黄金分割比及其应用

1、摄影作品摄影作品课题：课题：黄金分割及其应用黄金分割及其应用 授课人：戚叶飞授课人：戚叶飞引入：引入：欧洲中世纪的物理学家欧洲中世纪的物理学家.天文学家开普勒曾天文学家开普勒曾经说过：经说过：“几何学里有两个宝库：一个是几何学里有两个宝库：一个是毕达哥拉斯定理（勾股定理），另外一个毕达哥拉斯定理（勾股定理），另外一个就是黄金分割。前者可比喻为金矿，而后就是黄金分割。前者可比喻为金矿，而后者可比喻为珍贵的钻石矿者可比喻为珍贵的钻石矿”德国数学家阿德国数学家阿道夫道夫.蔡辛也曾断言：宇宙万物，凡是符蔡辛也曾断言：宇宙万物，凡是符合黄金分割的，总是最美丽的形体，黄金合黄金分割的，总是最美丽的形体，黄

2、金分割是解开自然美和艺术美奥妙的关键分割是解开自然美和艺术美奥妙的关键.黄金分割作为一种数学的比例关系，它所黄金分割作为一种数学的比例关系，它所蕴含的价值如此受到重视，也启示着人们蕴含的价值如此受到重视，也启示着人们在生活的方方面面去揭示奥秘，并广泛应在生活的方方面面去揭示奥秘，并广泛应用！用！思考思考问题问题1 ：古希腊数学家、天文学家欧多克索斯（约古希腊数学家、天文学家欧多克索斯（约400400约前约前347347）曾经提出一个问题：能否将一条线段）曾经提出一个问题：能否将一条线段AB分成分成不相等的两部分，使较短线段不相等的两部分，使较短线段CB 与较长线段与较长线段AC的比等的比等于线

3、段于线段AC与原线段与原线段AB的比？的比？即，即， 使得使得CBACACAB成立？成立？解析解决方法：解决方法：先把问题特殊化，先把问题特殊化， 设线段设线段AB的长度为个单位，的长度为个单位， 点点C为线段为线段AB上一点，且上一点，且AC的长度为的长度为x个单位，则个单位，则CB的长度的长度为（为（ x ）个单位）个单位CBACACAB由等式由等式，得，得11xxx解得解得 （舍去）（舍去）. .1512x2512x因此因此510.618.2ABAC（52.236）小知识小结：小结：借助方程的知识，我们知道在一个单位长度的线段上借助方程的知识，我们知道在一个单位长度的线段上存在一点将其分

4、成不相等的两部分，其中较短的线段与较长存在一点将其分成不相等的两部分，其中较短的线段与较长的线段的比等于较长线段与原线段的比，的线段的比等于较长线段与原线段的比，而且比值等于而且比值等于 .510.6182 问题问题2：对于任意长度的线段是否存在一点将其分成不相等对于任意长度的线段是否存在一点将其分成不相等的两部分，其中较短的线段与较长的线段的比等于较长线的两部分，其中较短的线段与较长的线段的比等于较长线段与原线段的比吗？段与原线段的比吗？探究探究如果能的话，这个比值会是如果能的话，这个比值会是 吗？吗？510.6182解决方法：解决方法：参考特殊方法，把特殊值参考特殊方法，把特殊值1变成任意

5、值变成任意值a 。动脑筋动脑筋设线段设线段AB 的长度为的长度为a 个单位，点个单位，点C为线段为线段AB 上一点，且上一点，且AC的的长度为长度为x个单位，则个单位，则CB的长度为（的长度为（ax ）个单位）个单位CBACACAB由等式由等式，得，得axxxa618. 02151axABAC因此因此， . . 解得解得 （舍去舍去）. .25,2521aaxaax小知识小结：小结：借助方程的知识，我们知道在任意长度的线段上也存在借助方程的知识，我们知道在任意长度的线段上也存在一点将其分成不相等的两部分，其中较短的线段与较长的线段一点将其分成不相等的两部分，其中较短的线段与较长的线段的比等于较

6、长线段与原线段的比，的比等于较长线段与原线段的比，而且比值也等于而且比值也等于510.6182结论结论定义定义3 3：如果能将一条线段：如果能将一条线段AB分成不相等的两部分成不相等的两部分，使较短线段分，使较短线段CB与较长线段与较长线段AC的比等于线段的比等于线段AC与原线段与原线段AB的比，那么称的比，那么称线段线段AB被点被点黄金黄金分割分割（ ），点），点叫作线段叫作线段AB的的黄金分割点黄金分割点， 较长线段较长线段AC与原线与原线段段AB的比叫作的比叫作黄金分割比黄金分割比欣赏：欣赏：我们知道我们知道黄金分割比黄金分割比是个确定数是个确定数 ，这个数可是，这个数可是 享誉全世界的

7、，因为比值是它的线段享誉全世界的，因为比值是它的线段 围成的图形是最美丽的图形围成的图形是最美丽的图形. .510.6182小知识例题例题1:1:明年黄土中学将主办文艺明年黄土中学将主办文艺晚会，节目主持人晚会，节目主持人站在舞台的黄站在舞台的黄金分割点处可获得最佳美学效果金分割点处可获得最佳美学效果， 如果舞台如果舞台ABAB长为长为20m20m，请你设计，请你设计主持人站在离主持人站在离A A点多远处可获得点多远处可获得最佳美学效果？（结果精确到最佳美学效果？（结果精确到0.1m0.1m）解：设解：设AB的黄金分割点为的黄金分割点为C C，则，则AC 0.618AB或或BC 0.618AB

8、, , 解得解得AC=12.36 12.4m或或AC=7.64 7.6m .答：所以主持人站在离答：所以主持人站在离A点约为点约为12.4m12.4m或或7.6m处可获得最佳美学效果处可获得最佳美学效果. . 例题2美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感如图，某女士身高为165 cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为( )A4 cm B6 cmC8 cm D10 cmC小知识古希腊的古希腊的巴台农神庙巴台农神庙正面高度与底部宽度之正面高度与底部宽度之比约为比约为黄金分割比黄金分割比. .小知识印度泰姬陵印度泰姬陵正面高度与底部宽度之比约正面高度与底部宽度之比约为为黄金分割比黄金分割比. .小知识意大利著名画家意大利著名画家达达芬奇的名作芬奇的名作蒙娜丽莎蒙娜丽莎中，中， 人物的脸的宽度与高度的比就是一个人物的脸的宽度与高度的比就是一个黄金分割比黄金分割比课堂小结与复课堂小结与复习习请问同学们这节课你学习了关于线段的什么知识？请问同学们这节课你学习了关于线段的什么知识？线段之间的一种特殊数量关系：黄金分割比例线段之间的一种特