空间直角坐标系与向量课件

1、空间直角坐标系与向量空间直角坐标系与向量3.1 3.1 空间直角坐标系空间直角坐标系一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系二、二、 向量的概念向量的概念三、向量的线性运算三、向量的线性运算四、向量在轴上的投影四、向量在轴上的投影五、五、 线性运算的几何意义线性运算的几何意义六、向量的模与方向余弦六、向量的模与方向余弦空间直角坐标系与向量空间直角坐标系与向量xyz做三条互相垂直的数轴做三条互相垂直的数轴, ,组成一个组成一个空间直角坐标系空间直角坐标系. . 坐标原点坐标原点o 坐标轴坐标轴x轴轴( (横轴横轴) )y轴轴( (纵轴纵轴) )z 轴轴( (竖轴竖轴) )过空间一定点过空间一定点 o

2、,o 坐标面坐标面 卦限卦限( (八个八个) )面xoy面yozzox面三条坐标轴符合三条坐标轴符合右手规则右手规则空间直角坐标系与向量空间直角坐标系与向量空间的点空间的点M 11有序数组有序数组(x, y, z)特殊点的表示特殊点的表示:(0,0,0)O原原点点xyzo)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB( ,0, )C xz坐标轴上的点坐标轴上的点P, Q , R,坐标面上的点坐标面上的点A, B, C,),(zyxM. .,的的坐坐标标称称为为点点 Mzyx空间直角坐标系与向量空间直角坐标系与向量空间直角坐标系与向量空间直角坐标系

3、与向量例例 在在O-xyz坐标系中表示以下三个点：坐标系中表示以下三个点： M1(1, 2, 3), M2(-1, 2, 3), M3(1, 2, -3).M1xyzO123.空间直角坐标系与向量空间直角坐标系与向量xyzO2-1M2xyzO12-3M33.M2(-1, 2, 3), M3(1, 2, -3).空间直角坐标系与向量空间直角坐标系与向量 向量向量：既有大小又有方向的量：既有大小又有方向的量.以以A为起点，为起点，B为终点的有向线段为终点的有向线段.向量的模向量的模：向量的大小向量的大小. . 或或|a单位向量单位向量：模为模为1 1的向量的向量. .零向量零向量：模为模为 0 0

4、 的向量的向量. . （模又称为长度或范数）（模又称为长度或范数）.AB向量的表示向量的表示：或或aAB|AB|a0空间直角坐标系与向量空间直角坐标系与向量自由向量：自由向量：不考虑起点位置的向量不考虑起点位置的向量. .相等向量：相等向量：大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量. .负向量：负向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量. .a aba aab 空间直角坐标系与向量空间直角坐标系与向量向径：向径： 空间直角坐标系中任一点空间直角坐标系中任一点 与原点与原点构成的向量构成的向量 OP PxyzoP空间直角坐标系与向量空间直角坐标系与向量1. 1. 向量的分量

5、：向量的分量：把向量把向量 作平行移动，使其起点作平行移动，使其起点与原点重合。与原点重合。 设其终点设其终点A的坐标为的坐标为(a1, a2, a3), 则则称称a1, a2, a3为向量为向量 的的分量分量或或坐标坐标，记为记为 =(a1, a2, a3). aOAaaaxyzoAa1a2a3零向量零向量0(0,0,0) 空间直角坐标系与向量空间直角坐标系与向量2. 2. 向量的线性运算向量的线性运算定义定义 设设 =(a1, a2, a3), =(b1, b2, b3), + 称为称为加法加法， k 称为称为数乘数乘. 加法与数乘统称为加法与数乘统称为线性运算线性运算. - = +（-

6、） = (a1 - b1, a2 - b2, a3 - b3). + = (a1 +b1, a2 +b2, a3+ b3), k =(ka1, ka2, ka3 ). = a1 =b1, a2 =b2, a3=b3. 空间直角坐标系与向量空间直角坐标系与向量3. 3. 线性运算满足的运算规律线性运算满足的运算规律(1) + = + ;(2) ( + ) + = +( + );(3) + 0 = ;(4) +(- ) = 0 ;(5) 1 = ;(6) k(l ) = (kl) ;(7) k( + ) = k +k ;(8) (k+l) = k +l .空间直角坐标系与向量空间直角坐标系与向量例

7、例 化简化简 53215abbba解解 53215abbba5(13)112ab .252ba 532abbba 空间直角坐标系与向量空间直角坐标系与向量4. 4. 基向量与线性表出基向量与线性表出)1 , 0 , 0(),0 , 1 , 0(),0 , 0 , 1( kji单位向量单位向量kji,称为称为基向量基向量.a=(a1, a2, a3)=( (a1, 0,0)+(0)+(0, a2, 0)+(0)+(0, 0, a3)kajaia321 称称a可由可由kji,线性表出线性表出。轴轴上上的的在在称称为为向向量量xaia1分向量分向量。xyzOijk空间直角坐标系与向量空间直角坐标系与

8、向量 1. 空间两向量的夹角的概念：空间两向量的夹角的概念：, 0 a, 0 bb , aa , b 0() 类似地，可定义类似地，可定义向量与一轴向量与一轴的夹角的夹角.特殊地，当两个向量中有一个特殊地，当两个向量中有一个零向量零向量时，规定时，规定它们的它们的夹角可在夹角可在0与与 之间任意取值之间任意取值. ba 空间直角坐标系与向量空间直角坐标系与向量2. 空间一点在轴上的投影空间一点在轴上的投影u AA 过过点点A作作轴轴u的的垂垂直直平平面面，交交点点A 即即为为点点A在在轴轴u上上的的投投影影. 空间直角坐标系与向量空间直角坐标系与向量uoA ABB3. 向量在轴上的投影向量在轴

9、上的投影过空间点过空间点A,B作平面与轴作平面与轴 u垂直，垂直，与轴与轴 u相交于相交于A, B,向量向量 AB 在轴在轴 u上的投影定义为上的投影定义为uPrjAB|AB|, AB与与u同向同向- |AB|, AB与与u反向反向空间直角坐标系与向量空间直角坐标系与向量向量在轴上的投影有以下两个性质：向量在轴上的投影有以下两个性质：u上的投影等于向量的模乘以上的投影等于向量的模乘以(1)(1)向量向量AB在轴在轴轴与向量的夹角的余弦：轴与向量的夹角的余弦：Pr juAB cos| AB uBB u 证证ABjuPr ABju Pr cos|AB B AA 空间直角坐标系与向量空间直角坐标系与

10、向量由性质由性质1 1容易看出：容易看出：投影为负；投影为负；投影为零；投影为零；(4) 相等向量在同一轴上投影相等；相等向量在同一轴上投影相等； 0)1(,2 2)2(, )3(,2 投影为正；投影为正；uabc空间直角坐标系与向量空间直角坐标系与向量(1212Pr)PrPr.uuuj aaj aj a （可推广到有限多个）（可推广到有限多个）空间直角坐标系与向量空间直角坐标系与向量利用勾股定理从图中可得利用勾股定理从图中可得232221|aaak oxyz1a2a3aA在三个坐标轴在三个坐标轴上的投影上的投影.向量向量OA的坐标的坐标a1, a2, a3分别是分别是OA232221aaa

11、|OA|232221)()()(kakaka |kOA|k |OA|空间直角坐标系与向量空间直角坐标系与向量解解pnma 34)853(4kji )742(3kji )45(kji ,15713kji 例例 空间直角坐标系与向量空间直角坐标系与向量所以，所以，OAPB是平行四边形是平行四边形. .则则1111PrabbaBPjOx 2222PrabbaBPjOy 故故经平行移动后可与经平行移动后可与重合重合. .BPOA故故BPOA /同理：同理：OBAP/xyOPABb2b1a2a1a2+b2a1+b1),(),(2121bbOBaaOA 设设OP ),(2211babaOBOA 空间直角坐

12、标系与向量空间直角坐标系与向量1. 1. 平行四边形法则平行四边形法则PAOAAO,OAOBOP OP是以是以OBOA,为边的平行四边形的对角线为边的平行四边形的对角线. .平行四边形法则也可表示为平行四边形法则也可表示为三角形法则三角形法则 : : ,.OA APOBAPPO BA OAOABOBO BBBAO 空间直角坐标系与向量空间直角坐标系与向量),(332211abababOAOBAB 空间直角坐标系与向量空间直角坐标系与向量2. 2. 伸缩变换伸缩变换ab (1) 0,ba与与同向同向；(2) = 0,0 b(3) 0,b与与a反向反向.aa2a21 /,0ba a kk ，使使存

13、存在在唯唯一一的的实实数数bka 空间直角坐标系与向量空间直角坐标系与向量/,0ba a ),(),(321321aaakbbb 对应坐标成比例对应坐标成比例332211ababab 332100abbb 0, 021 bb例如，例如，332211,kabkabkab ),(321kakaka 321,aaa即，即，33(0, 0,),(0, 0,)ba对应坐标是成比例的对应坐标是成比例的注意：注意： kk ，使使存存在在唯唯一一的的实实数数bka 空间直角坐标系与向量空间直角坐标系与向量332210ababb , 01 b再如，再如，(0,1, 2),(0, 4, 8)对应坐标是成比例的对应

14、坐标是成比例的3322abab 空间直角坐标系与向量空间直角坐标系与向量例例 非零向量单位化非零向量单位化. .设向量设向量, 0a,|1aaea 令令则则|1|aaea 1|1 aa.同方向的单位向量同方向的单位向量是与是与 aea空间直角坐标系与向量空间直角坐标系与向量例例 证明：三角形的中位线平行于底边且等于证明：三角形的中位线平行于底边且等于底边的一半底边的一半. .证证 设设DE是中位线，是中位线， DE = DA + AE 21 = BC. = BA + AC 2121 = (BA + AC) 21ABCED空间直角坐标系与向量空间直角坐标系与向量例例 试用向量方法证明：对角线互相

15、平分的四试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形边形必是平行四边形. .证证AMMC BMMD AD AM MDMC BMBC AD与与 平行且相等平行且相等, ,BC结论得证结论得证. .ABCDMab空间直角坐标系与向量空间直角坐标系与向量111(,)xxyyzz222(,),xxyyzz 1xx )(2xx 1yy )(2yy 1zz )(2zz ,121 xxx,121 yyy,121 zzz空间直角坐标系与向量空间直角坐标系与向量内部；内部；位于位于同向，同向，与与21210PPPPPPP, .,外部外部位于位于反向，反向，与与21210PPPPPPP 注注1 ., 1

16、11212121zzzyyyxxx,221xxx ,221yyy .221zzz 空间直角坐标系与向量空间直角坐标系与向量),(zyxOMr 设向量设向量OMr 222zyx 222OROQOP 由勾股定理得由勾股定理得xoyzMNQRPr1.1.向量的模向量的模空间直角坐标系与向量空间直角坐标系与向量xyzo1M 2M 1221M MOMOM 222111(,)(,)xy zxy z 212121(,)xxyy zz 22212212121.M Mxxyyzz空间两点间距离公式空间两点间距离公式空间直角坐标系与向量空间直角坐标系与向量 .21221221yyxxAA 平面两点间距离公式平面两

17、点间距离公式 .21221221221zzyyxxMM 空间两点间距离公式空间两点间距离公式是平面上两点是平面上两点),(),(222111yxAyxA空间直角坐标系与向量空间直角坐标系与向量,221xxx 中点的坐标：中点的坐标：221yyy 中点的坐标：中点的坐标：,221xxx ,221yyy 221zzz 空间直角坐标系与向量空间直角坐标系与向量圆的方程：圆的方程： .22020ryyxx .2202020rzzyyxx 球面的方程：球面的方程：空间直角坐标系与向量空间直角坐标系与向量解解 221MM,14)12()31()47(222 232MM, 6)23()12()75(222

18、213MM, 6)31()23()54(222 32MM,13MM 原结论成立原结论成立. .空间直角坐标系与向量空间直角坐标系与向量解解设设P点坐标为点坐标为),0 , 0 ,(x 1PP 22232 x,112 x 2PP 22211 x, 22 x 1PP,22PP112 x222 x, 1 x所求点为所求点为).0 , 0 , 1(),0 , 0 , 1( 空间直角坐标系与向量空间直角坐标系与向量,0 ,0 .0 xyzo 1M 2M 2、向量的方向余弦、向量的方向余弦非零向量非零向量 与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角. .a, kajaia 空间直

19、角坐标系与向量空间直角坐标系与向量2322211cosaaaa 2322212cosaaaa 2322213cosaaaa cos， cos， cos称为向量称为向量a的方向余弦的方向余弦.由图示可知由图示可知 xyzo 2M 1Ma1 空间直角坐标系与向量空间直角坐标系与向量1coscoscos222 方向余弦的性质方向余弦的性质 aeaa (cos, cos,cos ). 特殊地：特殊地：2322211cosaaaa 2322212cosaaaa 2322213cosaaaa 空间直角坐标系与向量空间直角坐标系与向量解解,3 ,4 ,21cos ,21cos ,22cos .32 空间直角坐标系与向量空间直角坐标系与向量解解设设向向量量21PP的的方方向向角角为为 、 、 ,3 ,4 222coscoscos1, 1cos.2 1cos,2 2cos,2 例例 空间直角坐标系与向量空间直角坐标系与向量设设2P的的坐坐标标为为),(zyx,1cos x |21PP21 x21 , 2 x20 y22 , 2 y23 z, 2, 4 zz2P的的坐坐标标为为).2 , 2, 2(),4 , 2, 2(21 0