小题提速练(七)

1、解析：选D.解法一：由a 满足 2cos 2a= COS 于+贝U sin 2 a=(B .D .2cos 2 a= COSsin2sin n + 2a = cos 訐 a ,n+ 2丿c .21 + 2sin11 +1解法二： 由 2cos 2 a= cos 4+ a 可得,2(cos a sin a)(cos a+ sin a =一 2二 2 (cos a sin a.因n+a=1 ,sin 2 a=cosg,故选D.小题提速练(七)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.)1. 已知集合 A= 2, 0, 2, B = x|x

2、2+ x 2 = 0，贝V AU B=()A . ?B . 2C. 0， 1, 2D 2, 0, 1 , 2解析：选 D.由 x2+ x 2= 0,解得 x= 2 或 1,所以 B= 2, 1 , AU B= 2, 0, 1,2，故选D.2. 设i是虚数单位，z是复数z的共轭复数，若(1 + i)z= 2,则Zl=()A . 1B . - 2C. 2D . 2 .22解析：选B.由(1 + i)z= 2得z=1 i,1 + i z= 1 + i , zi= |z|=, 2,故选B.3.设a , b表示不冋的直线，a3 ,丫表示不冋的平面，则下列命题正确的是()A .若a丄a,且a丄b,贝U b

3、 /aB .若 Y-L a,且Y丄 3,贝9 all 3C.若丫/a,且丫/3 ,贝U all3D .若 a / a,且 a / 3,贝y all 3解析：选C.若a丄a,且a丄b，则b /a或b? a,故A不对；若r丄a,且r丄贝Ua/3或a, 3相交，故B不对；若a /a,且a/ 3贝y a/3或a, 3相交，故D不对；根据平面平行的传递性可知，C对.故选C.4. 已知角1a87C.8为 cosf+ a 所以 cos a sin aQ 所以 cos a+ sin a=42，将此式两边平方得1 + sin 2 a17=3，所以 sin 2 a=r，故选 D.885. 已知函数 f(x) =

4、x X，若 a= f(log26), b = ffogzf , c= f(30.5)，则 a, b, c 的大小 关系为()A. cv b v aB . bv av cC. cv a v bD . av bv c1解析：选A.因为f(x) = x -，所以f(x)为奇函数，且在(0, + a上是增函数，Xlog22 = f log2且 Iog26 > Iog2|> 2> 30.5，结合函数f(x)的单调性可知a> b> c,故选A.6.一个四面体的三视图为三个如图所示的全等的等腰直角三角形，且直角边长都等于1,则该四面体的表面积是()A. 23+ ,3B . 2C

5、. 3+ ,33+ 2 3D. 2解析：选B.由三视图可知，该几何体是一个底面为直角边长为1的等腰直角三角形,直线顶点处的棱垂直于底面且长为1的三棱锥，即三条棱都等于1且两两垂直相交于一点的三棱锥，所以四个面中有三个为全等的等腰直角三角形，第四个面为边长等于.2的正三角1f3l 2 3+V3形，所以该四面体的表面积等于3弓& +眷汕近厂二一，故选B.7.已知 am = 2, an= 3(a>0, a 1)贝V loga12=()2mA. B . 2mnnC. 2m + nD . m + n解析：选 C.解法一：由 am= 2, an= 3,U Ioga2= m, loga3 =

6、n,所以 loga12= loga(4 >3)2=loga2 + loga3 = 2loga2 + loga3 = 2m + n.故选 C.解法二：由 a" = 2, a = 3可知，= 12,即 a?"+°= 12, loga12= logam + n= 2m+ n.故选C.&已知 f(x)= x5+ ax3+ bx+ 1，且 f( 1)= 8,则 f(1)=()C. 8解析：选B.令g(x) = x5 + ax3+ bx,易知g(x)是R上的奇函数,-g(-1) = -g(i)，又 f(x)= g(x)+1, f(-1)= g(-1) +1, g

7、( 1) = 7, g(1) = - 7, f(1)= g(1) + 1 = - 7 + 1 = -6故选 B.9.设变量x, y满足约束条件|6x+ 5y< 60,5x+ 3yw 40,则目标函数x>0, y>0,巳的取值范围为()A . (a, 2) U (2,+ s)B . 1, 1C. (- s,- 1 U 1 , + s )D . (-2, 2)解析：选C.作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示,y + 4z=表示可行域内的x 4点与点(4, - 4)连线的斜率，易求得临界位置的斜率为一1, 1 ,由图易知z的取值范围是(一s,- 1 U 1 ,+ s10.某种

8、最新智能手机市场价为每台6 000元，若一次采购数量 x达到某数值，还可享受折扣.如图为某位采购商根据折扣情况设计的算法的程序框图，若输出的y = 513 000 元,则该采购商一次采购该智能手机的台数为A. 8085C. 90100解析：选C.依题意可得6 000x, x< 80,y=6 000 0：.95x, 80vxw 120,6 000 0C.85x, x> 120.当 6 000x= 513 000 时，解得 x= 85.5，不合题意，舍去；当 6 000)0.95x= 513 000 时, 解得x= 90;当6 000)0.85x = 513 000时，解得x 100.

9、6不合题意，舍去.故该采购商一次采购该智能手机90台故选C.11. 已知三棱锥 P-ABC中，AB= BC, AB丄BC,点P在底面 ABC上的射影为 AC的9中点，若该三棱锥的体积为2,那么当该三棱锥的外接球体积最小时，该三棱锥的高为()C. 2 3解析：选D.设三棱锥P-ABC外接球的球心为 O, ABC的外接圆圆 心为Oi，又AB丄BC,所以Oi为AC的中点.连接 POi, 点P在底面 ABC上的射影为 AC的中点， PO1丄平面ABC. P, O, Oi三点共线.连接 OB , OiB，如图由已知三棱锥 P-ABC的底面 ABC为等腰直角三角形，设 AB= a,三棱锥高POi= h,

10、三棱锥P-ABC的体积V1 1 292272222+ (h R)2,2 | 22h + a = h 274h = 2 + Jh* 2 *43由球o的体积v球=§nR知，当R最小时，其外接球体积最小，由=3电a h = 2，即卩 a = ，设 OB= R,又 OB = BOi + OOi, - R =2 2 2(ai + a2)+( ai a2) 4c2 (ai + a2)( ai a2)2 2fi、2整理得4c2= 3a2+ a2,即3啓+簣4，即3匕丿+=4，则0v eiv i, ,由e2> i+ 4+ 4孑J,当且仅当h = 4= 4孑，即h= 3时取等号，因而三棱锥P-A

11、BC的高为3时，外接球体积最小，故选D.i2.已知Fi, F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且/ FiPF2=牛则椭圆和双曲线的离心率之积的范围是()A . (i,+ a)B . (0, i)C. (0,2)D. ( 2, +a)2 2解析：选A.解法一：不妨设椭圆：X2 + y2= i(ai>bi>0),离心率为ei,半焦距为c,满 ai bi足 c$在厶FiPF2中，由余弦定理可得 = a? b2；22双曲线：乍一y2= i(a2>0, b2>0)，离心率为e2,半焦距为c,满足c2 = a2 + b；不妨设P a2 b2是它们在第一象限的公共点，

12、点Fi, F2分别为它们的左、右焦点，则由椭圆与双曲线的定|PFi|+ |PF2|= 2ai,义得：？ljPFi| |PF2|= 2a2+ I得,4，+ 彳 (0,1), e1e2 (1, + m),即eie2的取值范围为(1,解法二：不妨设椭圆2 2双曲线 a2_ b2= 1(a2> 0,2 22 + 2= 1(a1>b1>0)，离心率为 e1，半焦距为 c,满足 c= a1 b2;a1b1 b2>0)，离心率为e2,半焦距为c,满足c2= a2 + b2,不妨设P是它们在第一象限的公共点，点F1, F2分别为它们的左、右焦点，|PF1= m, |PF2= n,则m&

13、gt;n>0,在 F1PF2中，由余弦定理可得m2+ n2+ mn = 4c2，则由椭圆与双曲线的定义得m+ n=2a1, . 1 1a1a2 =2e1 e2cm n = 2a2,m2 n24c2m2 n2m2 + n2+ mnm2 + n2+mn(2n2+mn)m2 + n2+ mn人丄 m 小令 t= m +2,则 t > 3,m2+ n 十 + m + 1, n nt函数 f(t) = 1 一1在(3 ,t+ 3 3+ R上单调递增,3), (2, 4)，(2，5)，(3，4)，(3, 5)，(4，5)，共10个，其中2张卡片上的数字之积是偶数 的基本事件有(1，2)，(1，

14、4)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(4，5)，共 7 个，所以取出 的2张卡片上的数字之积是偶数的概率P =君.答案：召15. 已知函数f(x)= sin( »+妨(3>0, Ov X n的最小正周期为 n,将函数f(x)的图象向 左平移个单位长度后，所得图象关于直线x=- 对称，则f(x) =.解析：解法一：由函数f(x)的最小正周期为n可知3= 2，将f(x)= sin(2x+妨的图象向左平移6个单位长度后得到g(x) = sin 2x +扌+ 0的图象，又g(x) = sin 2x+ 3 + 0的图象关于直线x= 对称，所以2X 3 + 3+ 0= k

15、 n+寸,k Z , 所以 0= kn+ 5, k Z.因为 0v 0v n 所以 0=尹，所以 f(x) = sin 2x+.解法二：由函数f(x)的最小正周期为n可知3= 2，将f(x) = sin(2x+ 0)的图象向左平移g个单位长度后得到g(x) = sin 2x +扌+ 0的图象，又g(x) = singx +扌+ 0丿的图象关于直线x=扌对称，所以g(-g= g(齐即即sin 0= (2 n5 n(5 nx'isin(0亍因为 0v 0v n,所以 0= 6, f(x)= singx+石丿.答案：sin 2x+节2 216. 已知点M ( 4, 0)，椭圆丁 + by2=

16、 1(0 v bv 2)的左焦点为F，过F作直线1(1的斜率存在)交椭圆于A, B两点若直线 MF恰好平分/ AMB，则椭圆的离心率为 .解析：如图，作点B关于x轴的对称点C,则点C在直线AM上设I: y= k(x+ c),y = k (x+ c)A(X1,y1) , B(x2, y2),联立得消去 y 得(4k2 + b2)x2 + 8k2cx+ 4k2c2 4b2 = 0,IMAI |MB|X1 + 4x2+ 42 2 2 28k2c4k2c2 4b2则 X1 + X2 = 22 , X1x2 =2 厂，由角平分线的性质定理知4k + b4k + bX1 + c2(*),可得 2X1X2+ (4 + c)(X1 + X2)+ 8c= 0,故 8b (c 1) = 0,所以 c= 1,故离心率 e=X2 c12.答案：1|PF 11= ai + a2,|PF2|= ai a2,t 3t+ 31 1 (0 , 1)，即e1e2的取值范围为(1,+ g). e1 e2二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分.)13. 设向量 a= (1, 2m), b= (m+ 1, 1)