任务8.3 梁的弯曲正应力如何计算

1、任务三 梁的弯曲正应力如何计算& 知识点 横力弯曲和纯弯曲 纯弯曲时梁横截面上的正应力分布规律 弯曲正应力的计算方法& 技能点 能够计算出弯曲梁横截面上各点的正应力以及梁上的最大弯曲正应力& 任务分析平面弯曲是工程实际中最常见的一类弯曲变形。通常在横截面上既存在剪力，又存在弯矩，这种弯曲称为横力弯曲。在有些情况下，梁上只存在弯矩而剪力为零，这种弯曲称为纯弯曲。如图8-11中，梁CD段上的剪力为零，只存在弯矩，所以CD段发生纯弯曲变形。图 8-11纯弯曲是最简单的一种弯曲形式，本任务将研究纯弯曲梁横截面上的应力分布特点及应力的计算方法。& 任务实施为了研究梁横截面

2、上的正应力分布规律，取一矩形截面等直梁，在表面标示一些平行于梁轴线的纵线和垂直于梁轴线的横线，如图8-12（a）所示。在梁的两端施加一对位于梁纵向对称面内的力偶，梁任意横截面上的内力只有弯矩而无剪力，此梁为纯弯曲梁。梁发生弯曲变形后如图8-12(b)所示，我们可以观察到以下现象：(1) 两条横向线mn和m1n1仍是直线且仍与梁的轴线正交，只是相互倾斜了一个角度。(2) 纵向线aa1和bb1（包括轴线）都变成了弧线。(3) 梁横截面的宽度发生了微小变形，在压缩区变宽了些，在拉伸区则变窄了些，如图8-12 (c)所示。图 8-12可以看出，梁下部的纵向纤维受拉伸长，上部的纵向纤维受压缩短，其间必有

3、一层纤维既不伸长也不缩短，这层纤维称为中性层，如图8-13所示。中性层和横截面的交线称为中性轴，即图中的z轴。可以看出，梁的横截面绕z轴转动了一个微小角度。图 8-13 从变形几何关系可以推出梁内任一纵向纤维的线应变与它到中性层的距离y成正比。因此，矩形截面梁在纯弯曲时的正应力的分布有如下特点：(1) 中性轴上的线应变为零，所以其正应力亦为零。 (2) 距中性轴距离相等的各点，其线应变相等。根据胡克定律，它们的正应力也相等。 (3) 在图示的受力情况下，中性轴上部各点正应力为负值，下部各点正应力为正值。(4) 正应力沿y轴线性分布，如图8-14所示。最大正应力发生在离中性轴最远的上、下边缘处。

4、根据变形的物理关系和静力学关系可以得出结论： （8-1）式中，为横截面上任一点处的正应力；M为横截面上的弯矩；y为计算正应力的点到中性轴的距离；IZ为横截面对中性轴z的惯性矩，是一个几何常量，单位为cm4 或mm4。图 8-14上式是梁纯弯曲时横截面上任一点的正应力计算公式，应用时M及y均可用绝对值代入。至于所求点的正应力是拉应力还是压应力，可根据梁的变形情况确定：以中性轴为界，梁变形后靠凸的一侧受拉应力，靠凹的一侧受压应力。另外，弯矩为正，梁的下部受拉；弯矩为负，上部受拉。横截面上最大正应力发生在距中性轴最远的各点处，即 （8-2）令，则 （8-3）式中，WZ称为抗弯截面模量，是衡量截面抗弯

5、强度的一个几何量，其值与横截面的形状和尺寸有关，单位为cm3或mm3。对于常见截面：矩形b×h （8-4） （8-5）圆形截面 （8-6） （8-7）若圆环形截面的内外径之比为=d/D，则 （8-8） （8-9） 公式是在梁纯弯曲的情况下导出来的。对于一般的梁来说，横截面上除弯矩外还有剪力存在，这样的弯曲也称为剪切弯曲。在剪切弯曲时，横截面将发生翘曲，平面假设不再成立。但由较精确的分析证明，对于跨度l与截面高度h之比大于5的梁，用该公式计算其正应力所得结果误差很小。在工程上常用的梁，通常其跨高比远大于5，因此该公式可以足够精确地推广应用于剪切弯曲的情况。例8-7 如图8-15所示的T形截面梁，z为中性轴。已知A点的拉应力为=40MPa，点A到中性轴的距离y1=10mm，同截面上B，D两点到中性轴的距离分别为y2=8mm，y3=30mm。求： B，D两点的正应力大小和正负； 该截面上的最大拉应力。图 8-15解 (1) 求B，D两点的正应力大小和正负。由于，所以，于是有因为A，B位于中性轴同侧，所以B点所受应力也为拉应力，