模糊控制的基本思想与数学基础

1、 了解模糊数学的相关理论了解模糊数学的相关理论 掌握模糊控制的基本思想掌握模糊控制的基本思想 掌握模糊控制器的结构与原理掌握模糊控制器的结构与原理 掌握模糊控制系统的设计方法掌握模糊控制系统的设计方法 由测量装置、控制器、被控对象及执行机构组成的由测量装置、控制器、被控对象及执行机构组成的自动控制系统，就是人们所悉知的常规负反馈控制自动控制系统，就是人们所悉知的常规负反馈控制系统。系统。图图3-1、3-2分别给出了手动控制和负反馈控制的方分别给出了手动控制和负反馈控制的方框图。框图。 图3-1 常规反馈控制系统方框图 图3-2 手动控制方框图模糊数学的创始人，著名的控制论专家扎德（Zadeh）

2、教授举过一个停车问题的例子，是非常富有启发性的问题。所谓停车问题是要把汽车停在拥挤的停车场上两辆车之间的一个空隙处。对于上述问题，从事控制理论研究者的解决方法是：令记车C上的一个固定参考点的位置，记车C的方位，于是建立车的状态方程和运动方程分别为 (311) (312),(x ),(uxfx 停车问题就转化为寻找一个控制量停车问题就转化为寻找一个控制量u(t)，使其在满足各，使其在满足各种约束的条件下把初始状态转移到终端状态中去。种约束的条件下把初始状态转移到终端状态中去。 汽车司机是这样操纵的，先让车向前运动，前轮先向右而后向左，然后使车向后运动，前轮仍先向右而后向左，经过多次反复，车将横向

3、移动一个所需要的距离，最后向前开停在空隙处。这样，汽车司机通过一些不精确的通过一些不精确的观察，执行一些不精确的控制，却达到了准确停车的目观察，执行一些不精确的控制，却达到了准确停车的目的。的。总结人的控制行为，正是遵循反馈及反馈控制的思想。人的手动控制决策可以用语言加以描述，总结成一系列条件语句，即控制规则。控制规则。 运用微机的程序来实现这些控制规则，微机就起到了控制器的作用。于是，利用微机取代人可以对被控对象进行自动控制。 在描述控制规则的条件语句中的一些词，如“较大”、“稍小”、“偏高”等都具有一定的模糊性，因此用模糊集合来描述这些模糊条件语句，即组成了所谓的模糊控制器。模糊控制器。

4、集合集合 一般指具有某种属性的、确定的、彼此间可以区别的事物的全体。元素或元元素或元 组成集合的事物。通常用大写字母A,B,CX,Y,Z表示集合，而用小写字母a,b,c,x,y,z表示集合内元素。论域论域 被考虑对象的所有元素的全体，一般用大写字母U表示。Zadeh在1965年对模糊集合的定义为：给定论域U，U到0,1闭区间的任一映射 1 , 0:UA都确定U的一个模糊集合A, 称为模糊集合且的隶属函数。 若若A中的元素用中的元素用x表示，则表示，则 称为称为x属于属于A的隶属度。的隶属度。 )(xA 的取值范围为闭区间的取值范围为闭区间0,1， 接近接近1，表示，表示x属于属于A的程度高；的

5、程度高； 接近接近0，表示，表示x属于属于A的程度低。的程度低。 )(xA)(xA)(xA模糊集合有很多表示方法，当论域U为有限集x1,x2,xn时，通常有以下三种方式：(1)Zadeh表示法表示法用论域中的元素xi与其隶属度 按下式表示A，则 )(iAx式中， 并不表示“分数”，而是表示论城中的元素xi与其隶属度 之间的对应关系；“+”也不表示“求和”，而是表示模糊集合在论域U上的整体。 iiAxx)()(iAx(2)序偶表示法序偶表示法用论域中的元素xi与其隶属度的构成序偶来表示且，则在序偶表示法中，隶属度为零的项可省略。(3)向量表示法向量表示法用论域中元素的隶属度的构成向量来表示，则在

6、向量表示法中，隶属度为零的项不能省略。若A是以实数R为论域的模糊集合，其隶属函数为 ，如果对任意实数，都有则称A为凸模糊集。凸模糊集实质上就是其隶属函数具有单峰值特性。 )(iAx例例3-1 在整数1，2，10组成的论域中，即论域Ul，2，10，用A表示模糊集合“几个”。并设其元素的隶属度依次为0，0，0.3，0.7，1，1，0.7，0.3，0，0。解：解：模糊集合A可表示为 或例例3-1 在整数1，2，10组成的论域中，即论域Ul，2，10，用A表示模糊集合“几个”。并设其元素的隶属度依次为0，0，0.3，0.7，1，1，0.7，0.3，0，0。解：解：当论域U为有限连续域时，Zadeh表示

7、法为UAxxA)(式中， 也不表示“分数”，而是表示论域中的元素x与其隶属度 之间的对应关系； 也不表示“积分”，而是表示模糊集合在论域U上的元素x与其隶属度 对应关系的一个整体。同样，在有限连续域表示法中，隶属度为0的部分可不写入。 xxA)()(xA)(xA例例3-2 若以年龄为论域，并设U0,200，设y表示模糊集合“年轻”，O表示模糊集合“年老”。已知“年轻”和“年老”的隶属函数分别为解：解：因为论域是连续的，因而“年轻”和“年老”的模糊集合Y和O分别为或 解：解：其隶属度函数曲线如图3-3所示。图3-3 “年轻”和“年老”的隶属度函数曲线隶属函数是对模糊概念的定量描述，正确地确定隶属

8、函数，是运用模糊集合理论解决实际问题的基础。 以实数域R为论域时，称隶属函数为模糊分布。常见的模糊分布有以下四种 (1)正态型正态型 正态型是最主要也是最常见的一种分布，表示为 其分布曲线如图3-4所示。图3-4 正态型分布曲线 (2) 型型式中， , 。当 时，隶属度函数为1。 00vvx其分布曲线如图3-5所示 图3-5 型分布曲线(3)戒上型戒上型式中，a0，b0。其分布曲线如图3-6所示。当a=0.2，b2，c=25时，即为“年轻”的隶属函数。(4)戒下型戒下型式中，a0，b0。其分布曲线如图3-7所示。当a=0.2，b-2，c=50时，即为“年老”的隶属函数。 图3-7 戒下型分布曲

9、线 (1)台集合台集合定义 为A的台集合。其意义为论域U中所有的 的x的全体。模糊集合只可在它的台集合上加以表示。0)(xA (2) 截集截集 定义 ，分别称为模糊集合A的强 截集和弱 截集。显然， 截集也为普通集合，且 0 AAs(3)正则模糊集合正则模糊集合若 则称A为正则模糊集合。 (4)凸模糊集合凸模糊集合若 则称A为凸模糊集合。 (5)分界点分界点 使得 的点x称为模糊集合A的分界点。(6)单点模糊集合单点模糊集合 在论域中，若模糊集合的台集合仅为一个点，且该点的隶属函数 ，则称A为单点模糊集合。 1)(xA( )0.5Ax (1)模糊集合的相等模糊集合的相等 若有两个模糊集合A和B

10、， 对于所有的xU，均有 ，则称模糊集合A等于B,记为A=B。)()(xxAB(2)模糊集合的包含模糊集合的包含若有两个模糊集合A和B，对于所有的xU，均有 ，则称模糊集合B包含A，记为 。( )( )BAxxBA(3)模糊空集模糊空集若对于所有的xU，均有 ，则称模糊集合A为空集，记为0)(xAA(4)模糊集合的并集模糊集合的并集若有三个模糊集合A、B和C，对于所有的xU，均有则称模糊集合C为A与B的并集，记为C=AB。(5)模糊集合的交集模糊集合的交集若有三个模糊集合A、B和C，对于所有的xU，均有则称模糊集合C为A与B的交集，记为C=AB(6)模糊集合的补集模糊集合的补集若有两个模糊集合

11、A和B，对于所有的xU，均有 ，则称B为A的补集，记为B=Ac。)(1)(xxAB(7)模糊集合的直积模糊集合的直积 若有两个模糊集合A和B，其论域分别为又X和Y，则定义在积空间XY上的模糊集合AB称为模糊集合A和B的直积直积，即上述定义表明，在集合A中取一元素a，又在集合B中取一元素b，就构成了(a,b)“序偶”，所有的(a,b)又构成一个集合。该集合即为AB。其隶属函数为或或 直积又称为笛卡儿积笛卡儿积或叉积叉积。 注：互补率不成立。(1)分解定理分解定理设A为论域U上的一个模糊集合， 是A的 截集， ，则有如下分解定理成立，即A 1 , 0式中， 表示语言变量x的一个模糊集合，称为 与

12、的“乘积”。 AA其隶属函数定义为例例3-3 求模糊集合的 截集， 。 1 , 0解：解：取分别为1，0.7，0.6，0.5，0.3，于是有将 截集写成模糊集合的形式则有由分解定理又可构成原来的模糊集合(2)扩张原则扩张原则设U和V是两个论域，f是U到V的一个映射,对U上的模糊集合A，可以扩张成)(:AfAf这里， 叫做f的扩张。A通过 映射成 时，规定它的隶属函数的值保持不变。在不会误解的情况下， 可以称为f。ff)(Aff分解定理和扩张原则是模糊数学的理论支柱。分解定理和扩张原则是模糊数学的理论支柱。分解定理是联系模糊数学和普通数学的纽带。分解定理是联系模糊数学和普通数学的纽带。扩张原则是

13、把普通的数学扩展到模糊数学的扩张原则是把普通的数学扩展到模糊数学的有力工具。有力工具。 1模糊关系模糊关系设X、Y是两个非空集合，则在直积中一个模糊集合称为从x到y的一个模糊关系，记为 。,),( YyXxyxYXyxR以上定义的模糊关系又称二元模糊关系二元模糊关系，当X=Y时，称为X上的模糊关系。 当论域为n个集合的直积, 2 , 1,),( 2121niXxxxxXXXiinn时，它所对应的为n元模糊关系。当论域 ， 是有限集合时，定义在XY上的模糊关系 可用如下的nm阶矩阵来表示，即,21nxxxX,21myyyYyxR这样的矩阵称为模糊关系矩阵。 例例3-4 设x为家庭中的儿子和女儿，

14、y为家庭中的父亲和母亲，对于“子女与父母长得相似”的模糊关系R，可以用以下模糊关系矩阵R表示。 2模糊关系的合成模糊关系的合成设X、Y、Z是论域， 是X到Y的一个模糊关系， 是Y到Z的一个模糊关系， 则 到 的合成也是一个模糊关系，记为yxRzySyxRzyS它具有隶属度二项积算子“x*y”可以定义为以下几种运算，其中x、y0，1当二项积算子“*”采用前两种运算时，它们分别称为最大最小合成和最大积合成，即或 当论域X、Y、Z为有限时，模糊关系的合成可用模糊关系矩阵来表示。设 、 、 三个模糊关系对应的模糊关系矩阵分别为yxRzxTzyS则 例例3-5 己知子女与父母相似关系的模糊关系矩阵R和父

15、母与祖父母相似关系的模糊关系矩阵S分别如下所示，求子女与祖父母相似关系的模糊关系矩阵。解：解：这是一个典型的模糊关系合成的问题。按最大最小合成规则有1模糊向量模糊向量 如果对任意的 都有 ，则称向量 为模糊向量。), 2 , 1(nii 1 , 0ix),(21nxxxx2模糊向量的笛卡儿乘积模糊向量的笛卡儿乘积 设有1n维模糊向量x和1m维模糊向量y，则定义 为模糊向量x和y的笛卡儿乘积。 yxyxT例3-6 己知两个模糊向量分别如下所示，求它们的笛卡儿乘积x=0.8 0.6 0.2，y=0.2 0.4 0.7 1解：解：笛卡儿乘积为3模糊向量的内积与外积模糊向量的内积与外积 设有1n维模糊

16、向量x和1n维模糊向量y，则定义为模糊向量x和y的内积。与内积的对偶运算称为外积。1模糊语言变量模糊语言变量模糊语言变量是自然语言中的词或句，它的取值不是通常的数，而是用模糊语言表示的模糊集合。 一个语言变量可由以下的五元体来表征 (x, T(x), U, G, M)式中，x是语言变量的名称；T(x)是语言变量值的集合；U是x的论域；G是语法规则，用于产生语言变量x的名称； M是语义规则，用于产生模糊集合的隶属函数。图3-8 误差语言变量的五元体示意图2.模糊蕴含关系模糊蕴含关系 在模糊逻辑中，模糊逻辑规则实质上是模糊蕴含关系。在模糊逻辑推理中有很多定义模糊蕴含的方法，最常用的一类模糊蕴含关系

17、是广义的肯定式推理方式即此处，A、 、B、 均为模糊语言。 AB对于模糊前提“如果x是A，则y是B”，它表示了模糊语言A与B之间的模糊蕴含关系，记为AB在模糊逻辑控制中，常用的模糊蕴含关系的运算方法有以下几种，其中前两种常用。(1)模糊蕴含的最小运算模糊蕴含的最小运算(2)模糊蕴含的积运算模糊蕴含的积运算(3)模糊蕴含的算术运算模糊蕴含的算术运算在模糊逻辑控制中，常用的模糊蕴含关系的运算方法有以下几种，其中前两种常用。(4)模糊蕴含的最大最小运算模糊蕴含的最大最小运算(5)模糊蕴含的布尔运算模糊蕴含的布尔运算在模糊逻辑控制中，常用的模糊蕴含关系的运算方法有以下几种，其中前两种常用。(6)模糊蕴

18、含的标准法运算模糊蕴含的标准法运算(1)(7)模糊蕴含的标准法运算模糊蕴含的标准法运算(2)1简单模糊条件语句简单模糊条件语句对于上面介绍的广义肯定式推理，结论 是根据模糊集合 和模糊蕴含关系AB的合成推出来的，因此可得如下的模糊推理关系RABAAB)(式中，R为模糊蕴含关系，“ ”是合成运算符。 BA例例3-7 若人工调节炉温，有如下的经验规则：“如果炉温低，则应施加高电压”，当炉温为“非常低”时，应施加怎样的电压。 解：解：设x和y分别表示模糊语言变量“炉温”和“电压”，并设x和y的论域为 X=Y=1,2,3,4,5A表示炉温低的模糊集合B表示高电压的模糊集合表示高电压的模糊集合从而模糊规

19、则可表述为：“如果x是A，则y是B”。设为非常A，则上述问题变为“如果x是 ，则 应是什么”。为了便于计算，将模糊集合A和B与成向量形式AABA=1 0.8 0.6 0.4 0.2，B=0.2 0.4 0.6 0.8 1由于该例中x和y的论域均是离散的，因而模糊蕴含关系Kc可用如下模糊矩阵来表示当 =“炉温非常低”= A2 = 1 0.64 0.36 0.16 0.04时其中 中的每项元素是根据模糊关系矩阵的合成规则求出的，如第1行第1列的元素为B这时，推论 结果仍为“高电压”。B2多重模糊条件语句多重模糊条件语句1)使用“and”连接的模糊条件语句在模糊逻辑控制中，常常使用如下的广义肯定式推理方式2多重