导数中含参数问题与恒成立问题的解题技巧2

1、精品文档函数、导数中含参数问题与恒成立问题的解题技巧与方法含参数问题及恒成立问题方法小结：1分类讨论思想 2、判别法 3、分离参数法 4 、构造新函数法一、分离讨论思想：例题1：讨论下列函数单调性：1 f x =ax a, a 0, a 1 ;2、bx / , .c、x =( 1 x 1,b 0)x 1、判别法例2：已知不等式(a 2)x22(a 2)x 40对于xR恒成立，求参数 a的取值范围.解：要使(a 2)x22(a2)x 40对于xR恒成立，则只须满足:a 2 04(a 2)2 16(a 2)0 或a 20(2)2(a 2) 040解(1 )得 a 2，解(2) a = 22 a 2

2、参数a的取值范围是一2v a 2.练习1.已知函数y lgx2(a 1)x a2的定义域为R,求实数a的取值范围。三、分离法参数：分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过分离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、 函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题.即：(1) /”对任意x者E成立m f x min (2) “对任意x都成立 dT Wz例3.已知函数f(x) ax . 4x x2

3、 ,x (0,4时f (x) 0恒成立，求实数a的取值范围。精品文档解：将问题转化为a4x x2x(0,4恒成立，令g(x)4x x2x，则a g(x)min 由 g(x)4x x2x41可知g(x)在(0,4上为减函数，故xg(x) min g(4)0 a 0即 a 的取值范围为(，0)。注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。x 2x a例4已知函数f(x),x 1,)，若对任意x 1,) , f (x) 0恒成立,x求实数a的取值范围。(答案a3)例题5.已知函数f x ln x ,1 ax2 bx ,20 . 若b 2，且f x g x存在单调递减区间,a的取值范围;解

4、：当b1 22时，h(x) ln x -ax2 2x .,2则 h(x)ax 2 x2ax 2x 1x因为函数h x存在单调递减区间，所以h(x) 0有解.由题设可知，h x的定义域是0,0在0, 上有解,就等价h x0于在区间0,能成立,12x x0, 成立，进而等价于a Umin x成立,其中u21/口11 得，U min X1 .于是，ax1,由题设a 0,所以a的取值范围是1,00,已知 f(x) 2x ax 2a 在1,2xa ax 2 ,)上是单调递增函数，求a的取值范围.解 T f(X) xf (x)1 A.又 f (x)在1,x)上是单调递增函数, f (x)0.于是可得不等式

5、22x对于x 1恒成立. a ( x )max .由x得x2精品文档四、构造法：利用导数解决不等式问题，实质上是转化为构造函数，利用导数研究函数的单调性，转化的思路一般如下：f(x) g(x)? F(x) = f(x) g(x) 0? F(x)min 0,f(x) g(x) ? F(x) = f (x) g(x) 0? F(x)max 0. 例题 7 设 f x =1 n x, g(x) f x + f(x)。1(1 )求g(x)的单调区间和最小值；(2)讨论g(x)和g(_)的大小；(3)求a的取值范围,x1使得g(a) g(x) ,对任意的x 0成立。a例题&求证：当x 0时，x ln(1 x)例题7:答案：(1)减区间：(0,1)；增区间