北交大数字信号处理5小波分析

1、数字信号处理课程研究性学习报告试点班专用姓名 学号 同组成员 指导教师 陈后金 时间 小波分析专题研讨【目的】(1 掌握正交小波分析的基本原理。(2 学会Haar小波分解和重建算法，理解小波分析的物理含义。(3 学会用Matlab计算小波分解和重建。(4 了解小波压缩和去噪的基本原理和方法。【研讨题目】 基本题 【题目目的】: (1掌握小波变换分解和重建算法的基本原理和计算方法； (2掌握小波变换中Haar基及其基本特性；8-1 (1试求信号2, 2, 2, 4, 4, 4T的Haar小波一级变换系数。(2将Haar小波一级变换系数中的细节分量 置零，试计算由系数 重建的近似信号， 求出与间的

2、最大误差。解：(1,(28-2 (1 试求信号2, 2, 4, 6,2,2,2, 0T 的Haar小波三级变换系数。(2 计算由重建的近似信号， 求出与间的最大误差;(3 计算由重建的近似信号， 求出与间的最大误差;(4 计算由重建的近似信号， 求出与间的最大误差;(5 计算由重建信号。(6 比较(2(3(4(5所获得的结果。【问题探究】若小波变换中滤波器的长度是6，试分析分解算中输出序列的长度？与Haar基相比较有何不同？ 仿真程序：wname='db1'x=2, 2, 4, 6,-2,-2,-2, 0;stem(x;title('原信号'C,L = wave

3、dec(x,3,wname figure ;stem(C;title('c3|d3|d2|d1'a3=wrcoef('a',C,L,wname,3;figure ;subplot(1,2,1;stem(a3;title('a3'subplot(1,2,2;stem(x-a3;title('Error3'a2=wrcoef('a',C,L,wname,2;figure ;subplot(1,2,1;stem(a2;title('a2'subplot(1,2,2;stem(x-a2;title('

4、;Error2'a1=wrcoef('a',C,L,wname,1;figure ;subplot(1,2,1;stem(a1;title('a1'subplot(1,2,2;stem(x-a1;title('Error1'a0=waverec(C,L,'db1'figure ;subplot(1,2,1;stem(a0;title('a0'subplot(1,2,2;stem(x-a0;title('Error0'计算结果为：a3 = 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

5、 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000误差3 =1.0000 1.0000 3.0000 5.0000 -3.0000 -3.0000 -3.0000 -1.0000a2 =3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 -1.5000 -1.5000 -1.5000 -1.5000误差2 =-1.5000 -1.5000 0.5000 2.5000 -0.5000 -0.5000 -0.5000 1.5000a1 =2.0000 2.0000 5.0000 5.0000 -2.0000 -2.0000 -1.0000 -1.0000误差1=1.0e-014 *-0.

6、1332 -0.1332 -0.1776 -0.1776 0.0444 0.0444 0.0888 0.0222a0 =20000 2.0000 4.0000 6.0000 -2.0000 -2.0000 -2.0000 -0.0000误差0 =1.0e-014 *-0.1332 -0.1332 -0.1776 -0.1776 0.0444 0.0444 0.0888 0.0222经分析可得：用部分小波系数重建信号时，随着小波系数中细节信息d的增加，x与a见的最大误差逐渐减小，信号重建误差逐渐减小。【问题探究】若小波变换中滤波器的长度是6，试分析分解算中输出序列的长度？与Haar基相比较有何不

7、同？ 输出长度为11，与Haar基比较，低频分量较多。讨论题8-3 已知信号x(t 在区间0，20的值为x(t= 2<t<4- 6<t<9+214<t<18 - 10<t<11在区间0，20均匀抽样1024点得序列xk。(1画出信号xk的波形；(2用函数wavedec计算5级Haar小波变换系数，并画出Haar小波系数的波形，验证小波系数满足能量不变性，即*(3对(2中计算出的小波变换系数进行如下的处理即对小波系数进行了取门限的处理。若要求取门限后的非零小波系数能保留信号能量的99.9%， 试确定门限值T，非零系数个数L， 用函数waverec计

8、算由L个非零系数重建信号的波形及最大误差。*(4用db2基，重复(3， 比较Haar基和db2基所得结果。【题目分析】【仿真结果】【结果分析】(2 可以由图像看出值较大的系数集中在低频部分。同时经Matlab计算可知 E1 = 1123E2 = 1.1230e+03m = 4.5475e-13，可知误差很小，即小波系数满足能量不变性。(3db1小波确定门限值T= 0.3400；非零系数N=54；最大误差e= 6.6613e-16；分析：经过阈值处理后，只需要54个点即可保留原1024个点的能量，将信号重建出来。(4db2小波确定门限值T= 0.087322717267185；非零系数N= 57

9、6；最大误差e= 2.155386980007279e-12经过两种小波信号的变换结果可以发现：采用db2小波基门限值降低，也就是说更多的噪声信号留下来，表现为非零系数增多，从db1的54个增加到576个，同时最大误差增大。所以分段函数的小波基采用db1比较合适。【自主学习内容】Wthresh函数的使用【仿真程序】（1）t=linspace(0,20,1024x=(2 plot(t,xaxis(0,20,-2,2（2）t=linspace(0,20,1024x=(2 C,L = wavedec(x,6,'db1'plot(t,CE1=sum(x.*xE2=sum(C.*Cm=a

10、bs(E1-E2（3）t=linspace(0,20,1024x=(2 C,L = wavedec(x,6,'db1'wavsum=sum(C.*C;T=max(abs(C;f=zeros(1,length(C;while sum(f.*f<0.99995*wavsumf=wthresh(C,'h',TT=T-0.01;endN=0;for n=1:length(Cif C(n=0N=N+1;endenda=waverec(C,L,'db1'subplot(311;plot(x;title('原信号'axis(0,1024,

11、-2,3;subplot(312;plot(a;title('重建信号'axis(0,1024,-2,3;subplot(313;plot(x-a;title('误差'a=max(x-a;(4t=linspace(0,20,1024x=(2 C,L = wavedec(x,6,'db2'wavsum=sum(C.*C;T=max(abs(C;f=zeros(1,length(C;while sum(f.*f<0.99995*wavsumf=wthresh(C,'h',TT=T-0.01;endN=0;for n=1:leng

12、th(Cif C(n=0N=N+1;endenda=waverec(C,L,'db2'subplot(311;plot(x;title('原信号'axis(0,1024,-2,3;subplot(312;plot(a;title('重建信号'axis(0,1024,-2,3;subplot(313;plot(x-a;title('误差'a=max(x-a;8-4 对连续信号x(t=20t2(1-t3cos(10t在区间0，1均匀抽样1024点得离散信号xk (1画出信号x(t的波形；(2用Matlab提供的函数wfilters求出

13、db6小波中的滤波器，计算db6小波中的高通滤波器的长度N(N一定为偶数，验证db6小波中的高通滤波器满足，(3 下面讨论用部分的小波系数近似表示信号的问题。 用函数wavedec计算db6小波的5级小波变换系数，若要求非零的小波系数可保留信号能量的99.9%，试确定所需小波系数的个数L。计算由L个幅度最大的小波系数获得的重建信号及重建信号的最大误差。；(4用db2小波基，重复(2-(3；(5 用db12小波基，重复(2-(3；。(6分析讨论所获得的结果。【题目分析】db p (p为正整数系列小波是一组重要的基本的正交小波，在实际中有着广泛的应用。本题的主要目的为(1通过实验了解db p系列小

14、波特性；(2在实际应用中常希望能选择一合适的小波基，使得可用较少的小波系数就能描述信号的基本特征。通过实验请你发表你对小波基选择看法。【仿真结果】Db6其中S表示验证误差，i=L表示小波非零值，maxw表示重建最大误差，M表示高通滤波器的长度Db2Db12【结果分析】通过观察结果可以发现，db p 中的p值越高高通滤波器的阶数越高，拟合误差越小，拟合效果越好，可以发现db2的模拟非零值需要最多，可以发现同在99.9%的能限下，db2的分解系数更加分散，误差偏大。所以增大p值，需要的非零值越少，db p分解的系数更加集中。【自主学习内容】Sort函数的学习【阅读文献】【发现问题】 (专题研讨或相

15、关知识点学习中发现的问题：【问题探究】【仿真程序】t=linspace(0,1,1024;x=20*t.2.*(1-t.3.*cos(10*pi*t;plot(t,x;ld hd lr hr=wfilters('db6'M=length(hd;k=1:M;S=sum(k.2.*hdC,L=wavedec(x,5,'db6'kc=1:length(C;E=sum(x.2;sort_c=sort(abs(C,'descend'i=1;Em=E*0.999;E0=0;while E0 E0=E0+sort_c(i.2;i=i+1;endi=i-1T=s

16、ort_c(iCm=C;for j=1:length(Cif abs(Cm(j Cm(j=0;endendxrec=waverec(Cm,L,'db6'subplot(131;plot(t,x;title('原始信号'subplot(132;plot(t,xrec;title('重建信号'subplot(133;plot(t,x-xrec;title('差值'maxw=max(abs(x-xrec8-5 对连续信号x(t=40t2(1-t4cos(12t0<t<1 +40(t-14(2-t2cos(80t1<t&

17、lt;2+0.1n(t在区间0，2均匀抽样4096点得离散信号xk，其中n(t是零均值方差为1的高斯噪声(1画出信号x(t的波形；(2计算并画出db7小波的6级小波变换系数；(3通过观察小波系数，确定一个门限值，使小于该门限值的小波系数为零；(4画出去噪后的信号波形，求出最大的重建误差；(5用Haar小波基，重复(2-(4；(6用db14小波基，重复(2-(4；(7比较基的选择对去噪效果的影响。【题目分析】小波去噪的核心思想是认为信号主要成分对应的小波变换的系数大，噪声成分对应的小波变换的系数小。正、逆变换都可以调用MATLAB提供的函数来成，问题的关键在于阈值的选择，先要通过观察系数的大小有

18、一个大致的判断，再通过反复的实验去选择。【仿真结果】1.db7小波基最大重建误差 0.21312.Haar小波基最大重建误差 0.03723.db14小波基最大重建误差 0.0898【结果分析】总的来说，这三种基都达到了去噪的效果。但在信号的重构问题上，Haar小波基在波形上的失真比较严重，本应光滑过渡的曲线变为了阶梯状，我认为原因在于Haar小波本身就是一个矩形波造成的。另外两种基对信号的形状保持较好。【仿真程序】%Wavelet,8-5close all;clear all;clc;t=linspace(0,2,4096;n=normrnd(0,1,1,4096;%产生零均值方差为1的高斯噪声x=(40*t.2.*(1-t.4.*cos(12*pi*t.*(t>0&t<1+(40*(t-1.4.*(2-t.2.*cos(80*pi*t.*(t>=1&t<2+0.1*n;C1,L1=wavedec(x,6,'db7'figure(1;stem(C1,'.'title('小波变换的系数（db7小波）'lev=0.5;for k=1:length(C1if(abs(C1(k C1(k=0;endendX=waverec