考研数学D7考研基础班课件

1、考研数学D7考研基础班第七章一、一、 向量代数向量代数 二、空间曲面与曲线二、空间曲面与曲线空间解析几何与向量代数 三、空间的平面与直线三、空间的平面与直线考研数学D7考研基础班rxiyj zk 1.直角坐标系与向量的坐标直角坐标系与向量的坐标向径向径 11(1)点点 M有序数组有序数组( , , )x y z 11也称为点也称为点 M 的的坐标坐标.,.x y zr （）称称为为向向径径 的的坐坐标标xyzo ( , , )M x y zxP1MyQzRijkr (2)向量的坐标向量的坐标111222(,)(,)M xy zN xy z设设，则则MNONOM222111()x iy jz k

2、xiy jzk 212121()()()xx iyy jzz k (,).xyza a aMN 称称其其为为向向量量的的坐坐标标MN 11(,)xyzaaa212121(,).xx yy zz kajaiazyx , ,xyza i a j a kax y z 分分别别是是 在在轴轴上上的的分分向向量量. .一、向量代数一、向量代数MoNMNON OM 考研数学D7考研基础班22212212121()()() .M Mxxyyzz 距离公式：距离公式：2.模模222|,|(,)xyxzyzaaaaaaaa 设设，则则3.3.向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式(,)xyzaaaa

3、2220 xyzaaa 当当时时，,cos222zyxxaaaa ,cos222zyxyaaaa 222cos.zxyzaaaa oyzxa Mxayaza方向余弦的特征方向余弦的特征:1coscoscos222 aaa 0).cos,cos,(cos ),(aaaaaazyx 4.(,).xyzaaaa 与与同同向向的的单单位位向向量量考研数学D7考研基础班ABjuPr cos| AB 5.投影定理投影定理 )(Pr21aaju 1Praju.Pr2ajuPr()uja Pruj a ajbPr bjaPrcos,aa b ，cos,.ba b Prxxaj a Pryyaj a Przza

4、j a 设设，),(zyxaaaa ，),(zyxbbbb (,), ,xyzxyzaa a aa a aax y z 所所以以，时时，分分别别是是 在在轴轴上上的的投投影影uAB B aaa 0).cos,cos,(cos ),(aaaaaazyx 考研数学D7考研基础班6.线性运算：线性运算：设设),(zyxaaaa ),(zyxbbbb ),(zzyyxxbababa , kajaiazyx , kbjbibzyx bakbajbaibazzyyxx)()()( (,).xyzaaa a 是是一一个个实实数数xxba yyba zzba (,)yzxaaaaeaaa 1.aaea ab

5、;xxyyzzab ab abba 0,a 当当时时ba xxba yyba zzba考研数学D7考研基础班7.向量的数量积向量的数量积8.向量的向量积向量的向量积（结果是一个数量）（结果是一个数量）（结果是一个向量）（结果是一个向量）| |sinabab ，a b | | |cosa b |Prbbj a |Pr.aaj b xxyyzza ba ba b 且符合右手规则且符合右手规则,aba b xyzxyzijkabaaabbb ibbaazyzy xzxzaajbb kbbaayxyx 0 xxyyzza ba ba b zzyyxxbababa ba)2(/0 ba0 baba )1

6、(ab 9.向量位置关系向量位置关系:点积的运算律：点积的运算律：(1) 交换律交换律(2) 结合律结合律( ,) 为为实实数数a bb a ()()()ababa b () ()()()ababa b (3) 分配律分配律()abca cb c 叉积的运算律：叉积的运算律：(2) 分配律分配律(3) 结合律结合律()abca cb c ()()()ababa b (1) a bb a -反交换律反交换律),(zyxaaaa ),(zyxbbbb 考研数学D7考研基础班223( 2)2 2 3 cos34 17 例例1. 已知向量已知向量的夹角的夹角且且解：解：3,4 ,ab |.ab 求求|

7、2,a |3,b 2ab () ()abab a a 2 a b b b 222cosaabb 17ab 2a aa 考研数学D7考研基础班1 ABCD在顶点为在顶点为三角形中三角形中, (1, 1,2),A (1,1,0)B(1,3,1)C 和和的的求求 AC 边上的高边上的高 BD .解：解：( 0,4,3)AC ( 0,2,2 )AB 三角形三角形 ABC 的面积为的面积为 例例2.向量积的几何意义：向量积的几何意义： sinbaba hb ab即：即： 向量积向量积ba 的的模等于模等于以以ba,为邻边的为邻边的平行四边平行四边形的面积形的面积.224( 3)5, |AC12S |AC

8、|BD 1152|BD 2|5BD而而故有故有043022ijk 1|2SAC AB 2221( 2)002 ( 2,0,0) 12考研数学D7考研基础班例例3. ?),0(cbacaba是是否否等等于于问问已已知知 , 0: caba有已知得有已知得 ()0abc 即即 ()abc ? cb不不一一定定等等于于解解:注意：注意：向量的运算与标量的运算是不一样的向量的运算与标量的运算是不一样的,不能随不能随 意的套用意的套用.思考：思考： ?),0(cbacaba是否等于是否等于问问已知已知 /()abc .bc 不不一一定定等等于于()0abc 提示：提示：abba 如如：考研数学D7考研基

9、础班二、空间曲面与曲线二、空间曲面与曲线1.空间曲面空间曲面三元方程三元方程( , )0F xy z 球面球面2222000()()()xxyyzzR 柱面柱面-二元方程二元方程如如,曲面曲面( ,)0F xy 表示母线平行表示母线平行 z 轴的柱面轴的柱面.又如又如,圆柱面，椭圆柱面圆柱面，椭圆柱面, 双曲柱面双曲柱面, 抛物柱面等抛物柱面等 .L222zRxyyxzRo2222Rzyx 考研数学D7考研基础班圆柱面圆柱面222xyR222xyxxzyoxyzo考研数学D7考研基础班xozyxozyyx22 xy 22,2yzxyyx 2yz 考研数学D7考研基础班z0),(22 zyxf.

10、 0),(22 zxyf 旋转曲面旋转曲面( , )00f y zx 2222()za xy 2221azxy 时时，考研数学D7考研基础班xyz222yxz 22zxyxyz考研数学D7考研基础班旋转抛物面旋转抛物面22zxyoyzx222zxy 22zxy xyozxyoz2考研数学D7考研基础班ozyx1) 椭球面椭球面2222221 ( , ,)xyza b cabc 为为正正数数2222xyzpq ( p , q 同号同号)2) 椭圆抛物面椭圆抛物面zxyoxyzo0,0pq 0,0pq 常用的二次曲面及其方程常用的二次曲面及其方程考研数学D7考研基础班或参数方程或参数方程2.空间曲

11、线空间曲线三元方程组三元方程组(, )0F xy z (, )0G xy z ( )xx t ( )yy t ( )zz t 设空间曲线设空间曲线( , , )0( , , )0F x y zG x y z 消去消去 z得投影柱面得投影柱面( , )0,H x y 得得C 在在xoy 面上的投影曲线面上的投影曲线与与xoy 面方程联立面方程联立 求投影曲线求投影曲线消去消去 x 得得C 在在yoz 面上的投影曲线方程面上的投影曲线方程消去消去y 得得C 在在zox 面上的投影曲线方程面上的投影曲线方程( , )0H x y 0z ( , )0R y z 0 x ( , )0T x z 0y 考

12、研数学D7考研基础班例例1. 将下列曲线化为参数方程表示将下列曲线化为参数方程表示:6321) 1 (22zxyx0)2(22222xayxyxaz解解 (1) 根据第一方程引入参数根据第一方程引入参数 , txcostysin)cos26(31tz(2) 将第二方程变形为将第二方程变形为,)(42222aayx故所求为故所求为得所求为得所求为txaacos22tyasin2tazcos2121)20(t)20(t2229(3)xyzyx 考研数学D7考研基础班oyzx22zxy22,1zxyxyz 221,xyxy221.0 xyxyz 例例2.求曲线求曲线绕绕 z 轴旋转的曲面与平面轴旋转

13、的曲面与平面 的交线在的交线在 xoy 平面的投影曲线方程平面的投影曲线方程. 1xyz 解：解：旋转曲面方程为旋转曲面方程为交线为交线为此曲线向此曲线向 xoy 面的投影柱面方程为面的投影柱面方程为 所以所以 此曲线在此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为面上的投影曲线方程为 2zy 0 x ,它与所给平面的它与所给平面的考研数学D7考研基础班zxyo1C如如:所围的立体在所围的立体在 xoy 面上的投影区域为面上的投影区域为:上半球面上半球面和锥面和锥面224zxy 223()zxy 2210 xyz 在在 xoy 面上的投影曲线面上的投影曲线22224:3()zxyCzxy 二者交线二者

14、交线221,0.xyz所围圆域所围圆域:二者交线在二者交线在xoy 面上的投影曲线所围区域面上的投影曲线所围区域 .消去消去 z 得投影柱面得投影柱面221,xy考研数学D7考研基础班空间平面的方程空间平面的方程1)一般式一般式:2)点法式点法式:3)截距式截距式:0AxByCzD 222(0)ABC1xyzabc1. 空间直线与平面的方程空间直线与平面的方程000()()()0A xxB yyC zz 三、空间的平面与直线三、空间的平面与直线000:(,)M xyz点点:( ,)nA B C 法法向向量量xyzon Mxyzoabc0AxByCzD 平面平面 (法向量是法向量是 )( ,)n

15、A B C (0)abc 考研数学D7考研基础班一般式一般式:对称式对称式:参数式参数式:1111222200A xB yC zDA xB yC zD 000 xxmtyyntzzpt 000 xxyyzzmnp222(0)mnp xyzosL0M M 000(,)x y z(, ,)sm n p xyzo1 2 L空间直线的方程空间直线的方程为直线的方向向量为直线的方向向量.0000(,)M xy z为直线上一点为直线上一点; (, ,)sm n p 考研数学D7考研基础班面与面的关系面与面的关系平面平面平面平面2.线面之间的相互关系线面之间的相互关系),( , 0:111111111CBA

16、nDzCyBxA),( , 0:222222222CBAnDzCyBxA21) 1 (0212121CCBBAA21/)2(212121CCBBAA21nn 21/ nn(3)夹角公式夹角公式:1212cosnnnn 两平面的位置关系两平面的位置关系 相交相交平行平行 斜交斜交直交直交重合重合平行但不重合平行但不重合21nn 21/ nn2121cosnnnn 考研数学D7考研基础班,1111111pzznyymxxL：直线直线,2222222pzznyymxxL：线与线的关系线与线的关系直线直线),(1111pnms ),(2222pnms 0212121ppnnmm212121ppnnmm

17、021ss12(1)LL 12(2)/LL021ss21ss 21/ss(3)夹角公式夹角公式:1212cosssss 考研数学D7考研基础班平面平面:面与线间的关系面与线间的关系直线直线:),(, 0CBAnDCzByAx),(,pnmspzznyymxxCpBnAm(1)L (2)L / 0CpBnAm0 ns0nssn /sn(3)夹角公式：夹角公式：sins nsn 线面的位置关系线面的位置关系 相交相交平行平行 斜交斜交直交直交线在面内线在面内平行但不重合平行但不重合/snsins nsn sn sn 且有公共点且有公共点考研数学D7考研基础班3. 相关的几个问题相关的几个问题(1)

18、平面束平面束, 0:11111 DzCyBxA, 0:22222 DzCyBxA0)()(2221111 DzCyBxADzCyBxA 22222:0.A xB yC zD 21, 考研数学D7考研基础班(2)点点的的距离距离为为000AxByCzD 222ABC到平面到平面 ：A x+B y+C z+D = 00000(,)Mxyzd0M1Mn1010PrjnM MndM Mn 1111111(,)0Mxy zAxByCzD 10M Mn 010101()()()A xxB yyC zz 000AxByCzD 2.000222 AxByCzDdABC 考研数学D7考研基础班0000(,)Mx

19、y z到到直线直线的的距离距离111:xxyyzzLmnp 为为(3) 点点d(,)sm n p 1111(,)M x y z0000(,)M x y zL01M Msds ijk 2221mnp 101010 xxyyzz mnp考研数学D7考研基础班 （4）平面）平面 与各坐标平面的夹角与各坐标平面的夹角，实际上实际上是与各是与各坐标轴的夹角坐标轴的夹角. 实际上实际上是是 的法向量的法向量 的三的三个方向角个方向角. n ( ,)nA B C 设设则则222cosBABC 222cosCABC 222cosAABC n xyzo考研数学D7考研基础班234112xyz 例例1. 求直线求

20、直线与平面与平面260 xyz 的交点的交点 . 解解: 化直线方程为参数方程化直线方程为参数方程代入平面方程得代入平面方程得 1t 从而确定交点为从而确定交点为（1，2，2）.2342xtytzt t2(2) (3) (4 2 ) 60ttt 经验：计算线与面，线经验：计算线与面，线与线的交点时，一般用与线的交点时，一般用直线的参数式较简单直线的参数式较简单.考研数学D7考研基础班例例2. 研究以下两平面的位置关系：研究以下两平面的位置关系：1(2, 1,1),n 2( 4,2, 2)n 211422 两平面平行两平面平行1(1,1,0)M所以所以 两平面平行但不重合两平面平行但不重合210

21、,42210 xyzxyz12/nn2(1,1,0)M 又又解解:又如又如直线直线:L.153243 zyx: 10 xyz 平平面面4,3,1s （）1, 1,1n （）0sn sn/L 线在面上吗？线在面上吗？考研数学D7考研基础班 n1ns 例例3. 设一平面平行于已知直线设一平面平行于已知直线 且垂直于已知平面且垂直于已知平面7430,xyz求该平面法线的求该平面法线的的方向余弦的方向余弦.解解: 已知平面的法向量已知平面的法向量求出已知直线的方向向量求出已知直线的方向向量1(7,1, 4)n 201111ijks (1 , 1 , 2) 取所求平面的法向量取所求平面的法向量1nsn112714ijk 2(3, 5,4)3cos,50 54cos, cos5050 所以所以20 xz50 xyz 考研数学D7考研基础班例例4. 求直线求直线1010 xyzxyz 在平面在平面上的投影直线方程上的投影直线方程.解：解：已知直线与已知平面的交点为：已知直线与已知平面的交点为：11(0,)22M11011xyzxyz 0 xyz则过点则过点P与已知平面与已知平面(0,0, 1)P 在在直直线线上上另另取取一一点点，PM垂直的直线方程为垂直的直线方程为1111xyz xy 1yz0 xyz1 12(,)3 33N N 10 xyz10 xyz0 xyz112