概率的统计定义、古典概型(内蒙古大学)课件

1、一、频率的定义与性质一、频率的定义与性质二、概率的统计定义二、概率的统计定义三、古典概型三、古典概型第三节第三节 随机事件的概率随机事件的概率四、典型例题四、典型例题).(,. , ,AfAnnAnAnnnAA成成并并记记发发生生的的频频率率称称为为事事件件比比值值生生的的频频数数发发称称为为事事件件发发生生的的次次数数事事件件次次试试验验中中在在这这次次试试验验进进行行了了在在相相同同的的条条件件下下1.1.定义定义1.31.3 一、频率的定义与性质一、频率的定义与性质 频率描述事件发生的频繁程度频率描述事件发生的频繁程度. .事件事件A A发生的频发生的频率是率是A A发生的次数与试验次数

2、的比发生的次数与试验次数的比. .频率大频率大, ,事件事件A A发发生就频繁生就频繁, ,这意味着在一次试验中这意味着在一次试验中A A发生的可能性就发生的可能性就大。大。2.2.性质性质设设 A 是随机试验是随机试验 E 的任一事件的任一事件, 则则A A的频率具有性质的频率具有性质: :; 1)(0) 1 (Afn).()()()(,)3(212121knnnkkAfAfAfAAAfAAA 则则是两两互不相容的事件是两两互不相容的事件若若(2)(2)fn n(S)=1, (S)=1, fn n()=0()=0；实例实例 将一枚硬币抛掷将一枚硬币抛掷 5 次、次、50 次、次、500 次次

3、, 各做各做 7 遍遍, 观察正面出现的次数及频率。观察正面出现的次数及频率。试验试验序号序号5 nHn1 2 3 4 5 6 7231 5 1 2 4Hn50 n22252125241827Hn500 n2512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.540.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502随随n的增大的增大, 频率频率 f 呈现出稳定性；呈现出稳定性；稳定稳定趋向趋向0.50.5。fn n(H)(H)fn n(H)(H)f n n(H)(H)从以上数据可知从以上数据可知

4、(2) 抛硬币次数抛硬币次数 n 较小时较小时, 频率频率 f 的随机波动幅的随机波动幅度较大度较大, 但但随随 n 的增大的增大 , 频率频率 f 呈现出稳定性呈现出稳定性.即即当当 n 逐渐增大时频率逐渐增大时频率 f 总是在总是在 0.5 附近摆动附近摆动, 且且逐渐稳定于逐渐稳定于 0.5.频率频率(事件发生的频繁程度事件发生的频繁程度)有有随机波动性随机波动性,即即对于同样的对于同样的 n, 所得的所得的f 不一定相同不一定相同;实验者实验者德德.摩根摩根蒲丰蒲丰K.皮尔逊皮尔逊K.皮尔逊皮尔逊nHn204810610.5181404020480.50691200060190.501

5、624000120120.5005)(Hf的的增增大大n.21历史上三位学者投硬币试验所得的数据历史上三位学者投硬币试验所得的数据fn n(H)(H)结论结论:当当n n较小时频率波动幅度比较大较小时频率波动幅度比较大, ,当当n n逐渐增大逐渐增大时时, ,频率趋于稳定值，这个稳定值从本质上反映出频率趋于稳定值，这个稳定值从本质上反映出了事件在试验中出现可能性的大小。这个值了事件在试验中出现可能性的大小。这个值, ,就是就是事件事件( (发生发生) )的的概率概率. .二、概率的统计定义二、概率的统计定义在随机试验中在随机试验中, ,若事件若事件A A出现的频率出现的频率m/nm/n随随1.

6、1.定义定义1.41.40( )1;p A(1) 对任一事件对任一事件A A , ,有有性质性质1 1( (概率统计定义的性质概率统计定义的性质) )01p则定义事件则定义事件A A的概率为的概率为p p, ,记作记作P P( (A A)=)=p p. .着试验次数着试验次数n n的增加的增加, ,稳定于某常数稳定于某常数p p, ,(2) p p(S)=1, (S)=1, p p()=0()=0；).()()()(,) 3(212121mmmAPAPAPAAAPAAA个事件对于两两互斥的有限多 概率的统计定义概率的统计定义, ,直观地描述了事件发生的直观地描述了事件发生的可能性大小可能性大小

7、, ,反映了概率的本质内容反映了概率的本质内容, ,但也有不但也有不足足, ,即无法根据此定义计算某事件的概率。即无法根据此定义计算某事件的概率。 如何克服此不足？如何克服此不足？ 性质性质1 1的的(1),(1),称概率的称概率的非负性非负性,(2),(2)称概率的称概率的规范性规范性,(3),(3)称概率的称概率的有限可加性有限可加性。1.古典概型定义古典概型定义三、古典概型三、古典概型( (等可能概型等可能概型) ) 如果一个随机试验如果一个随机试验E具有以下特征：具有以下特征： 1、试验的样本空间中仅含有有限个样本点；、试验的样本空间中仅含有有限个样本点； 2、每个样本点出现的可能性相

8、同。、每个样本点出现的可能性相同。则称该随机试验为则称该随机试验为等可能概型等可能概型. 等可能概型在概率论发展的初期等可能概型在概率论发展的初期,曾经是主要的曾经是主要的研究对象研究对象,所以习惯上就称之为所以习惯上就称之为古典概型古典概型。 设试验设试验 E 的样本空间由的样本空间由n 个样本点构成个样本点构成, A 为为 E 的任意一个事件的任意一个事件,且包含且包含 m 个样本点个样本点, 则事则事件件 A 出现的概率为出现的概率为: 2. 古典概型中事件概率的计算公式古典概型中事件概率的计算公式称此式为称此式为概率的古典定义概率的古典定义。 计算公式的成立是样本空中样本点有限计算公式

9、的成立是样本空中样本点有限、每每个样本点的发生等可能个样本点的发生等可能、概率统计定义的非负性概率统计定义的非负性规范性以及有限可加性的直接结果规范性以及有限可加性的直接结果。p p(A)= =(A)= =nmA A中样本点的个数中样本点的个数S S中样本点的总数中样本点的总数3. 古典概型的基本模型古典概型的基本模型(例例2.2. 摸球模型摸球模型) )(1) 无放回地无放回地摸球摸球( (无放回抽样无放回抽样) )问题问题1 设袋中有设袋中有M个白球和个白球和 N个黑球个黑球, 现从袋中无现从袋中无放回地依次摸出放回地依次摸出m+n个球个球,求所取球恰好含求所取球恰好含m个白球个白球n个黑

10、球的概率个黑球的概率?样本点总数为：样本点总数为：,MNmnA 所包含所包含的样本点个数为：的样本点个数为：( )MNMNP Amnmn故故解：解：设设A=“所取球恰好含所取球恰好含m个白球个白球, ,n个黑球个黑球”，,nNmM。(2) 有放回地有放回地摸球摸球( (有放回抽样有放回抽样) )问题问题2 设袋中有设袋中有4只红球和只红球和6只黑球只黑球,现从袋中有放现从袋中有放回地摸球回地摸球3次次,求求“前前2 次摸到次摸到黑球黑球,第第3 次摸到红球次摸到红球”以及以及“至少至少摸到一只黑球摸到一只黑球”的概率的概率.解解,2第第三三次次摸摸到到红红球球次次摸摸到到黑黑球球前前设设 A第

11、第1 1次摸球次摸球10种种每次摸球每次摸球10种种10种种第第1 1次摸到黑球次摸到黑球66种种前前2次摸到黑球次摸到黑球4种种第第3次摸到红球次摸到红球样本点总数为样本点总数为,101010103 A 所包含所包含样本点的个数为样本点的个数为,466 310466)( AP故故.144. 0 课堂练习课堂练习2o 电话号码问题电话号码问题 在在7位数的电话号码中位数的电话号码中,求各位求各位数字互不相同的概率数字互不相同的概率. 3o 骰子问题骰子问题 掷掷3颗均匀骰子颗均匀骰子,求点数之和为求点数之和为4的的概率概率.)10:(7710Pp 答案.)211121112”3“63:(3，：

12、；答案p设设B=B=至少摸到一只黑球至少摸到一只黑球,则则p p(B)=1- =0.064.(B)=1- =0.064.331041o 将一枚硬币连抛将一枚硬币连抛3次次,求恰有一次出现正面及至少求恰有一次出现正面及至少有一次出现正面的概率有一次出现正面的概率. 答案：答案：3/8；1-1/8=7/8.4.古典概型的基本模型古典概型的基本模型(例例3.3. 放球入盒模型放球入盒模型) )(1) 盒子容量无限盒子容量无限问题问题1 把把 4 个球放到个球放到 3个盒子中去个盒子中去,求第求第1 1、2个个盒子中各有两个球的概率盒子中各有两个球的概率, 其中假设每个盒子可其中假设每个盒子可放任意多

13、个球放任意多个球. 3333 解解: 4球放球放3盒的所有放法数为盒的所有放法数为,333334种种 个个2种种 24个个2种种 22因此第因此第1、2个盒子中各有两个球的概率为个盒子中各有两个球的概率为:432224 p.272 (2) 每个盒子只能放一个球每个盒子只能放一个球问题问题2 把把4个球放到个球放到10个盒子中去个盒子中去,每个盒子只能每个盒子只能放一个球放一个球, 求第求第1 至第至第4个盒子各放一个球的概率个盒子各放一个球的概率. .解解: 第第1至第至第4个盒子各放一个球的概率为个盒子各放一个球的概率为41044ppp 789101234 .2101 5o 生日问题生日问题

14、 某班有某班有20名学生都名学生都是同一年出生的是同一年出生的,求有求有10名学生生名学生生日是日是1 1月月1 1日日,另外另外10名学生生日是名学生生日是12月月31日的概率日的概率. )3! 3:(3答答案案)36510101020:(20 p答答案案课堂练习课堂练习4o 分房问题分房问题 将张三、李四、王五将张三、李四、王五3人等可能地人等可能地分配到分配到3 间房中去间房中去,试求每个房间恰有试求每个房间恰有1人的概率人的概率.解解: 设事件设事件A=A=取到的整数能被取到的整数能被6 6整除整除, , 事件事件B=B=取到的取到的 整数能被整数能被8 8整除整除,则所求概率则所求概

15、率 p p( )= ( )= p( )( ) =1- =1- p(AB)(AB) =1- =1-p(A)(A)+ p(B)(B)-p (AB)(AB) =1-2000/6/2000+2000/8/2000 =1-2000/6/2000+2000/8/2000 -2000/(6,8)/2000 -2000/(6,8)/2000 =1-333/2000-250/2000+83/2000 =1-333/2000-250/2000+83/2000 =3/4. =3/4.四、典型例题四、典型例题例例1 在在1 120002000的整数中随机地取一个数的整数中随机地取一个数. .求取到的整数求取到的整数

16、既不能被既不能被6 6也不能被也不能被8 8整除的概率整除的概率. .BABA在在 N 件产品中抽取件产品中抽取n件件,其中恰有其中恰有k 件次品的取法件次品的取法共有共有,种种 knDNkD于是知所求概率为于是知所求概率为. nNknDNkDp解解: 在在N件产品中抽取件产品中抽取n件的所有可能取法共有件的所有可能取法共有,种nN?)(,件件次次品品的的概概率率是是多多少少问问其其中中恰恰有有件件今今从从中中任任取取件件次次品品其其中中有有件件产产品品设设有有DkknDN 例例2( (超几何分布的概率公式超几何分布的概率公式) )例例3 3 有有n n个人个人, ,每个人都以同样的概率每个人

17、都以同样的概率1/N1/N被分配被分配在在 间房中的每一间中，试求下列各事间房中的每一间中，试求下列各事件的概率：件的概率：)(NnN(1)(1)指定某指定某n n间房中各有一人间房中各有一人 ; ;( (2)2)恰有恰有n n间房间房, ,其中各有一人；其中各有一人； (3)(3)指定某一间房中恰有指定某一间房中恰有 人。人。 )(nmmnN 解解: :先求样本空间中所含样本点的个数：把先求样本空间中所含样本点的个数：把n n个人个人分到分到N N间房中去共有间房中去共有 种分法；然后求每种情形种分法；然后求每种情形下事件所含的样本点个数：下事件所含的样本点个数：(2)(2)恰有恰有n n间

18、房中各有一人，所有可能的分法为间房中各有一人，所有可能的分法为 ：; !nCnN (1) (1)指定某指定某n n间房中各有一人，所含样本点的个数即间房中各有一人，所含样本点的个数即可能的的分法为：可能的的分法为： ; ! n.) 1(mnmnNC(3)(3)指定某一房间中恰有指定某一房间中恰有m m人，可能的分为：人，可能的分为： 于是有下述三种情形下事件的概率于是有下述三种情形下事件的概率: :nNn!(1)(1) （2 2） nnNNnC!(3)(3) .) 1(nmnmnNNC 上述分房问题中上述分房问题中, ,若令若令 则则可演化为生日问题。设全班学生可演化为生日问题。设全班学生30

19、30人，当人，当 230,365,(1)(1)指定某指定某3030天天, ,每位学生生日各占一天的概率；每位学生生日各占一天的概率； (2)(2)全班学生生日各不相同的概率；全班学生生日各不相同的概率； (3)(3)全年某天全年某天, ,恰有二人在这一天同生日的概率。恰有二人在这一天同生日的概率。 在上述条件下，其概率分别为在上述条件下，其概率分别为 : :(1)(1);365!3030 (2)(2);294. 0365/ !303030365C.(365)364(3028230C(3)(3) 由由(2)(2)即知即知, ,全班全班3030人至少有人至少有2 2人生日相同的概率等人生日相同的概

20、率等于于1 10.294=0.706,0.294=0.706,这个值大于这个值大于70%70%。一般地一般地 假设每人的生日假设每人的生日,在一年在一年 365 天中的任一天中的任一天是等可能的天是等可能的 ,即都等于即都等于 1/365 ,求求 64 个人中至少个人中至少有有2人生日相同的概率人生日相同的概率, ,并对这类问题做一般讨论。并对这类问题做一般讨论。 64 个人生日各不相同的概率为个人生日各不相同的概率为641365)164365( 364365 p故故64 个人中至少有个人中至少有2人生日相同的概率为人生日相同的概率为64365)164365( 3643651 p.997. 0

21、 解解:率率为为概概他他们们的的生生日日各各不不相相同同的的个个人人随随机机选选取取,)365( nnnp365)1365(364365 日日相相同同的的概概率率为为个个人人中中至至少少有有两两个个人人生生而而nnnp365)1365(3643651 。例例4 在房间里有在房间里有10个人个人,分别佩戴从分别佩戴从1号到号到10号的号的纪念章纪念章, 从中任选从中任选3个，记录其纪念章的号码：个，记录其纪念章的号码： (1)求最小号码为求最小号码为5的概率的概率; (2)求最大号码为求最大号码为5的概率的概率 。解解: (1)总的选法种数为总的选法种数为,310 n最小号码为最小号码为5的选法

22、种数为的选法种数为 （选定（选定5后后,再再从从6,7,8,9,10中选中选2个）个） ,25 m(2) 最大号码为最大号码为5的选法种数为的选法种数为 (选中选中5后后,再从再从1,2,3,4中选中选2个个),24 故故“最大号码为最大号码为5”的概率为的概率为: 31024P故故“最小号码为最小号码为5”的概率为的概率为: 31025P.121 .201 例例5 将将 4 只不同的球随机地放入只不同的球随机地放入 6 个相异的盒子个相异的盒子中去中去 ,试求每个盒子至多有一只球的概率试求每个盒子至多有一只球的概率.解解: 将将4只不同的球随机地放入只不同的球随机地放入6个相异的盒子个相异的

23、盒子中去中去 , 共有共有64 种放法；种放法；每个盒中至多放一只球共有每个盒中至多放一只球共有 4!=4!= = 种不同放法。种不同放法。3456因而所求的概率为：因而所求的概率为：.18563456345634p.4646p例例6 将将 15 名新生随机地平均分配到三个班级中名新生随机地平均分配到三个班级中去去,这这15名新生中有名新生中有3名是优秀生名是优秀生.问问 (1) 每一个班每一个班级各分配到一名优秀生的概率是多少级各分配到一名优秀生的概率是多少? (2) 3 名名优优秀生分配在同一个班级的概率是多少秀生分配在同一个班级的概率是多少? 解解:15名新生平均分配到三个班级中的分法总

24、数名新生平均分配到三个班级中的分法总数: 55510515.! 5! 5! 5!15 (1) 每一个班级各分配到一名优秀生的分法共有每一个班级各分配到一名优秀生的分法共有.) !() !(种种4441231112134448412因此所求概率为因此所求概率为! 5! 5! 5!15! 4! 4! 4!12! 31 p.9125 (2) 将将3名优秀生分配在同一个班级的分法共有名优秀生分配在同一个班级的分法共有3种种,对于每一种分法对于每一种分法,其余其余12名新生的分法有名新生的分法有.!5!5!2!12种种因此因此3名优秀生分配在同一个班级的分法共有名优秀生分配在同一个班级的分法共有,) !

25、() !(种种552123因此所求概率为因此所求概率为! 5! 5! 5!15! 5! 5! 2!1232 p.916 例例7 某接待站在某一周曾接待过某接待站在某一周曾接待过 12次来访次来访,已知已知所有这所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的次接待都是在周二和周四进行的,问是问是否可以推断接待时间是有规定的。否可以推断接待时间是有规定的。 假设接待站的接待时间没有假设接待站的接待时间没有规定规定,且各来访者在一周的任一天且各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的。中去接待站是等可能的。解解:周一周一周二周二周三周三周四周四周五周五周六周六周日周日.712种种77777 故一周内接待

26、故一周内接待 12 次来访共有次来访共有.212种种121272 p0000003.0 小概率事件小概率事件在实际中在实际中几乎是不可能发生的几乎是不可能发生的(称称实实际推断原理际推断原理) , 从而可知接待时间是有规定的。从而可知接待时间是有规定的。周一周一周二周二周三周三周四周四周五周五周六周六周日周日周二周二周四周四22222 12 次接待都是在周二和周四进行的共有次接待都是在周二和周四进行的共有故故12 次接待都是在周二和周四进行的概率为次接待都是在周二和周四进行的概率为 例例8 8 袋中有袋中有a a只白球只白球,b,b只黑球只黑球. k. k个人依次在袋中个人依次在袋中取一只球取一只球.(1).(1)作有放回抽样；作有放回抽样；(2)(2)作无放回抽样作无放回抽样. 求第求第i(i=1,2,k)i(i=1,2,k)人取到白球人取到白球( (记为事件记为事件B)B)的概的概率率(k(ka+b).a+b). 解解: : (1) (1) p p(B)=a/(a+