刚体定点运动的动力学ppt课件

1、v本章主要引见运用质点系的三大定理处理刚本章主要引见运用质点系的三大定理处理刚体定点运动动力学问题。体定点运动动力学问题。第八章第八章 刚体定点运动的动力学刚体定点运动的动力学v主要内容主要内容: :v 欧拉角欧拉角 欧拉运动学方程欧拉运动学方程v 刚体定点运动的角动量和动能刚体定点运动的角动量和动能 惯量张量惯量张量v 欧拉动力学方程欧拉动力学方程v 欧拉欧拉- -潘索情况潘索情况11.1 11.1 欧拉角欧拉角 欧拉运动学方程欧拉运动学方程一一. . 欧拉角欧拉角 20 ,20,0 , 称为欧拉角称为欧拉角固定坐标系固定坐标系:o固定在刚体上的动固定在刚体上的动坐标系坐标系: .oxyz确

2、定确定z轴的位置轴的位置: 和和L0kk l)(节节线线.,即节线即节线为为面的交线面的交线面与面与ONOOxyL0kk l)(节节线线.,:;,:;,:0kk 自转角速度为自转角速度为自转角自转角章动角速度为章动角速度为章动角章动角进动角速度为进动角速度为进动角进动角kk 0 z z , ,进动章动kk 0L0kk l)(节节线线jiklkk cossinsinsincossincos0 ji sincos 二二. .欧拉运动学方程欧拉运动学方程.OMzOOxy面的交线为面的交线为面与面与 kjizyx 动系中动系中: cossincossincossinsinzyx-欧拉运动学方程欧拉运动

3、学方程11.211.2刚体定点运动的角动量和动能刚体定点运动的角动量和动能 惯量张量惯量张量本节引见刚体作定点运动时具有的动量、角动量、动能本节引见刚体作定点运动时具有的动量、角动量、动能的计算。的计算。cvmP 一一. . 刚体做定点运动时对定点的角动量的计算刚体做定点运动时对定点的角动量的计算 11121()11.2.2nniiiiiiiiniiiiiiiiniiiiiLrm vrrmrrrrmrrr LLiiiirx iy jz kiiiiijk 22111nnnxxiiiyiiiziiiiiiLmyzm x ym x z 22111nnnyxiiiyiiiziiiiiiLm y xmz

4、xm y z 22111nnnzxiiiyiiiziiiiiiLm z xm z ymzy 221nxxiiiiImyz 221nyyiiiiImzx 221nzziiiiImxy1nyzzyiiiiIIm y z 1nzxxziiiiIIm z x 1nxyyxiiiiIIm x y xxxxxyyxzzLIIIyyxxyyyyzzLIII zzxxzyyzzzLIII (11.2.6)性系数性系数合在一起统称为惯合在一起统称为惯惯量积与转动惯量惯量积与转动惯量现对上述结果进展分析：现对上述结果进展分析：1惯性系数决议于刚体质量对坐标系的分布。惯性系惯性系数决议于刚体质量对坐标系的分布。惯性

5、系数也可用积分方式替代数也可用积分方式替代11.2.6式；式；mzyIxxd22mxzIyyd22myxIzzd22mxyIIyxxydmzxIIzxxzdmyzIIzyyzd张量张量I也可写成也可写成并矢方式：并矢方式：zzzyzxyzyyyxxzxyxxIkkI jkIikIkjI j jIi jIkiI j iIi iI 二二. . 惯量张量惯量张量xxxyxzyxyyyzzxzyzzIIIIIIIIII 惯量张量是用来描画刚体惯量张量是用来描画刚体定点转动的惯性的物理量；定点转动的惯性的物理量；而转动惯量是描画刚体定而转动惯量是描画刚体定轴转动的惯性的物理量。轴转动的惯性的物理量。xx

6、xxyxzxyyxyyyzyzzxzyzzzLIIILIIILIII 11.2.6式用矩式用矩阵表示阵表示:LI线性变换关系称为仿射变换线性变换关系称为仿射变换三三. . 惯量主轴惯量主轴000000 xxxyxzxxyxyyyzyyzxzyzzzzIIIIIIIIIIIII 000000 xxxxyyyyzzzzLILILIxxxyyyzzzLIiIjIk使刚体对固定点的惯量张量中一切惯量积为零的坐标系使刚体对固定点的惯量张量中一切惯量积为零的坐标系为该点为该点O点的主轴坐标系。点的主轴坐标系。,xxyyzzIII 为三个主轴的转动惯量(主转动惯量)假设刚体定点运动的角速度沿一主轴方向，那么

7、角动量为假设刚体定点运动的角速度沿一主轴方向，那么角动量为LIL与 平行如何寻觅惯量主轴呢？如何寻觅惯量主轴呢？1对均匀对称的刚体，其对称轴是轴上各点的惯量主轴。对均匀对称的刚体，其对称轴是轴上各点的惯量主轴。分析：某轴分析：某轴(设设x轴轴)要为固定要为固定O点的惯量主轴的必要条件点的惯量主轴的必要条件.xxxxxyyxzzLIIIyyxxyyyyzzLIII zzxxzyyzzzLIII 0,xxyxzxyxzxxxLIiIjIkIILIi则只要得设刚体以角速度设刚体以角速度 绕绕x轴转动轴转动,那么那么 ,根据根据i0:都都为为包包含含该该轴轴的的所所有有惯惯量量积积充充要要条条件件是是

8、一一固固定定点点的的惯惯量量主主轴轴的的所所以以某某轴轴要要为为其其轴轴上上某某假设对称轴为假设对称轴为X轴，刚体上有轴，刚体上有()0( ,)(,)()00,0,iiiiiiiiiiiiiiiiiiyxiiizxiiim y xm yxx y zx y zm z xm zxIm y xIm z x 2刚体的对称面的法线，也是该法线所在轴上刚体的对称面的法线，也是该法线所在轴上各点的惯量主轴各点的惯量主轴证明：证明：3坐标系的两个轴是惯量主轴，那么第三个轴也是坐标系的两个轴是惯量主轴，那么第三个轴也是主轴，此坐标系是主轴坐标系。主轴，此坐标系是主轴坐标系。4以匀质旋转对称刚体的旋转对称轴刚体绕

9、此以匀质旋转对称刚体的旋转对称轴刚体绕此轴转过恣意角度都对称为一轴的坐标系是主轴轴转过恣意角度都对称为一轴的坐标系是主轴坐标系。坐标系。四四. . 刚体做定点运动时的动能刚体做定点运动时的动能 2111111222nnni iiiiiiiiiiTm rm vvm vr 111(11.2.20)22niiiiTrm vLCABABC利用xxxyyyzzzLIiIjIk把式把式代入上式代入上式)(21222zzzyyyxxxIIIT 得主轴坐标系上得主轴坐标系上动能表达式动能表达式:221212121 IILLT 其中其中I为刚体对瞬时轴的转动惯量为刚体对瞬时轴的转动惯量.五五. . 惯量椭球惯量

10、椭球研讨刚体对过定点的一个轴的转动惯量的表达式研讨刚体对过定点的一个轴的转动惯量的表达式.以以刚体固定点为原点建立坐标系刚体固定点为原点建立坐标系Oxyz坐标系，过坐标系，过O点点的的l轴方向余弦为轴方向余弦为),( )()()cos(222222222iiiiiiiiiiiiiiilzyxzyxmlrrmrrmmI 思索到思索到则上式化为则上式化为, 1222 lIlIIIIIIIIlzxyzxyzzyyxxl 222222-如知固定点的惯量张量如知固定点的惯量张量,那么可得过此点的任何轴的转动惯量那么可得过此点的任何轴的转动惯量.我们从几何图象来描画转动惯量随轴方向分布的情况我们从几何图象

11、来描画转动惯量随轴方向分布的情况.在转动轴上取一长为在转动轴上取一长为R的线段的线段OP,令令1.lOPRI那么那么P点的坐标将是点的坐标将是 RzRyRx ,代入式代入式 zxyzxyzzyyxxlIIIIIII222222 得得P点的轨迹是点的轨迹是:1)1(22222222 lllzxyzxyzzyyxxIIIRzxIyzIxyIzIyIxI-椭球面椭球面,反映了转动惯量的分布情况反映了转动惯量的分布情况,又称惯量椭球又称惯量椭球.几点阐明几点阐明:1)对刚体不同固定点对刚体不同固定点,有不同的惯量椭球有不同的惯量椭球,它属于刚体中它属于刚体中某一点某一点.2)惯量椭球的惯量椭球的3个对

12、称轴是固定点的个对称轴是固定点的3 个相互垂直的主轴个相互垂直的主轴,假设假设 ,那么惯量椭球是个旋转椭球那么惯量椭球是个旋转椭球;如如 ,那么惯量椭球为圆球那么惯量椭球为圆球.yyxxII zzyyxxIII 3)利用惯量椭球可知刚体对固定点的角动量利用惯量椭球可知刚体对固定点的角动量L的方向是的方向是沿过椭球面角速度矢量沿过椭球面角速度矢量 与惯量椭球相交点与惯量椭球相交点P点的法线点的法线方向上方向上.(证明见书证明见书P303) 例题例题1: 一匀质薄圆盘能绕其中心一匀质薄圆盘能绕其中心O点做定点转动点做定点转动,其质其质量为量为m,半径为半径为R,知英雄模范瞬时圆环绕壶中心与盘知英雄

13、模范瞬时圆环绕壶中心与盘面成面成 角的轴以角速度角的轴以角速度 转动转动,试求此时圆盘对中心的试求此时圆盘对中心的角动量和圆盘的动能角动量和圆盘的动能,以及圆盘对此轴的转动惯量以及圆盘对此轴的转动惯量. 30解解: 建立过建立过O点的主轴坐标系点的主轴坐标系,依题意有依题意有: 60cos, 0,30cos21,4122 zyxzzyyxxmRImRII圆盘对圆盘对O点的角动量为点的角动量为:kmRimRkmRimRkIjIiILzzzyyyxxx 2222418360cos2130cos41 z圆盘的动能为圆盘的动能为:22222222216521)81163(21)(21 mRmRmRII

14、ITzzzyyyxxx 22165:21mRIITl 相相比比较较可可得得与与式式 2222222222216541214341)60(cos)30(cos:222mRmRmRIIIIIIIIIIIIIzzxxzzyyxxlzxyzxyzzyyxxl 得得也也可可据据式式11.3 11.3 欧拉动力学方程欧拉动力学方程一一. . 欧拉动力学方程欧拉动力学方程我们采用刚体固定点的主轴坐标系我们采用刚体固定点的主轴坐标系Oxyz,并与刚体固并与刚体固连连,那么刚体对定点的角动量为那么刚体对定点的角动量为:xxyyzzLIiIjIk采用动坐标系，角动量定理为：采用动坐标系，角动量定理为：kdtdIj

15、dtdIidtdIdtLdMLdtLddtLdzzyyxx 而而,)()()(kIIjIIiIILyxyxxzxzzyzy kdtdIjdtdIidtdIdtLdMLdtLddtLdzzyyxx 而而)2 . 3 .11(,所以所以11.3.2)式的投影方程为式的投影方程为: zyxyxzzyxzxzyyxzyzyxxMIIdydIMIIdydIMIIdydI 欧勒动力学方程欧勒动力学方程思索为何这里采用动坐思索为何这里采用动坐标系标系, ,没思索惯性力没思索惯性力? ?结合欧拉运动学方程结合欧拉运动学方程 cossincossincossinsinzyx来求解刚体定点运动问题来求解刚体定点运

16、动问题,但这两个方程组求解困难但这两个方程组求解困难,到目前为止到目前为止,只需在以下三种情况才得到解析解只需在以下三种情况才得到解析解. 欧勒欧勒潘索情况潘索情况: 刚体不受外力矩作用的定点运动刚体不受外力矩作用的定点运动. 2. 拉格朗日拉格朗日泊松情况泊松情况: 即陀螺在重力场中的运动，即陀螺在重力场中的运动，要求对固定点要求对固定点O所作的惯量椭球是一旋转椭球所作的惯量椭球是一旋转椭球, 亦即亦即3个主转动惯量中有两个相等，个主转动惯量中有两个相等，Ix=Iy , 重心那重心那么位于动力对称轴上但不与固定点重合么位于动力对称轴上但不与固定点重合. 回转仪回转仪.3. C.B.柯凡律夫斯

17、卡雅情况柯凡律夫斯卡雅情况: 在这一情况下，在这一情况下，IxIy2Iz, 而重心那么在而重心那么在Oxy平面上平面上. 这也是一种对称陀螺这也是一种对称陀螺.zI 二二. .直接用角动量定理和质心运动定理外理比较直接用角动量定理和质心运动定理外理比较简单的定点运动问题简单的定点运动问题知刚体的运动，求作用在刚体上的约束力。知刚体的运动，求作用在刚体上的约束力。例例1 一个均质圆盘一个均质圆盘, 由于安装不善由于安装不善, 涡轮转动轴与盘面法涡轮转动轴与盘面法线成交角线成交角. 圆盘质量为圆盘质量为m,半径半径r, 中心中心O在转轴上在转轴上, O至两至两轴承轴承A与与B的间隔均为的间隔均为a

18、. 设轴以角速度设轴以角速度 转动转动, 试求轴承试求轴承上的压力上的压力 解：以圆盘和转轴为系统，建立圆盘中心解：以圆盘和转轴为系统，建立圆盘中心O点的主轴坐点的主轴坐标系标系 ；为分解约束力再建；为分解约束力再建 zyxO Oxyz对对Z轴角动量知，轴角动量知， 常常量量 kjkMdydIMIIdydIzzzyxyxzz cossin03zk 圆盘对圆盘对O点的角动量为点的角动量为kmrjmrkIjILzzzyyy cos21sin4122MimrimrmrLdtLddtLd 2sin81cossin)4121(022222上式在上式在X，Y方向的投影为：方向的投影为： )5()(0)4)(2sin8122NAxNBxNByNAyFFaFFamr 质心运动定理为：质心运动定理为： mgFmgFFFFFzyxFdtvdmNAzNAzNByNAyNBxNAxec0)7(0)6(0,)(方向投影得方向投影得它在它在由由4-7得：得： 2sin161022mraFFFFNByNAyNBxNAx 由上式可