《高等数学》第三章-微分中值定理与导数的应用的习题库

1、班级姓名学号第三章微分中值定理与导数的应用一、判断题1 .假设/*)定义在3,们上，在(a,b)内可导，那么必存在4e(a,b)使/隹)=0。()2 .假设/*)在,以上连续且/()=/()，那么必存在w(a,b)使/(乡=0。()3 .假设函数/*)在3,们内可导且独(x)=!5(x),那么必存在w(a,b)使/钻)=。()4 .假设/)在。，们内可导，那么必存在岁e(a,b),使/()_/(a)=/0)(一4)。()5 .因为函数/(1)=凶在7,1上连续，且/(-1)=/(1),所以至少存在一点五一1,1)使小)=。()6 .假设对任意xe(ag),都有/(幻=0,那么在(。，切内/(x

2、)恒为常数。()7 .假设对任意xe(a，)，都有/(x)=g(x),那么在内/(x)=g(x)。()8 .arcsinx+arccosx=-1Jo()29 .arctanx+arctanx=,xe(.+oo)o()210 .假设/(x)=x(xl)(x2)(x3),那么导函数/0)有3个不同的实根。()11 .假设/*)=。2-1)(一4),那么导函数/)有3个不同的实根。()“12xV(2x)()12 .lim=limrIJ122x-lJ2(2x-1)e-1ex-1.13 .lim=lim()dsinx人sinx14 .假设/(x)。那么f(x)0o15 .假设在(a,b)内/(x),g(

3、x)都可导,且f(x)g(x),那么在(以/力内必有/(x)g(x)。16 .函数/(x)=arctanx-x在R上是严格单调递减函数。()17 .因为函数/。)=凶在x=0处不可导，所以x=0不是“幻的极值点。()18 .函数/(x)=凶在x=0的领域内有/(x)/(0)，所以/(x)在x=0处取得极小值。()19 .函数产x-sinx在0,2m严格单调增加。()20 .函数y=/+x-l在(-oo,0严格单调增加。()21 .方程1+/+2.”1=0在(0,1)内只有一个实数根。()22 .函数)，=正在0,+s)严格单调增加。()23 .函数)，=潺在(-8,0严格单调减少。()24 .

4、假设/(不)=0那么不必为/(X。)的极值点。()25 .假设.%为/(x)极值点那么必有/(0)=0。()26 ./(幻=/在0处有(0)=0,所以x=0是/(x)的极值点。()27 .假设(%,/(%)为曲线y=/(x)的拐点，那么必有/(%)=0。()28 .假设/”(用)=0，那么(%,/(%)必为函数曲线y=/(x)的拐点。()29 .假设在I上，曲线总在它每一点的切线上方，那么曲线在I上是凹的。()30 .曲线)，=/一6工2+3在区间(0,1)内是凸的。()31 .曲线)，=山(犬一1)的图形处处是凹的。()32 .曲线)，=此3的拐点”0。()33 .曲线)，=1在(_s,0内

5、是凸的，在0,+s)内是凹的。()34 .曲线)，=也有水平渐近线)，=0。()X二、选择题1 .假设/(X)在(4,)内可导，2,工2是(，)内任意两点，且不人2，那么至少存在一点J使()A. =其中B. /)-/&)=/(2)Sf)，其中xbc-f(xl)-f(x2)=f()(x2-xl),其中再0/.J8xKT81f1sinx-xcosx-sinx-xcosx-xsinx1C. limcotx=lim；=lim；=lim-=-J。xx)3厂sinxdx332x_2xD. =-=1.J。sinxicosx()B.在R上单调增加D.在上单调增加6.函数/1)=1+1A.在R上单调减少7 .

6、/(x) = xlnx,那么A.在(0二)内单调增加C.在(0,+s)内单调减少8 .函数/(外=/6-、C.在(-口)上单调减少()B.在(g+s)内单调增加D.在(0,)内单调增加()A.没有极值B.既有极大值也有极小值C.只有极大值D.只有极小值9 .假设在区间(“,5)内函数/(0)0,/(0)0,/*(x)0,fx)0,/7%)0C.fx)0,fx)0D./*(x)011 .要使点(1.3)为曲线y=or3+取2的拐点那么4涉值应为()9339A.a=一,b=B.a=,b=-C.ci=3,b=6D.a=2,Z?=l222212 .点(1,2)是曲线)，=o?+加的拐点，那么()A.a

7、=0,b=2B.a=.b=C.a=2,b=0D.a=3,Z?=113 .曲线/*)=3/一工3在()A.在(-S,l)内是凸的，(1,+oe)内是四的B.在(1,+s)内是凸的，(-8,1)内是四的C.在(3,0)内是凸的，(0,+吟内是凹的D.在(0,+8)内是凸的，(3,0)内是凹的14 .2是函数y=/一312+6x-2在-1,1上的()A.极大值B.极小值C.最大值D.最小值15 .函数丁=2/_9/+1在0,2上的最大值点与最小值点分别是A.1,0B.1,2C.2,0D.2,116 .设f(x)=(lx)(2x+l),xe(f,)那么在(；,1)内曲线/*)单调()A.递增凹的B.递

8、减凹的17 .当x0,那么曲线y = xsin1 xA.仅有水平渐近线C.既有水平乂有垂直渐近线18 .曲线,，=匕-e-cA.仅有水平渐近线C.既有水里乂有垂直渐近线19 .曲线y = 的渐近线C.递增凸的D.递减凸的()B.仅有垂直渐近线D.既没有水平乂没有垂直渐近线()B.仅有垂直渐近线D.既没有水平乂没有垂直渐近线(),=0为水平渐近线 )，=1为水平渐近线 丁 = 0为水平渐近线 y = l为水平渐近线A.x=l为垂直渐近线,B.x=l为垂直渐近线,C.x=0为垂直渐近线,D.%=0为垂直渐近线,三、填空题1 .假设函数/(外在出,们上可导，那么至少存在一点4w(a,b)使得/&)=

9、32 .函数/*)=在(-1,1)内满足罗尔中值定理的点是=o+x3 .函数/(x)=x存7在(0,3)内满足罗尔中值定理的点是4=o4 .函数/(x)=2/在(-1,1)内满足拉格朗日中值定理的点是4=o5 .函数/(x)=d5x2+x2在(-1,0)内满足拉格朗日中值定理的点是=o6 .函数/(x)=sinx,g(x)=cosx,在xe(01)内满足柯西中值定理的点是4。7 .函数/(x)=x,g(x)=y,在xt(0,l)内满足柯西中值定理的点是4=o8 .函数x)=px2+在区间(心切内满足拉格朗日中值定理的点是4=9 .函数/(#=/一/g(x)=2x+l在区间(0,1)内满足柯西中

10、值定理的点是J=10 .函数f(x)=arctanx-x在(yo,+oo)上严格单调。11 .函数/(x)=x+2cosx在0,内的最大值点是-12 .函数/(x)=x-l+1的极大值点是，极小值点是x-113 .曲线y=e在区间上是凸的。14 .曲线丁=1一。-2)3的拐点是o15 .曲线,，=1+的水平渐近线为。+厂16 .曲线，=4/+1的垂直渐近线为oX17 .曲线,，=)的水平渐近线为o18 .曲线y=l+的水平渐近线为o+厂19 .曲线y二上21的斜渐近线为2(x1)320 .曲线y=-的垂直渐近线为o(x+3)(x-l)21 .曲线y:一-的斜渐近线为o(x+3)(x-1)四、求

11、解题1.IX一r-X+1e-e2. limJ。sinxe-e-23. lim7厂第三章微分中值定理与导数的应用共10页第11页5.limA-M)2xln(x+l)八sinx-sina6. hmfx-a8. lim一一7ln(x+l)x9. limx(ex-1)10.limx(-arctanx)jh211.lim xln(x + 2)-ln x12.In sin x Inn?.V(*2x)313.lim.VTX1In 1 + -x)arctan x14 . lim x tan x .v-0-115 . limx116 . lim(l + sinx)r xtO17 .求函数），=2?-9x2 +

12、12x-3的单调性和极值。18 .求函数），= （x+2）诂-I/的单调性和极值。19 .求函数的单调性和极值。20 .求函数/（x） = /t-1的单调性。21 .求函数/（的=/（1一月的单调区间并求极值。22 .求函数/*） =的单调区间并求极值。1 + k23.求函数/（幻=2/+3/-12x + 14在-3,4上的最值。24.求函数），=丁-3/9-2在-4,4上的最大值和最小值。25.求/（幻=2/ - 3/在- 1,4上的最值。26.求 /(X)= 2丁 + 3/ - 12x +14 在-3,4的最值。27.求曲线V =咫7的凸凹性及其拐点。五、证明题1.设a 0, 1证明：川广

13、10,1.1+xxa-bb3.Esina-sinb0证明：-In-lnZ?ababck5.证明当。v。h时，rarctanb-arctana0时,ex+xo8.当x0时,7.当x0时,+xn(x+J+x2)Jl+x9,证明/(x)=d+2x+l在(p,2)内只有一个零点。10. 1(Xn+yn)(三口”(x0,y0,xyji1)ox+V11. xlnx+yInx(x+y)In.(x0,y0,xy)o2六、应用)1.一个房产公司有50套公寓需要出租，当租金每套每月为1000元时，公寓会全部租出，当租金每月增加50元时，就会有一套公寓租不出去。租出去的房子需要每套花费100元的维护费。问房租定为多

14、少可获得最大收入?2 .有一块边长为6的正方形铁片，在每个角剪去一个边长同样的小正方形，然后将四角折起来，做成无盖的方盒。问为了使盒子体积最大，剪去小正方形的边长为多少的？3 .假设每英亩种植20棵核桃树，那么每年每棵树可以平均收获坚果60磅。据此估算核桃树的种植，假设每英亩增加种植一棵树(最多增种15棵)，那么平均每棵树年减产量减少2磅。问每英亩种植多少棵树会使亩产最大？最大亩产是多少？4 .某工厂要建造一个容积为2爪/立方米的带盖圆柱体，问半径r和高h如何确定，那么所用的材料最省？5 .某工厂要建造一个容积为4/立方米的无盖圆柱体，问半径r和高h如何确定，那么所用的材料最省？6 .要建一个体积为5乃立方米的无盖圆柱形的桶，底面用铜制，侧壁用铁制，每平方米铁片造价是。元，每平方米铜片造价是5。元，问该桶的底面半径r多大时总造价最