5 的数可分三步来确定：百位数字是 1 时，有 9X9=81 （种），百位数字是 2 时，仅 是 200,即 1 个,有 81+1=82 （个） 因此满足条件的数共有 8+72+82=162 （个） 5.设集合

4、 A=2, 4, 6, 8, B=1, 3, 5, 7, 9 ，今从 A 中取一个数作为十位数字，从 B 中取一个数作为个位 数字,问： （ 1 ）能组成多少个不同的两位数？ （ 2）能组成多少个十位数字小于个位数字的两位数？ 解：（1）要组成两位数,分两步：第一步,确定十位上的数字,共有 4 种取法；第二步,确定个位上 的数字,共有 5 种取法由分步计数原理,所组成的两位数共有 4X5=20 个 （ 2）十位数字小于个位数字的两位数可分为以下几类：第一类：十位数字为 2 时,个位数字有 3、 5、 7、 9 这 4 种选法；第二类：十位数字为 4 时,个位数字有 5、 7、 9 这 3 种选

5、；第三类：十位数字为 6 时, 个位数字有 7、 9 这 2 种选法；第四类：十位数字为 8 时,个位数字有 9 这 1 种选法 由分类计数原理,适合题意的两位数的个数共有 4+3+2+1=10 个 6由 1 , 2, 3, 4 可以组成多少个自然数（数字可以重复,最多只能是四位数）？ 解： 组成的自然数可以分为以下四类：第一类：一位自然数,共有 4 个；第二类：二位自然数,又可 分两步来完成.先取出十位上的数字，再取出个位上的数字，共有 4X4=16 （个）；第三类：三位自然数， 又可分三步来完成每一步都可以从 4 个不同的数字中任取一个，共有 4X4X4=64 （个）；第四类：四位自 然数

6、,又可分为四步来完成每一步都可以从 4 个不同的数字中任取一个,共有 4X4X4X4=256 （个） 由分类计数原理,可以组成的不同自然数的个数为 4+16+64+256=340 个 7 今有一角币 1 张, 2 角币 1 张, 5 角币 1 张, 1 元币 4 张, 5 元币 2 张,用这些币 值任意付款,可以 付出不同数额的款项共多少种？ 解： 用角币可得到币值有 1 角, 2 角, 3 角, 5 角, 6 角, 7 角, 8 角（共 7 种）。用元得到的币值有 1 元, 2 元, 3 元, 4 元, 5 元, 6 元, 7 元, 8 元, 9 元, 10 元, 11 元, 12 元, 1

7、3 元, 14 元（共 14 种） 故所有币值种数为 7+14+7X 14=119 （种）。 8用 0, 1 , 2, 3, 4, 5 可以组成多少个无重复数字的比 2000 大的 4 位偶数？ 解：第一类是以 0 作结尾的比 2000 大的 4 位偶数： 它可以分三步来完成： 第一步选取千位上的数字,2 只有 2 , 3, 4, 5 可供选择，有 4 种选法；第二步选取百位上的数字，除 0 和千位上已选定的这两个数字 外，还有 4个数字可供选择， 有 4 种选法； 第三步选取十位上的数字， 还有 3 种选法.根据分步计数原理， 知这类数的个数有 4MX3 (个). 第二类是以 2 作结尾的比

8、 2000 大的 4 位偶数，它也分三步来完成： 第一步选千位上的数字要除去 2 , 1 , 0,只能有三个数字待选，有 3 种选法第二步选百位上的数字在去掉已定的首、尾两数字后，还有 4 个数字待选，有 4 种选法；第三步选十位上的数字有 3 种选法，则此类数的个数就有 3X4X3 (个). 第三类是以 4 作结尾的，其步骤同第二类. 对三类的结论用分类计数原理得： 4X4X3+3X4X3+3X4X3=120 (个). 9.用 n种不同颜色为下列两块广告牌着色(如图甲、乙) 共边界)的区域不用同一种颜色。 (1 )若 n=6 ,为甲着色时共有多少种不同方法？ (2)若为乙着色时共有 120

9、种不同方法，求 n。 解：完成着色这件事，共分四个步骤，可依次考虑为、 、着色时各自的方法数，再由分步计数原理确定总的着色方法数，因此： (1) 为着色有6 种方法，为着色有 5 种方法，为着色有 4 种方法，为着色也只有 4 种方法。 共有着色方法 6X5X4X4=480 种； (2) 与(1)的区别在于与相邻的区域由两块变成了三块， 同理，不同的着色方法数是 n(n-1)(n-2)(n-3). 由 n(n-1)(n-2)(n-3)=120 ， (n2-3n)(n 2-3n+2)-120=0, 2 2 2 2 即(n -3n) +2(n -3n)-12 X0=0, n -3n-10=0, n

10、=5。 10 .有一个圆被两相交弦分成四块，现在用 5 种不同颜料给四块涂色，要求共边两块颜色互异，每块只涂 一色，共有多少种涂色方法？ 解：如图 1-10-4 所示，分别用 a, b, c, d 记这四块。A 与 c 可同色，也可不同色, 先可考虑给 a、c 两块涂色，分两类： (1 )给 a、c 涂相同颜色共有 C5种涂法，再给 b 涂色有四种涂法，最后给 d 涂色也 有四种涂法。由分步计数原理知，此时共有 c5 X4 X4 种涂法。 (2)给 a、c 涂不同颜色共有 A种涂法，再给 b 涂色有三种方法，最后给 d 涂色也有三种，此时共有 A X3X3 种方法。故由分类计数原理知，共有 C

11、544+A；x 3 3=260 种涂法。 11 .用三只口袋装小球，一只装有 5 个白色小球，一只装有 6 个黑色小球，另一只装有 7 个红色小球，若 每次从中取两个不同颜色的小球，共有多少种不同的取法？ 解：第一类办法：取白球、黑球，共有 5X6=30 种取法；第二类办法：取黑球、红球，共有 6X7=42 种取法；第三类办法：取红球、白球，共有 7X5=35 种取法. 由分类计数原理，共有 30+42+35=107 种不同的取法. 12 .从 1 到 200 的这二百个自然数中，各个位数上都不含数字 8 的共有多少个？ 解：应分三类来解决该问题：第一类：一位数中除 8 以外符合要求的数有 8

12、 个；第二类：二位数中， 十位数除 0、8 以外有 8 种选法，而个位数除 8 以外有 9 种选法，故二位数中符合要求的数有 8X9=72 (个)； 第三类：三位数中： 百位数为 1，十位数和个位数上的数字除 8 以外都有 9 种选法，故三位数中，百 位数为 1的符合要求的数有 9X9=81 (个).百位数为 2的数只有 200这一个符合要求， .三位数中符 合要求的数有 81 + 1=82 (个). 由分类计数原理，符合要求的数字共有 N=8+72+82=162 (个). 13 .在 120 共 20 个整数中任取两个相加，使其和大于 20 的不同取法共有多少种？ ，要求在、四个区域中相邻(

13、有公 a 1-Aq 3 解：分类标准一：固定小加数：小加数为 1 时，大加数只有 20 这 1 种取法；小加数为 2 时，大加数 只有 19 和 20 这 2 种取法；小加数为 3 时，大加数只有 18，19 和 20 这 3 种取法；4 小加数为 10 时，大加数有 11 , 12，20 共 10 种取法；小加数为 11 时，大加数有 9 种取法； 小加数为 19 时，大加数只有 20 这 1 种取法. 由分类计数原理，不同的取法共有： 1+2+3+ 10+9+- +1=100 种. 分类标准二：固定和的值：有和为 21 , 22 ,，39 这几类，依次有取法 10, 9 , 9 , 8,

14、8 ,，2, 2, 1 , 1 种.由分类计数原理得不同的取法种数共有 10+9+9+2+2+1+1=100 种. 14 .在 7 名学生中，有 3 名会下象棋但不会下围棋，有 2 名会下围棋但不会下象棋，另 2 名既会下象棋又 会下围棋。现在从这 7 人中各选 1 人同时分别参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少种不同的选法? 解：选参加象棋比赛的学生有两种选法：在只会下象棋的 中选；选参加围棋比赛的学生也有两种选法：在只会下围棋的 中选。互相搭配，可得四类不同的选法。 从 3 名只会下象棋的学生中选 1 名参加象棋比赛，同时从 赛有选法 3X2=6 （种）; 从 3 名只会下象棋的学生中选 1

15、名参加象棋比赛，同时从 参加围棋比赛有选法 3X2=6 （种）; 从 2 名只会下围棋的学生中选 1 名参加围棋比赛，同时从 参加象棋比赛有选法 2X2=4 （种）； 从 2 名既会下象棋又会下围棋的学生中各选 1 名分别参加象棋比赛和围棋比赛有选法 2X1=2 （种）。 由分类计数原理得共有 18 种不同的选法。 15 .写出 3570 的所有正偶数因数. 解：3570=2X 3X5X7X17,所有的正偶数因数为 2aX3bX5cX7d X17e形式，a 的指数只能取；b、c、d、e 的指数可取 0、1 这两个数，所以共有 2X2X2X2=16 个正偶数因数. 16 .在 120 共 20

16、个整数中任取两个相加，使其和为偶数的不同取法共有多少种？ 10X9 解：第一类：两个偶数相加，由分步计数原理，共有 =45 种不同的取法；第二类：两个奇数相 2 10 7 加，由分步计数原理，共有 =45 种不同的取法. 2 由分类计数原理，共有 45+45=90 种不同取法. 17 .集合 A=a, b, c, B=1,2.问 A 到 B 的不同映射 f 共有多少个？ B 到 A 的不同映射 g 共有多少个? 解：分别以 a, b, c 为原象，确定它们的象，f 共有 2X2X2=8 （个）.同样，g 有 3X3=9 （个）. 18 .用数字 1，2，3 可以写出多少个小于 1000 的正整

17、数？ 解：先分类：分为一位、两位、三位整数，共三类；再分步确定各位上的数字.第一类：一位整数都 适合题意，共有 3 个；第二类：两位整数都适合题意，共有 3X3=9 个；第三类：三位整数都适合题意，共 有 3X3X3=27 个. 此第三个，第四个，第五个正方形各有 4种涂法.由分步计数原理， 所有的涂色方法共有: 5X4X4X4X4=1280 （种） . 20 .三个比赛项目，6 人报名参加. （1） 每人参加一项，有多少种不同的方法？ （2） 每项 1 人且每人至多参加一项，有多少种不同的方法？ （3） 每项 1 人，每人参加的项数不限，有多少种不同的方法？ 3 人中选或在既会下象棋又会下围

18、棋的 2 人 2 人中选或在既会下象棋又会下围棋的 2 人 2 名只会下围棋的学生中选 1 名参加围棋比 2 名既会下象棋又会下围棋的学生中选 1 名 2 名既会下象棋又会下围棋的学生中选 1 名 由分类计数原理，适合题意的正整数的个数为 3+9+27=39 个. 19 .如图 10-1-1 所示，用红、黄、绿、蓝、白 5 种颜色涂这些正方形，让每个正方形涂一种颜色，且相 邻的正方形涂不同的颜色. 方法？ 如果颜色可反复使用, 那么共有多少种不同的涂色 L 解：涂第一个正方形有 5 种方法；由于涂第二个正方形时的颜色应与涂第 一个正方形时的颜色不同, 可知有 4 种不同的涂法；由于颜色可反复使用， 因 團 10-1-1 5 解：（1）每人都可以从 3 个比赛项目中选 1 种，有 3 种方法，6 个人共有 36=729 种不同的方法; （2）每项 1 人，且每人至多 1 项，则第 1 项有 6 种选人方法，第 2 项有 5 种选人方法，第 3 项有 4 种选人方法.由分步计数原理，共有 6X5X4=120 种不同的方法