实验7 矩阵与线性方程组

1、实验7矩阵与线性方程组实验目的：掌握matlab求矩阵的秩命令掌握matlab求方阵的行列式命令理解逆矩阵概念，掌握matlab求逆矩阵命令会用matlab求解线性方程组实验内容：矩阵的秩.指令rank(A)将给出矩阵A的秩例：a=3 2 -1 -3 -2;2 -1 3 1 -3;7 0 5 -1 -8 a = 3 2 -1 -3 -2 2 -1 3 1 -3 7 0 5 -1 -8 rank(a) ans = 2 方阵的行列式.指令det(A)给出方阵A的行列式.例：b=1 2 3 4;2 3 4 1;3 4 1 2;4 1 2 3; det(b) ans = 160 det(b')

2、 ans = 160 c=b;c(:,1)=2*b(:,1); det(c) ans = 320 det(b(:,3 2 1 4) ans = -160 d=b;d(2,:); det(d) ans = 160 你能解释上例中的运算结果吗?在这里我们实际上验证了行列式的性质逆矩阵指令inv(A)给出方阵A的逆矩阵，如果A不可逆，则inv(A)给出的矩阵的元素都是Inf例：设，求的逆矩阵解：输入指令：A=1 2 3;2 2 1;3 4 3;B=inv(A) B = 1.0000 3.0000 -2.0000 -1.5000 -3.0000 2.5000 1.0000 1.0000 -1.0000

3、 还可以用伴随矩阵求逆矩阵，打开m文件编辑器，建立一个名为companm的M-文件文件内容为： function y=companm(x) n,m=size(x); y=; for j=1:n; a=; for i=1:n; x1=det(x(1:i-1,i+1:n,1:j-1,j+1:n)*(-1)(i+j); a=a,x1; end y=y;a; end 利用该函数可以求出一个矩阵的伴随矩阵 输入命令：C=1/det(A)*companm(A) C = 1.0000 3.0000 -2.0000 -1.5000 -3.0000 2.5000 1.0000 1.0000 -1.0000 利用

4、初等变换也可以求出逆矩阵，构造n行2n列的矩阵(A E)，并进行行初等变换，当把A变为单位矩阵时，E就变成了A的逆矩阵利用matlab命令rref可以求出矩阵的行简化阶梯形输入命令：D=A,eye(3) D = 1 2 3 1 0 0 2 2 1 0 1 0 3 4 3 0 0 1 rref(D) ans = 1.0000 0 0 1.0000 3.0000 -2.0000 0 1.0000 0 -1.5000 -3.0000 2.5000 0 0 1.0000 1.0000 1.0000 -1.0000 线性方程组的求解是用矩阵除来完成的,，当且可逆时，给出唯一解这时矩阵除相当于；当时，矩阵

5、除给出方程的最小二乘解；当时，矩阵除给出方程的最小范数解 例：解方程组：解：输入命令： a=1 -1 1 2;1 1 -2 1;1 1 1 0;1 0 1 -1; b=1;1;2;1; x=ab x = 0.8333 0.7500 0.4167 0.2500 输入命令： z=inv(a)*b z = 0.8333 0.7500 0.41670.2500 例：解方程组：解：方程的个数和未知数不相等，用消去法，将增广矩阵化为行简化阶梯形，如果系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩，则方程组无解；如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，则方程组有解，方程组的解就是行简化阶梯形所对应的方程组的解输入命令： a=2 1 1 -1 -2 2;1 -1 2 1 -1 4;2 -3 4 3 -1 8; rref(a) ans = 1 0 0 0 0 0 0 1 0 -1 -1 0 0 0 1 0 -1 2 由结果看出，,为自由未知量，方程组的解为： 例：解方程组：解：输入命令： a=1 -1 -1 1;1 -1 1 -3;1 -1 0 -1;1 -1 -2 3; rref(a) ans = 1 -1 0 -1 0 0 1 -2 0 0 0 0 0 0 0 0 由结果看出，,为自