第四章复级数ppt课件

1、第四章第四章 级数级数本章主要内容本章主要内容复数项级数收敛的定义及其性质复数项级数收敛的定义及其性质复数项级数收敛的定义及其性质复数项级数收敛的定义及其性质复变数项幂级数收敛的定义及其性质复变数项幂级数收敛的定义及其性质复变函数展开成泰勒级数复变函数展开成泰勒级数* *复变函数展开成罗朗级数复变函数展开成罗朗级数1 1 复级数复级数 为一个确定复数为一个复数列，设000iyxziyxznnnn 1 1)(lim nzzzznnn0 00 0或 1.1 复数项级数复数项级数成立，则称时，总有当如果 0 00 0zzNnNn, 为极限，记作，或以收敛于复数列00zzznn 1 1的充要条件是00

2、0iyxziyxznnn 定理定理1.1)(, nyyxxnn00)(, nyyxxnn00 充分性证明时，总有当对NnN , 0 0 1、复数序列的极限、复数序列的极限,2 20 0 xxn2 20 0 yyn 0 00 00 0yyxxzznnn). nzzn( 0 0即有)( nzzn0 必要性证明时，总有当对NnN , 0 0 0 0zzn 0 00 00 00 0zzyyzzxxnnnn,). nyyxxnn( ,0 00 0即有.性的判断可以转换成实数列收敛收敛性判断一个复数项数列的由这个定理可以知道，关于两个实数列相应项.广到复数序列列的极限结果，可以推和、差、积、商所成序 为一

3、个复数列，表达式设 1 1nnnniyxz)(lim nssssnnn或有极限 2 复数项级数复数项级数如果它的部分和称作复数项无穷级数.定理定理1.1nnkknzzzzs 2 21 11 1.称作级数的和是收敛的，则称级数sznn 1 1 .是发散的不收敛，则称级数如果 1 1nnnss nnnzzzz2 21 11 1.,都收敛收敛的充分必要条件是 1 11 11 1nnnnnnyxz收敛的必要条件是级数 1 1nnz 0 0 nnzlim1.4定理1.3定理,收敛级数 1 1nnz必收敛则级数 1 1nnz证明 1 12 22 21 1nnnnnyxz2 22 22 22 2nnnnnn

4、yxyyxx ,而 收敛收敛1 11 1nnnnyx,2 21 11 11 1.,依据定理收敛 nnnnyx.必收敛则级数 1 1nnz则称收敛如果级数, 1 1nnz.为绝对收敛级数 1 1nnz.成为条件收敛非绝对收敛的收敛级数 内的函数，表达式为区域设Divuzfnnnn 1 1)()()(lim,0 00 00 0zSzSznn 内的某一点如果对于D1.2 复变函数项级数复变函数项级数项的和该级数前称作复变函数项级数n.)()()()()(zfzfzfzfzSnnkkn 2 21 11 1.)()(称作级数的和点是收敛的，在则称级数0 00 01 1zszzfnn )()()()(zf

5、zfzfzfnnn2 21 11 1.部分和称作复变函数项级数的).(D)(1zszzfnn的函数定是内处处收敛则它的和一在如果级数时，幂级数为复函数级数为幂级数0 00 0 z .称形如 )()()()()(zfzfzfzfzsnnn2 21 11 1.称作级数的和2 幂级数幂级数 nnnnnzzczzcczzc)()()(0 00 01 10 00 00 0 nnnnnzczcczc1 10 01 1为了方便以后只对此种形式进行讨论.(阿贝尔定理）1.5定理内收敛，则级数在圆域在点如果级数 zzcnnn01 1.都使级数发散的点发散，则满足点绝对收敛，如果级数在zz 0 证明nccnnnn

6、n使得对于任意整数；收敛，级数, 0M0 1 1收敛的数列必有界！）( Mcnn 1 1 qzz 则有如果,nnnnnnMqzczc .比较判别法知收敛，根据正项级数的级数 0nnMq.也收敛是绝对收敛的，从而级数 1 11 1nnnnnnzczc.留给同学关于定理得后部分证明.,Rz 个圆域幂级数收敛一定存在一外，面上处处收敛两种情形除了在原点和整个复平由阿贝尔定理知.的范围内发散，而在内收敛，而且绝对收敛在圆域RzRz .称作收敛半径称作级数的收敛圆，圆周RRz ，规定只在原点收敛的情形，0 R. R定在复平面处处收敛的规.体的分析后下结论有一般结论，要做出具对于圆周上的收敛性没1.2例

7、nnnzzz11 1求.收敛半径与和函数解1 1 nnzzs1)(zzsnn 1 11)(1 1 z)(lim1 11 1 zzsnn11R0 收敛半径由定理知，故级数发散不趋于时当,.limnnzz1 1z 1 11 1.R径类似的求法，同实数级数半级数收敛半径,lim)( 1 11 11 1 Rccnnn比值法： 1 12 2 Rcnnn,lim)(根值法：.,0 RR规定，规定 0 01.3例:求下列级数的收敛半径形；并讨论收敛圆周上的情,)( 1 13 31 1nnnz的情形；并讨论2 20 01 12 21 1,)()( znznn形；并讨论收敛圆周上的情,)( 1 13 31 1n

8、nnz解1 11 11 13 31 1 Rnnccnnnn,)(limlim是收敛的，级数对于收敛圆周 0 03 31 13 31 11 1nnnnnzz,. 1 11 13 31 13 3 znznznnnn的收敛域为敛的；在收敛圆周上是处处收1 11 11 12 21 1 Rnnccnnnn,limlim)(时，上在收敛圆为0 01 11 1 zzz,11.)(发散时，原级数为收敛，原级数为 1 11 12 21 1nnnnzn1.,)(baazcbznnn 其中的幂级数表示成形如把函数0 011.5例*)(1 11 11 10 0 zzzzznnn1abazababazbz )()()(

9、1 11111,abazabaz 即当1 1 0 0nnabazabbz)()(11)()()()(abazabazabazabbznn 1 12 21 11 1-.)(在收敛圆内是解析的它的和函数）（zf 1则的收敛半径为,)(R 0 00 0nnnzzc 0 01 10 01 10 0nnnzzzzncdzzf)()(1.6定理导，即在收敛圆内可以逐项求它的和函数）（)(zf 2分，即在收敛圆内可以逐项积它的和函数）（)(zf 3 1 11 10 0nnnzznczf)()(2 2 泰勒级数泰勒级数内解析，在区域如果D)(zf时，有各点的最短距离，则当dzz 0 0)(!)(0 01 1z

10、fncnn C dzfizf)()(2 21 1定理定理2.1 2.1 ？数是否能用幂级数表示反之，任何一个解析函在收敛圆内是解析的函数我们知道一个级数的和.)(zf的边界上到为D0 0zd 0 00 0nnnzzczf)()(z证明时，当1 10 00 0 zzz )()()()(abazabazabazabbznn 1 12 21 11 1-)()()(0 00 00 01 10 00 01 1zzzzzzznnn 0 0zCd D NnknnNnknndzfzzidzfzzi 1 10 00 01 10 01 10 00 02 21 12 21 1)()()()()()( 0 01 10

11、 00 02 21 1nknndzfzzizf )()()()()()()()(zRzzdzfiNnNnkn )0 01 10 01 10 02 21 1 )( ,)()()()( NdzfzzizRNnknnN0 02 21 11 10 00 0 )()(!)()(zRzznzfNnNnn 0 01 10 00 0rzdrzK 0 00 0 .为半径的正向圆周为圆心，以是以)( ,)()()()( NdzfzzizRNnknnN0 02 21 11 10 00 0 往证.,无关与，显然记 1 10 00 00 00 0 qqrzzzzzMzfMDzf )(,)(0 0上连续，存在内解析，从而

12、在在区域DdszfzzizRNnknnN 1 10 00 02 21 1)()()()( NnknnNdszzzzfzR)()()()(0 00 00 02 21 1 0 01 12 22 21 1 qMqqMrqrMzRNNnnnNnN )(.)(0 00 0zzzf R敛圆半径为的泰勒展开式成立的收在则明：关于定理我们做一下说内解析，在区域如果D)()(zf1 1最近的一个边界点。的边界距离或者0 0zD最近的一个奇点，到为0 0zD 0 0zRD0 0zCR D.)()(解析函数的本质反映了这个性质从级数的角度可以展开成为幂级数！条件是在该点的邻域在一点解析的充分必要函数zf2 2.)(

13、幂级数是唯一的在该点的邻域展开成的函数zf方法有：的邻域展开成幂级数的在解析函数0 0zzf)(作直接法；利用定义直接展开，称)(1 1.,)(称作间接法性质求得函数的展开利用已知展开式和相关2 2.)(点展开为泰勒级数在利用直接展开法将例0 0 zezfz2.1，的各阶导数为解1 0 0zzzzeeezf)(!)(!)(nzfncnn1 11 10 0 )(! znzzznzennnz2 21 10 01.)( Rezfz以收敛半径在复平面处处解析，所.cos,sin点的泰勒级数在用直接展开法可以求得0 0 zzz)()!()(sin znzznnn0 01 12 21 12 21 1)()

14、!()(cos znzznnn0 02 22 21 1.()()(的幂级数）展成点展开为泰勒级数在将例zzzzf0 01 11 12 2 2.2.,)()(1 距离为它距在复平面有一个奇点解0 01 11 11 12 2 zzzzf.的幂级数内可以展开成所以在zz1 1 )(1 11 11 10 0 zzzzznnn1)()()()(1 11 11 11 11 11 10 0 zzzzzznnnn1)()()(1 11 11 10 0 zzznn)()()()()(1 11 11 11 10 01 10 02 2 zznzznnnnnn)()()(1 11 11 11 10 01 11 12

15、2 zznznnn.)ln(的幂级数展成将对数函数的主值例zz 1 12.3)ln()(zzf 1 1记对数函数的主值为解 .点展开即在的幂级数展成0 0 zz.)ln()(面内解析向左沿负实轴剪开的平在从1 11 1 zzzf1 10 01 1离为的最近的一个奇点，距是到 zz. 1 1 z半径为所以泰勒级数收敛域的)()()( )ln(1 11 11 11 11 11 10 0 zzzzzznnnnn1)()()ln(1 11 11 11 10 0 zdzzzdzznnn )()()ln(1 11 11 11 10 01 1 znzznnn 0 01 11 11 1nnnnz)(.)()(

16、的幂级数的主值支展成将幂函数例zzzf 1 12.41 10 01 11 1 )(,)()()ln(fezzfz .)(面内解析向左沿负实轴剪开的平在从解1 1 zzf 1 10 01 1离为的最近的一个奇点，距是到 zz. 1 1 z半径为所以泰勒级数收敛域的)()()ln()(zezfzz ，设1 1)()()()()ln()(zzezfezzz , 1 11 1，设)()()()()()()()(zzzzeezzeezf 1 11 1 )()()()()()()(zzeezf 2 21 11 1 )()()()()()(znnenzf 1 11 1 ),()()(),()(,)()(1

17、11 10 01 10 00 0 nfffn nznnzzz!)()(!)()(1 11 12 21 11 11 12 2 . 1 1 zo1 1 zyx.)(),ln(1 11 11 1 zzzz的幂级数收敛域半径关于 3 3 洛朗级数洛朗级数3.1 3.1 洛朗级数及其收敛圆环洛朗级数及其收敛圆环11 )()()(0 00 00 0zzczzczzcnnnnn称形如 nnzzczzcc)()(0 00 01 10 0.的级数为洛朗级数复常数)()()()(1 10 00 01 10 0 11 nnnnnzzczzczzc)()()()(2 20 00 01 10 00 00 0 nnnnn

18、zzczzcczzc：将洛朗级数分成两部分.点收敛则称洛朗级数在点都收敛如果两部分级数在 zz,)()()()(2 20 00 01 10 00 00 0 nnnnnzzczzcczzc.)(2 22 2R其收敛半径为在其收敛圆内收敛，设幂级数,2 20 0Rzz 当.)(收敛幂级数 2 2)(3 32 22 21 1 1 nnnnncccc 的幂级数：则变成关于，设对于幂级数 ,)(0 0zz 11) 1 ( )()()(010110nnnnnzzczzczzc.)(R其收敛半径为在其收敛圆内收敛，设幂级数 3 3.,收敛级数当(3)Rzz 0 01 1 ,发散级数当 (3)R .,收敛）当

19、对级数（1 10 01 1RRzz 1则当如果,)2 RR 1 11 1.( ,(）都收敛）时，级数212 20 01 1RzzR .)(收敛从而洛朗级数 nnnzzc0 0.时，罗朗级数发散，或当2 20 00 0RzzRzz 1,)2 RR 1 12 2 如果.)()(所以洛朗级数处处发散没有同时收敛的区域，幂级数2 21 1域存在收敛域，则其收敛如果洛朗级数 nnnzzc)(0 0:必为圆环.2 20 01 1RzzR 综上得到结论解析，而且数在其收敛圆环内其和函)()(zfzzcnnn 0 0 nnnzzzzncdzzf1 10 01 10 0)()(3.1定理导，即在收敛圆内可以逐项

20、求它的和函数）（)(zf 1分，即在收敛圆内可以逐项积它的和函数）（)(zf 2 nnnzznczf1 10 0)()() 1 ( )()()(010110nnnnnzzczzczzc)()()()(2 20 00 01 10 00 00 0 nnnnnzzczzcczzc级数1称作主要部分级数2称作解析部分主要部分+解析部分3.2 3.2 洛朗展开定理洛朗展开定理内解析，：在圆环域如果2 20 01 1RzzRzf D)(为则在此圆环内一定展开其中),()()(2 21 10 02 21 11 10 0 ndzficnn C 定理定理2.1 2.1 我们知道 nnnzzczf，)()(0 0

21、.)(,在收敛圆环内是解析的和函数环洛朗级数的收敛域是圆zf.)(成洛朗级数问题在收敛圆环内解析展开函数zf而且曲线的任意一条正向简单闭为此圆环内围绕.0 0zC.唯一的在此圆环内的展开式是 0 nknnzzdzfizI2 20 01 12 22 21 1)()()()( 0 0z2 2R1 1Rz，在圆环域作正向圆周Rzkrzk 0 02 20 01 1 :,: 1 1kr 2 2kR.:内任意一点为圆环域设Rzzrz 0 0 2 22 21 1kdzfizf )()( 1 12 21 1kdzfi )( 2 22 21 12 2kdzfizI )()(对于，1 10 00 0 zzz )(

22、)()(0 00 00 01 10 00 01 1zzzzzzznnn 0nnnzzc)(0 0 0 nknnzzdzfizI1 10 01 11 12 21 1)()()()( 对于，1 10 00 0 zzz 证明，1 10 00 0 zzz )()()()(0 00 00 01 10 00 01 11 12 21 12 21 1zzzdzzzfidzfinknnk 0 00 00 00 00 01 11 11 11 11 1zzzzzzzzz )()()( )()(0 00 01 10 01 10 01 12 21 1zzzzzdzfinnkn 0 01 10 00 00 00 00 0

23、0 01 1nnnnnzzzzzzzz)()()( )()()()(zRzzdzfiNnNnkn )0 01 11 11 10 01 12 21 1 )( ,)()()()( NdzfzzizRNnknnN0 02 21 11 11 10 00 0 )()( )()(0 00 01 10 01 10 01 12 21 1zzzzzdzfinnkn )( ,)()()()( NdzfzzizRNnknnN0 02 21 11 11 10 00 0 往证.,无关与，显然记 1 10 00 00 00 0 qqzzrzzznc 记作)()(zRzzcNnNnn 0 01 11 1综上所证，有 1 1

24、0 00 00 00 0nnnnnnnnnzzczzczzczf，)()()()(),()()(2 21 10 02 21 11 10 0 ndzficCnn .含的正向简单闭曲线内任意一条包是其中0 0zCD假如还有展开式：下面证展开式的唯一性 nnnzzbzf)()(0 0 1 10 0mzz)(1 10 0 mzz)(mncmnncmibdzzzzzbdzzzzf 2 21 10 00 01 10 0 )()()()(),()()(2 21 10 02 21 11 10 0 mdzfibCmm 数的方法也有：的圆环域展开成洛朗级在解析函数0 0zzf)(.直接法和间接法两种两种方法展开例

25、3.1直接法解(1) CnCnndeidfic3 31 12 21 12 21 1 )(2 2zezfz )(点为中心的圆环域在以0 0 z.的正向简单闭曲线内任意一条包含是其中0 0 zCD时，3 30 03 3 nn,;,0 03 3 nnzcCze上及其内部解析，故在在复平面处处解析知：时，由高阶导数的公式2 21 13 3 nn,0 02 23 33 32 22 22 22 21 12 21 1 )!()()!()!()(nedeinndeicnCnCnn)()!(2 22 21 1 nncn2 2zezfz )()(! zzzzz0 04 43 32 21 11 11 12 22 2

26、 ,!,!,!,!3 31 12 21 11 11 11 11 10 01 11 10 01 12 2 cccc间接法(2) )(! zzzzzez 4 43 32 21 14 43 32 22 2zezfz )()(!( zzzzzz ) 4 43 32 21 11 14 43 32 22 2)(! zzzzz0 04 43 32 21 11 11 12 22 2 3.2例 解洛朗级数分别在以下圆环域展开将)()(2 21 11 1 zzzf1 11 14 43 32 22 21 11 1 zzzz02 1 0 )( ,)(;)(;)(, 1 11 1 zz内，有在0 (1),)(zzzf

27、2 21 11 11 11 12 2 z)(1 11 11 10 0 zzzzznnn1)()(1 12 22 22 22 22 21 12 21 11 12 21 12 21 11 10 0 zzzzzznnnn1 0 01 11 10 01 10 02 21 12 22 2nnnnnnnnnzzzzf)(3.2例 解洛朗级数分别在以下圆环域展开将)()(2 21 11 1 zzzf1 11 14 43 32 22 21 11 1 zzzz02 1 0 )( ,)(;)(;)(, 1 11 12 2 zz内，有在1 (2),)(zzzf 2 21 11 11 11 12 2 z)()(1 1

28、1 11 11 11 11 11 11 11 11 10 01 10 0 zzzzzzznnnn )()(2 22 22 22 22 22 21 12 21 11 12 21 12 21 11 10 0 zzzzzznnnn1)(2 21 12 21 10 01 10 01 1 zzzzfnnnnn( 3.2例 解洛朗级数分别在以下圆环域展开将)()(2 21 11 1 zzzf1 11 14 43 32 22 21 11 1 zzzz02 1 0 )( ,)(;)(;)(1 12 21 11 1 zzz,内，有在2 (3),)(zzzf 2 21 11 11 1)()(1 11 11 11

29、11 11 11 11 11 11 10 01 10 0 zzzzzzznnnn )()(2 22 22 21 12 21 11 11 12 21 10 01 10 0 zzzzzzznnnnn)( zzzzzfnnnnnnnn2 21 12 22 21 10 01 10 01 10 01 1( 3.2例 解洛朗级数分别在以下圆环域展开将)()(2 21 11 1 zzzf1 11 14 43 32 22 21 11 1 zzzz02 1 0 )( ,)(;)(;)(，1 11 1 z0 (4)()()()(1 11 11 11 11 12 21 11 1 zzzzzf 1 10 01 10

30、01 11 11 11 11 1nnnnnnzzzz)()()()()()(1 11 10 01 11 11 11 12 2 zzzzzf( - 1 1 z0 (1) nnnnnnnzzzzzf1 11 12 20 01 11 12 21 12 28 87 74 43 32 21 12 21 12 2)(2 2 z1 (2) z2 (3) 1 14 43 32 20 01 11 12 27 73 31 11 12 2nnnnnzzzzzzf)( 1 12 21 12 28 84 42 21 11 13 31 1nnnnzzzzzzzf)(只有解析部分既有主要部分又有解析部分只有主要部分，1 11 1 z0 (4)()()(1 11 10 01 11 11 11 12 2 zzzzzf( - 1 1 z0 1 1 z0 2 2 z1 oyx1 12 21 11 1 z0 1 1 nnnzzzzf1 11 12 22 21 12 28 87 74 43