《概率论与数理统计》课程练习计算题

1、三、解答题1.设对于事件A、B、C有P(A)P(B)P(C)1/4,P(AB)P(BC)0,P(AC)1/8,求A、B、C至少出现一个的概率。解：由于ABCAB，从而由性质4知，P(ABC)P(AB)0,又由概率定义知P(ABC)0,所以P(ABC)0,从而由概率的加法公式得P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(AB)P(AC)P(BC)P(ABC)2.设有10件产品，其中有3件次品，从中任意抽取5件，问其中恰有2件次品的概率是多少？解：设A表示：“任意抽取的5件中恰有2件次品"。则n()015)05件产品中恰有2件次品的取法共有C；2C3种，即n(A)C：2C3。于是所求概率为P

2、(A)n(A)/n()C；2C3/C15)35/843.一批产品共有10个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个(有放回)。求:(1)第二次取出的是次品的概率；(2)两次都取到正品的概率；(3)第一次取到正品，第二次取到次品的概率。解：设Ai表示：“第i次取出的是正品"(i=1,2),则(1)第二次取到次品的概率为P(A1A2 A1A2)1022212 12 12 12(2)两次都取到正品的概率为P(A1A2) P(A)P(A2 |A1)10 102512 1236(3)第一次取到正品，第二次取到次品的概率为P(A1A2)10_5_12 12364. 一批产品共有10个正品2个次品，

3、从中任取两次，每次取一个(不放回)o求:(1)至少取到一个正品的概率；(2)第二次取到次品的概率；(3)恰有一次取到次品的概率。解：设Ai表示：“第i次取出的是正品" (i=1, 2),则(1)至少取到一个正品的概率21651 P(AiA2)1 P(Ai)P(A2|A) 1 -12 1166(2)第二次取到次品的概率为P(A1a A1A2) P(A)P(A2l A1) P(A1)P(A2|A1)10 _2 _2_ 1 112 11 12 11 6(3)恰有一次取到次品的概率为RA1A2 A1A2) P(A1)P(A2| A1) P(A1)P(A2|A1)10 22 10 1012 1

4、1 12 11 335. 一批产品共有10件正品2件次品，从中任取两件，求：(1)两件都是正品的概率；(2)恰有一件次品的概率；(3)至少取到一件次品的概率。解：设A表示：“取出的两件都是正品是正品”；B表示：“取出的两件恰有件次品”C表示：“取出的两件至少取到一件次品”；则(1)两件都是正品的概率P(A)C2oC221522(2)恰有一件次品的概率P(B)C10C2C221033(3)至少取到一件次品的概率P(C) 1 P(A)1 C120115C122227220.6,乙机床和丙机床需6.一工人照看三台机床，在一小时内，甲机床需要照看的概率是要照看的概率分别是0.5和0.8。求在一小时中,

5、(1)没有一台机床需要照看的概率；(2)至少有一台机床不需要照看的概率。解：设A表示：“没有一台机床需要照看”；B表示：“至少有一台机床不需要照看“；Ci表示：“第i台机床需要照看"(i=1,2,3)。则AC1c2c3;BC1C2C3oP(A)P(CiC2C3)P(Ci)P(C2)P(C3)(1P(Ci)(1P(C2)(1P(C3)0.04P(B)P(C1C2C3)P(C1C2C3)1P(CC2c3)1 P(C1)P(C2)P(C3)0.767.在某城市中发行三种报纸A、B、C,经调查，订阅A报的有50%,订阅B报的有30%,订阅C报的有20%,同时订阅A及B报的有10%,同时订阅A

6、及C报的有8%,同时订阅B及C报的有5%,同时订阅A、B、C报的有3%,试求下列事件的概率：(1)只订阅A及B报；(2)恰好订阅两种报纸。解：(1)P(ABC)P(ABC)P(ABABC)P(AB)P(ABC)0.10.030.07(2)P(ABCABCABC)P(ABC)P(ABC)P(ABC)0.070.020.050.148.一盒子中黑球、红球、白球各占50%、30%、20%,从中任取一球，结果不是红球，求：(1)取到的是白球的概率；(2)取到的是黑球的概率。解：设Ai分别表示：“取到的是黑球、红球、白球”(i=1,2,3),则问题(1)化为求P(A3|A2)；问题(2)化为求P(A1|

7、A2)。由题意A、A2、A3两两互不相容，所以，(1) P(A3A2) P(A3 A2)P(A3)。因此由条件概率公式得P(A3 1A2)P(A3A2)P(A2)P(A3)0.22P(A2)1 0.3 7(2)P(A1A2)P(A1A2)P(A1)P(A1 IA2)P(A1A2)P(A2)P(A)0.55P(A2)1 0.3 79.已知工厂A、B生产产品的次品率分别为1%和2%,现从由A、B的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，求：(1)该产品是次品的概率；(2)若取到的是次品，那么该产品是B工厂的概率。解：设C表示“取到的产品是次品”；A“取到的产品是A工厂的”；B“取到的产品

8、是B工厂的”。则(1)取到的产品是次品的概率为P(C)P(A)P(C|A)P(B)P(C|B)6014027100100100100500(2)若取到的是次品，那么该产品是B工厂的概率为P(B|C)P(BC)P(B)P(C|B)P(C)P(A)P(C|A)P(B)P(C|B)40210010047750010 .有两个口袋，甲袋中盛有4个白球，2个黑球；乙袋中盛有2个白球，4个黑球。由甲袋任取一球放入乙袋，再从乙袋中取出一球，求从乙袋中取出的是白球的概率。解：设A表示：“由甲袋取出的球是白球”；B表示：“由甲袋取出的球是黑球”；C表示：“从乙袋取出的球是白球”。则P(C)P(A)P(C|A)P

9、(B)P(C|B)42J22_86616612111 .设有一箱同类产品是由三家工厂生产的，其中1/2是第一家工厂生产的，其余两家各生产1/4,又知第一、二、三家工厂生产的产品分别有2%、4%、5%的次品，现从箱中任取一件产品，求：(1)取到的是次品的概率；(2)若已知取到的是次品，它是第一家工厂生产的概率。解：设事件A表示：“取到的产品是次品”；事件Ai表示：“取到的产品是第i家工厂生产的”(i 1, 2, 3)。则 A1 A2A3，且P(Ai) 0, A&、A3两两互不相容,(1)由全概率公式得312141513P网i1P(Ai)P(A万丽4祕N标菽125 100 41313400

10、(2)由贝叶斯公式得P(A1)P(A|A)P(A1|A)=h1P(Aj)P(A|Aj)j140%、25%、35%,其产品12.三家工厂生产同一批产品，各工厂的产量分别占总产量的的不合格率依次为0.05、0.04、和0.02。现从出厂的产品中任取一件，求:(1)恰好取到不合格品的概率；(2)若已知取到的是不合格品，它是第二家工厂生产的概率。解：设事件A表示：“取到的产品是不合格品”；事件A表示：“取到的产品是第i家工厂生产的”(i1,2,3)。3则Ai，且P(A)0,A1、A2、A3两两互不相容，由全概率公式得1 13(1) P(A)P(Ai)P(A|Ai)1 1-25435 37/100010

11、0 100 100 100405100100P(A2)P(A|A2)(2)由贝叶斯公式得PA|A)=P(Aj)P(A|Aj)j10.25 0.0437 /100010/3713.有朋友远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机的概率分别为3/10、1/5、1/10、2/5,而乘火车、轮船、汽车、飞机迟到的概率分别为1/4、1/3、1/12、1/8。求：(1)此人来迟的概率；(2)若已知来迟了，此人乘火车来的概率。解：设事件A表示：“此人来迟了”；事件A分别表示：“此人乘火车、轮船、汽车、飞机，且P(A)0, A、隈 A、A4两两互不相容来”(i1,2,3,4)。则Aii1(1)由全概率公式得4P(A

12、)P(A)P(A|Ai)i1J3111SS211104531012585P(A)P(A|A1)P(A/A) =3 110 4 31/58(2)由贝叶斯公式得4P(Aj)P(A|Aj)j114 .有两箱同类零件，第一箱50只，其中一等品10只，第二箱30只，其中一等品18只，今从两箱中任选一箱，然后从该箱中任取零件两次，每次取一只(有放回)，试求：(1)第一次取到的是一等品的概率；(2)两次都取到一等品的概率。解：设A表示：“取到第i箱零件”(i1,2)；Bi表示：“第i次取到的是一等品”(i1,2)；(1) P(B1) P(B1A1B1A2) P(B1A1) P(B1A2)(2) P( B1B

13、2)P(B1B2A1 B1B2 A2)P(B1B2A1) P(B1B A2)(10)1 250(30)215 .设一电路由三个相互独立且串联的电子元件构成，它们分别以0.03、0.04、0.06的概率被损坏而发生断路，求电路发生断路的概率。解：设A表示：“第i个电子元件被损坏”(i=1,2,3),则有P(A1)0.03；P(A2)0.04；P(A3)0.06。依题意所求概率为P(A1AA3)P(A1)P(A2)P(A3)P(A1A2)P(AAs)RA24)P(A1A2A3)0.030.040.060.030.040.040.060.070.020.050.140.8,乙击中敌机的概率16 .甲

14、、乙两人各自同时向敌机射击，已知甲击中敌机的概率为为0.5,求下列事件的概率：(1)敌机被击中；(2)甲击中乙击不中；(3)乙击中甲击不中。解：设事件A表示：“甲击中敌机”；事件B表示：“乙击中敌机”；事件C表示：“敌机被击中”。则(1) P(C)P(AB)1P(AB)1P(AB)10.10.9(2) P(AB)P(A)P(B)0.8(10.5)0.4(3) P(AB)P(A)P(B)(10.8)0.50.117.已知 P(A)1/4,P(B|A)1/3,P(A|B)1/2,求P(AB)。解：由于P(AB)P(A)P(B)P(AB)111P(AB)P(A)P(B|A)43121P(B)3Z1P

15、(A|B)126所以1121P(AB)418.设 P(A) 0.3, P(B)0.4,P(AB)0.5,求P(B|(AB)。解：由于 P(B|(A B)P(B(A 9)P(A B)B(AB)BABBBA,AABAB,ABAB,而P(BA)P(A)P(AB)1P(A)P(AB)0.7050.2,P(AB)P(A)P(B)P(AB)0.710.40508,故P(B|(AB)P(B(A)丝1。P(AB)0.8419 .设事件A、B相互独立，已知P(A)0.4,P(AB)0.7。求:(1) P(AB)；(2)P(AB)。解：由P(AB)P(A)P(B)P(AB)0.7即0.4P(B)0.4P(B)0.

16、7解得P(B)0.5所以P(AB)P(A)P(B)0.4(10.5)0.2P(AB)0.60.50.60.50.820 .设A、B为随机事件，且P(A)0.5,P(B)0.6,P(B|A)0.8,求:(1) P(AB)；P(AUB)。解：(2) P(AB)P(A)P(B|A)0.50.80.4(3) P(AB)P(A)P(B)P(AB)0.50.60.40.721 .设事件A、B相互独立，已知P(A)0.5,P(AB)0.8,求：(1) P(AB);(2)P(AUB)。解：由条件P(AB)P(A)P(B)P(AB)P(A)P(B)P(A)P(B)0.8即0.5P(B)0.5P(B)0.8解得P

17、(B)0.6,所以(1) P(AB)P(A)P(B)0.50.40.2(2) P(AB)P(A)P(B)P(AB)0.50.40.50.40.722.设事件A与事件B相互独立，试证明：(1)事件A与事件B相互独立；(2)事件A与事件B相互独立；(3)事件A与事件B相互独立。证明：(1)欲证明a、B相互独立，只需证p(aB)p(a)p(B)即可。而P(AB)P(AAB)P(A)P(A)P(B)P(A)(1P(B)P(A)P(B)所以事件A与事件B相互独立。同理(2)由于P(AB)P(BAB)P(B)P(A)P(B)P(B)(1P(A)P(A)P(B)所以事件A与事件B相互独立。(3)由于P(AB

18、)P(AB)1P(AB)1P(A)P(B)P(AB)1P(A)P(B)P(A)P(B)1P(A)1P(B)P(A)P(B)所以事件A与事件B相互独立。23.若P(A|B)P(A|B),证明事件A与事件B相互独立。证明：由于AABAB,且ABAB,所以P(A)P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)P(B)P(B)P(A|B)P(A|B)从而有P(AB)P(A|B)P(B)P(A)P(B)故由独立性定义知，事件A与事件B相互独立。第二章随机变量及其分布三、解答题1 .设X的概率分布为X 012求：（1）X的分布函数;1 PX 2、P1、P13X-°

19、;解：（1） F（x）PXx1312PX2P13PXP13P1 X20,1,PX 13PX2.从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗,假定在各个交通岗遇到红绿信号灯的事件是相互独立的，且概率都相等。设X表示途中遇到红灯的次数，求X的分布律、分布函数。解：由题意知X服从二项分布B,一1、（3,一）,从而2PX0(1PX1c3(12)2PX2C321(2)(112)PX(2)3即x的概率分布列为X0123Pk1/83/83/81/8由分布函数定义0,x01/8,0x14/8,1x27/8,2x31,x3F(x)PXx3.从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗,假定在各个交通岗遇到红绿信号灯的事件是

20、相互独立的，且概率都是2/5。设X表示途中遇到红灯的次数，求X的分布律、分布函数。解：由题意知X服从二项分布B(3,2),从而5PX0(15)327125PX1c3(154125PX2C；2(5)(125)36125PX3(5)38125即X的概率分布列为X0123Pk27/12554/12536/1258/125由分布函数定义得0,x027/125,0x181/125,1x2117/125,2x3F(x)PXxx31,4.一台设备有三大部件构成，在设备运转过程中各部件需要调整的概率分别为0.10,0.20,0.30,假设各部件的状态相互独立，以X表示同时需要调整的部件数，试求X的概率分布。解

21、：设：Ai(i1,2,3)表示：“部件i需要调整”。PX0P(AA2 A3)0.9 0.8 0.7 0.504；PX1P(AA2 A3)P(AA2A3) P(AA2A3)0.398 PX2P(AA2A3)P(AA2A3) P(AA2A3)0.092PX3P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3)0.006故X的概率分布列为X0123Pk0.5040.3980.0920.0065.已知某种型号的雷管在一定刺激下发火率为4/5,今独立重复地作刺激试验，直到发火为止，则消耗的雷管数X是一离散型随机变量，求X的概率分布。解：X的可能取值为1,2,3,。记Ak表示“第k次试验雷管发火”则Ak表示“

22、第k次试验雷管不发火”从而得，、4PiPX1P(Ai)514P2PX2P(AA2)P(Ai)P(A2)55124P3PX3P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3)(-)2-55_1k14PkPXkP(A1A2Ak1Ak)(-)k155依次类推，得消耗的雷管数X的概率分布为4 1k1,、PXk4(-)k1(k1,2,3,)5 5Acosx.x6 .设随机变量X的概率密度为f(x)'2，求:0,其它(1)系数A； (2) X的分布函数;(3) X落在区间(一，一)内的概率。44解：连续型随机变量X的概率密度必须满足归一性,因此由归一性及定义可求出系数A及解得A 1/2。X的分布函数

23、，至于(3)可由X的分布函数求得。(1)由归一性，f(x)dx2Acosxdx2A12(2)由连续型随机变量的定义知X的分布函数为F(x)f(u)dux一时，F(x)2F(x)x一时,2F(x)故X的分布函数为F(x)(1(3)所求概率为f(u)du=0；f(u)duf(u)du0,sinx)/2,1,20dx20dxPzXRFq7.设随机变量X的分布函数为F(x)/2求：(1)系数a；(2)X落在区间(一xIcosxdx2251cosxdx52/2/212,、221a一Arctanx1,1)中的概率;(3)随机变量X的概率密度。(提示:解：(1)由F()1(2)F(x)1Arctanx(2)

24、P1X1F(1)F(1)11-一一sinx22x0dx12Arctanx为反正切函数)解得1,-o故得21 124 21(0 2(3)所求概率密度为一、L,、，11A、1f(x)F(x)(Arctanx)-(2(1x2)8.设随机变量X的概率分布为f (x)Ax,0,0 -X 1 ,以Y表示对X的三次独立重 其它12 23 3 9一，1、，一,、，一一复观察中事件X出现的次数，试确定常数A,并求概率PY2。2解：由归一性1所以A=2o即f (x)dx0Axdxf(x)2x, 0 x 10,其它11PX 2 %)12 f (x)dx1(2 2xdx1、所以YB(3,1),从而4PY3_94649

25、.在某公共汽车站甲、乙、丙三人分别独立地等1, 2, 3路汽车，设每个人等车时间(单位：分钟)均服从0,5上的均匀分布，求三人中至少有两个人等车时间不超过2分钟的概率解：设X表示每个人等车时间，且X服从0,5上的均匀分布，其概率分布为f(x)1/5, 0 x 50, 其它22PX2f(x)dxo1/5dx0.4又设Y表示等车时间不超过2分钟的人数，则YB(3,0.4),所求概率为PY21PY11C00.63c30.40.620.35210.在电源电压不超过200,200240和超过240伏的三种情况下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1,0.001和0.2假定电源电压XN(220,252),试

26、求：(提示：(0.8)0.788)(1)该电子元件被损坏的概率(2)电子元件被损坏时，电源电压在200240伏内的概率解：设A1 : “电源电压不超过200伏”；A2:“电源电压在200240伏”；A3： “电源电压超过240伏”;B : “电子元件被填坏”。P(A3)由题设P(B|A)由条件概率公式P(A2|B)P(A2)P(B|A2)P(B)0.00911. 一个盒子中有三只乒乓球，分别标有数字1, 2, 2。现从袋中任意取球二次，每次取由于XN(220,252),所以.、200220P(Ai)PX200F(200)()25(08)1(08)10.7880.212240220200220P

27、(A2)P200X240()()2525(08)(08)2(08)10576240220PX2401()251(08)10.7880.21201,P(B|A2)0.001,P(B|A3)0.2,所以由全概率公式3P(B)(Ai)P(B|Ai)0.0642i1一只(有放回)，以X、Y分别表示第一次、第二次取得球上标有的数字。求:(1) X和Y的联合概率分布;(2)关于X和Y边缘分布；(3) X和Y是否相互独立？为什么?解：(1) (X, Y)的所有可能取值为P11PX 1, Y 1P12 PX 1, Y 2(1, 1)、(1 , 2)、(2, 1)、(2, 2)。1113 3 9p21PX2,

28、Y 1，、22p22PX2,Y233于是(X,Y)的概率分布表为Y1211/92/922/94/9(2)关于X和Y的边缘概率分布分别为X12Y12Pi1/32/3Pj1/32/3(3)X和Y相互独立。因为i,j有pipjpjj12.一袋中装有3个球，分别标有号码1、2、3,从这袋中任取一球，不放回袋中，再任取一球。用X、Y分别表示第一次、第二次取得的球上的号码，试求:(1)随机向量(X,Y)的概率分布;(2) (X,Y)关于X和关于Y的边缘概率分布;(3) X和Y是否相互独立?为什么?解：(X,Y)的取值为(1,2),(1, 3), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 2)

29、,由(2)(X, Y)关于X的边缘概率分布概率乘法公式可得Pl2PX1,2Pl3PX1,3同理可得p21p23P31p321/6此外事件X 1,1X 3, Y 3, X 2, Y 2都是不可能事件，所以Y、7123101/61/621/601/631/61/60Y)的概率分布表为日P11 P33 P220，于Pi1/31/31/3(X,Y)关于Y的边缘概率分布Pj1/31/31/3(3) X和Y不相互独立，由于 P PjPj 。13. 一口袋中装有四只球，分别标有数字1, 1, 2, 3。现从袋中任取一球后不放回，再121A (x x )dx 一06x2从袋中任取一球，以X、Y分别表示第一次、

30、第二次取得球上标有的数字。求:(1) X和Y的联合概率分布及关于X和关于Y边缘分布;(2) X与Y是否独立？为什么?解：(1)(X,Y)的概率分布表为YX12311/61/61/621/601/1231/61/120X的边缘概率分布为Pi1/21/41/4Y的边缘概率分布为Pj1/21/41/4PX1,Y1PX1PY114.设G为由抛物线y x2和yx所围成区域，(X,Y)在区域G上服从均匀分布，试求：(1)X、Y的联合概率密度及边缘概率密度;(2)判定随机变量X与Y是否相互独立。解：如图所示，G的面积为因此均匀分布定义得X、Y的联合概率密度为o1f(x,y)而6, (x,y) GQ 其他x9

31、fx(x)f(x,y)dy26dy6(xx),0x1xfY(y)f(x,y)dxyy6dx6(77y),0y1所以关于X和关于Y的边缘分布密度分别为2fx(x)6(xx2),0x10,其他f6(.yy),0y1Y(y)0,其他X与Y不相互独立。(2)由于fx(x)fy(y)f(x,y),故随机变量15.设二维随机变量(X,Y)的概率分布为f (x,y)e y, 0 x y0, 其它求：(1)随机变量X的密度函数fX(x);(2)概率PXY1。解：(1)x0时，fX(x)=0;x0时，fX(x)=f(x,y)dyxeydye故随机变量 X的密度函数fX(x)0,一1x(2)PXY1f(x,y)d

32、xdy(2dxxeydyXY11e112e216.设随机向量(X,Y)的概率密度为f(x, y)A, 0 x 1, 0 y x0, 其他试求：(1)常数A;(2)关于X、Y的边缘概率密度。解：(1)由归一性1xf(x,y)dxdy00Adydx所以A2。X、Y的联合概率密度为f(x, y)2, 0 x 1, 0 y x0, 其他(2)关于X、Y的边缘概率密度为xfx(x)f(x,y)dy02dy2x(0x1)即2x,0x1fx(x)0其它同理可求得关于Y的边缘分布密度为,/、2(1y),0y1Yy0,其他17.设随机变量(X,Y)具有概率密度f (x, y)Ce (x y), x 0, y 0

33、0, 其它求(1)常数C;(2)边缘分布密度。解：(1)由于f(x,y)dxdy1,故1= Ce (x y) dxdy00C ° e xdx ° e ydy C所以C=1,即f(x,y)(xy)0,x0,y0其他(2)fX(x)f(x,y)dy0e(xy)dyexx0,即fx(x)0,其他fY(y)f(x,y)dx0e(xy)dxeyy0,即fY(y)e y, y 00, 其他18.设X和Y相互独立，下表列出了二维随机变量(X,Y)联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律的部分值，试将其余数值填入表中的空白处。Yy1y2y3PXxipix11/8x21/12PYyjPj1/6

34、1解:'X'''''Yy1y2y3PXxiPixi1/121/87/241/2x21/121/87/241/2PYyjPj1/61/47/121第三章随机变量的数字特征三、解答题1x,1x01.设随机变量Xf(x)Ax,0x1,求：0,其它(1)常数A;(2)EX；(3)DX。解：(1)由归一性 1 =.01f(x)dx1(1x)dx0(Ax)dxA(2)EX=xf(x)dx011x(1x)dx0x(1x)dx0(3)由于EX2DX2.设解：3.x2f(x)dx021x(1x)dxEX2(EX)2X的分布密度为EX=EX2DX试求：（1）EX解:

35、(1)EXEX2DXf(x)xf(x)dx2_xf(x)dx120x(1x)dx1/610x_2_2EX(EX)x,x,0,xdx1x2xdx0x其它求：数学期望EX和方差DX。(2x)dx22x(2x)dxX012R0.30.20.5已知随机变量X的分布列如下,(2)DX;X的分布函数。E(X1)2；(3)xkPkk100.3120.30.210.220.51.2_2220.52.2EX2(EX)22.21.220.76（2）经计算得（X1）2?Y的概率分布列(3)4.设求：E(XY10Pk0.80.210.800.20.82ykPkEYk10,F(x)03051,X、Y的概率分布为1(x)

36、了0,1x5,其它,Y)和E(2X3Y2)。解：由于X在有限区间1(y)4e4y0,5上服从均匀分布，所以0,0,EX51,一，3;又由于Y服从参数21为4的指数分布，所以EY=-4DY116因此由数学期望性质2、性质3及重要公式得E(XY)EXEY3:E(2X3Y2)2E(X)3E(Y2)一一一263(DY(EY)5 .已知r v X、Y分别服从正态分布N(0,32)和N(2,42),且X与Y的相关系数XY1/2,设ZX/3Y/2,求:(1)数学期望EZ，方差DZ；(2)X与Z的相关系数xz。解：(1)由数学期望、方差的性质及相关系数的定义得EZX Ye(T 2)E(7) E(2)11-0-

37、2132DZXYXYDq)D(2)2Cov(-,-)1111DX-DY2XYDX.DY322232XY121211132422()3414233222322(2) Cov(X, Z)1 Cov(X, -X111-Y)-Cov(X,X)-Cov(X,Y)2321_1_DXXYDX.DY032从而有X与Z的相关系数Cov( X,Z) XZ DX . DZ6 .设随机变量X、Y独立同服从参数为 与V的相关系数 uv 。泊松分布，U 2X Y, V 2X Y,求U解：由条件X、Y独立同服从参数为泊松r因此_2_2_2EY EX DX (EX)EU2EXEY3EV2EXEYDUDV4DXDY422EUV

38、 E(4X Y ) 4EXCov(U, V) EUV EUEV于是U与V的相关系数 UV COvA . DU DV 57.设一部机器一天内发生故障的概率为0.2,工作日内无故障可获利 8万元，发生一次故障仍获利布，所以 EX EY , DX DY ,25_2_2EY33_2_2_333335配器发生故障时全天停止工作，若一周5个4万元，发生两次故障获利 0元，发生三次或三次以上要亏损2万元，求一周内期望利润是多少。解：设Y表示生产利润，X表示每周发生故障的次数，则Y是X的函数，而X-B(5,0.2),其概率分布为PXkC；pkq5kY可能取值为一2,0,4,8。PY8PX00.8545/551

39、024/3125PY4PX1C50.20.84544/551280/3125解：(1)(X,Y)的概率分布为Y12311/92/92/9201/92/93001/9PY 0 PX 2 C； 0.22PY 2 PX 31 PX08 310 43 /55640/ 31253181/55 181/3125EYc 1024128084 -31253125c 6400 -3125(2)18131251295031254.1448 .设与 独立同分布，已知的概率分布为Pi 1/3(i1,2,3),又设X max, , Y min,。求：(1) EX、EY； (2)随机变量X, Y的协方差。关于X、Y的边缘

40、概率分布分别为X123P1/93/95/9Y123P5/93/91/922914从而得EXEY(2)EXYCov(X, Y )= EXYEXEY9361 2 3922 142 2 39163：36819 .游客乘电梯从低层到电视塔顶层观光，电梯每个整点的第5分钟、25分钟、55分钟从低层起行。假设一游客在早八点的第X分钟到达低层候梯处，且X在0 , 60上均匀分布，求该游客等候时间的数学期望。解：已知X在0,60上均匀分布，其概率分布为1,0x60其它f(x)600,设Y表示游客等候电梯时间(单位：分)5X,0X5Y g(X)25X,5X2555X,25X5560X5,55X60因此EY Eg

41、(Y)g(x) f (x)dx15256O0(5 X)dX 5(25160g(x)dx60 055x) dx+ 25(55 x)dx60(65 x)dx5535/3 11.67第四章随机变量及其分布三、解答题1 .已知随机变量X123Pk0.20.30.5X的概率分布为X E(X) 1向的概率。DX 0.61,故由切比雪夫不等式知,试利用切比雪夫不等式估计事件解：依题意，EX2.3所求事件的概率为P X EX1.5DX0.6112 120.72891.521.52第五章随机变量及其分布三、解答题1.设Xi，X2，, Xn为X的一个样本,其中X f (x,)1为未知参数，求(1)x ,0 x 1

42、0, 其它的极大似然法估计量。解：设x1,x2,xn为X1,X2,Xn观测值，则构造似然函数nL()(1)n(%)i1nlnLnln(1)Inxii1dlnLd解得的极大似然估计量为lnxilnXi2.设总体X的分布列为X10pkp1pX1,X2,，Xn为X的一个样本，求p的极大似然估计。解：设x1,x2,xn为X1,X2,Xn观测值，X的分布律为x.1x._p(x,p)p(1p)(x1,0)于是似然函数L(p)p(xi,p)i1nxpi1(1nlnLInpxii1ndlnLnxi1xp(1p)i1nnxp)i1n(nxjln(1p)i1ndpxinxi1i1p1pdp一xini13 .设 X1, X2,Xn为总体X的一个样本，且X的概率分布为k 1PX k (1 p) p, k 1,2,3,求p的极大似然估计值。x1,x2, xn为