材料力学教案第4章扭转

1、1 第四章 §41 引言 §42 外力偶矩和扭矩 §43 薄壁圆筒的扭转 扭 转 §44 圆轴扭转时的应力 · 强度计算 §45 圆轴扭转时的变形 · 刚度计算 §46 非圆截面杆扭转简介 *圆轴扭转超静定问题 圆轴扭转超静定问题 2 §41 引 言 轴： 工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、 石油钻机中的钻杆、汽车转向轴、搅拌器轴等。 受力特点： . 受力特点：在垂直于杆轴线的平面内作用有力偶. 变形特点： 变形特点：任意横截面绕杆轴相对转动。（杆表面纵线螺 旋线扭转变形） A B O A

2、 m O B 3 m 扭转角(相对扭转角 （ ）：任意两横截面绕轴线转动而 扭转角 相对扭转角（）： 相对扭转角 发生的角位移。 剪应变(切应变 （ 剪应变 切应变（）：直角的改变量。 切应变 A m O B m 4 工 程 实 例 5 §42 一、外力偶矩 外力偶矩和扭矩 使杆件产生扭转变形的力偶矩。数值上等于杆件所受外 力对杆轴的力矩。 传动轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系： P m = 9.55 (kN m n P m = 7.024 (kN m n 其中：P 功率，千瓦（kW） n 转速，转/分（rpm） 其中：P 功率，马力（PS） n 转速，转/分（rpm） 6 1kW

3、 = 1000N·m/s = 1.36PS 二、扭矩及扭矩图 1 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。 扭矩： 2 截面法求扭矩 mx = 0 T m = 0 T =m 3 扭矩的符号规定： 扭矩的符号规定： m m m T x 的转向与截面外法线方向满足右手螺旋法则为正， “T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋法则为正， 的转向与截面外法线方向满足右手螺旋法则为正 反之为负。 反之为负。 7 4 扭矩图：表示扭矩沿轴线方向变化规律的图线。 扭矩图 表示扭矩沿轴线方向变化规律的图线。 目 的 |T|max 。 扭矩变化规律 T x 8 例1已知：一传动轴， n =30

4、0r/min，主动轮输入 P1=500kW， 例 从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩 图。 解：计算外力偶矩 m2 m3 m1 m4 P 500 m = 9.55 1 = 9.55 1 n 300 A =15.9(kN m n B C D P 150 m = m = 9.55 2 = 9.55 = 4.78(kN m 2 3 n 300 P 200 4 m = 9.55 = 9.55 = 6.37 (kN m 4 n 300 9 求扭矩（扭矩按正方向设） 求扭矩（扭矩按正方向设） mC = 0 , T + m = 0 1 2 T = m = 4.78k

5、N m 1 2 m2 1 m3 2 m1 3 m4 T +m +m = 0 , 2 2 3 T m = 0 , 3 4 T = m = 6.37kN m 2 4 A 1 B 2 C n 3 D T = m m = (4.78 + 4.78 = 9.56kN m 2 2 3 求扭矩: 任意截面的扭矩 数值上等于截面一侧轴段所有外力 任意截面的扭矩,数值上等于截面一侧轴段所有外力 求扭矩 偶矩的代数和. 转向与这些外力偶矩的合力偶矩之转向相反. 偶矩的代数和 转向与这些 外力偶矩的合力偶矩之转向相反 10 绘制扭矩图 T max = 9.56 kN m BC段为危险截面。 段为危险截面。 段为危险

6、截面 m2 m3 m1 m4 n A T 4.78 9.56 11 B C D 6.37 x §43 薄壁圆筒的扭转 薄壁圆筒： 薄壁圆筒：壁厚 t 1 r0 （r0：为平均半径） 10 一、实验： 实验： 1.实验前： 实验前： 实验前 绘纵向线，圆周线； 绘纵向线，圆周线； 施加一对外力偶 m。 。 12 2.实验后： 实验后： 实验后 圆周线的大小、形状、 圆周线的大小、形状、 间距不变； 间距不变； 纵 向线变成斜直线， 向线变成斜直线， 倾 角相同。 角相同。 3.结论：各圆周线的间距均未改变横截面上无正应力 结论： 各圆周线的间距均未改变 横截面上无正应力 横截面上无正应

7、力. 结论 圆周线的形状、大小均未改变，只是绕轴线作了相对 圆周线的形状、大小均未改变， 转动周向无正应力 转动 周向无正应力 横截面上有切应力. 纵向线倾斜横截面上有切应力 纵向线倾斜 横截面上有切应力 切应力均匀分布. 各纵向线均倾斜了同一微小角度 切应力均匀分布 切应力均匀分布 13 微小矩形单元体如图所示： 微小矩形单元体如图所示： 横截面上无正应力 周向无正应力 横截面上各点处，只产生 垂直于半径的均匀分布的切应力 a c b d ，沿周向大小不变，方向与该 截面的扭矩方向一致。 14 二、薄壁圆筒切应力 与剪应变： 切应力 切应力 A dA r0 = T r0 AdA = r0 2

8、 r0 t = T T T = = 2 2 r0 t 2 A 0 t A0：平均半径所作圆的面积。 剪应变 剪应变 L = R = R/ L A m O B 15 m 三、切应力互等定理： 切应力互等定理： a dy ´ dx ´ b mz = 0 c z d t t dxdy = t dxdy 故 = 切应力互等定理。 上式称为切应力互等定理 切应力互等定理 该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，切应 在单元体相互垂直的两个平面上， 在单元体相互垂直的两个平面上 力必然成对出现，且数值相等， 力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交 线，其方向则共同指向或共

9、同背离该交线。 其方向则共同指向或共同背离该交线。 16 单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用， 单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用，这 种应力状态称为纯剪切应力状态。 种应力状态称为纯剪切应力状态。 纯剪切应力状态 四、剪切虎克定律： 剪切虎克定律： 薄壁圆筒体扭转实验 17 T=m 在一定范围内 T ( 2 A 0t ( L / R 剪切虎克定律： 剪切虎克定律：当切应力不超过材料的剪切比例极限时 在弹性范围内， （ p (在弹性范围内 ，切应力与剪应变成正比关系。 在弹性范围内 切应力与剪应变成正比关系。 18 =G 式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因 无

10、量纲，故G的量纲与 相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢 材的G值约为80GPa。 剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三 个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系 （推导详见后面章节）： G= E 2(1+ µ 可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量 就可以推算出来。 19 §44 圆轴扭转时的应力 · 强度计算 一、等直圆轴扭转实验观察： 等直圆轴扭转实验观察： 1. 横截面变形后 仍为平面； 仍为平面； 2. 轴向无伸缩； 轴向无伸缩； 3. 纵向线变形后仍为平行。 纵向线变形后仍为平行。 变形几何方面 圆轴横截面应

11、力 物理关系方面 静力学方面 20 21 二、等直圆轴扭转时横截面上的应力： 等直圆轴扭转时横截面上的应力： 1. 变形几何关系： 变形几何关系： G1G d = tg = dx dx d = dx 成正比。 距圆心为 任一点处的与到圆心的距离成正比。 d 扭转角沿长度方向变化率(单位长度扭转角。 dx 22 2. 物理关系： 物理关系： 胡克定律： = G dx dx 代入上式得： = G = G d = G d d = G dx 距圆心等距离处的切应力相等 23 3. 静力学关系： 静力学关系： dA T = A dA d = A G dA dx 2 O d =G A 2dA dx d T

12、 = GI p dx 令 I p = A 2dA d T = dx GIp d 得： 代入物理关系式 = G dx T = Ip 24 T = Ip 横截面上距圆心为处任一点切应力计算公式。 4. 公式讨论： 公式讨论： 仅适用于各向同性、线弹性材料， 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面 直杆。 直杆。 式中： 横截面上的扭矩， 式中：T横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。 横截面上的扭矩 由截面法通过外力偶矩求得。 该点到圆心的距离。 该点到圆心的距离。 该点到圆心的距离 Ip极惯性矩，纯几何量，无物理意义。 极惯性矩， 极惯性矩 纯几何量，无物理意义。 25 I p

13、= A 2dA 单位： 单位：mm4，m4。 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆， 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆， 只是I 值不同。 只是 p值不同。 对于实心圆截面： I p = A dA 2 d = 2 d 2 D 2 0 O D = 2 4 D 2 0 4 = D 4 32 26 对于空心圆截面： d I p = A dA 2 = 2 d 2 D 2 d 2 d O D = = 32 (D d 4 4 4 d ( = D D 32 (1 4 27 应力分布 （实心截面） （空心截面） 工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料， 结构轻便，应用广泛。 2

14、8 确定最大切应力： 确定最大切应力： 由 T = Ip D T 2 = Ip 知：当 D =R= , 2 max D 2 max = Ip T D 2 T = (令 W t = I p Wt max T = W t Wt 抗扭截面系数（抗扭截面模量）， 几何量，单位：mm3或m3。 对于实心圆截面： 对于空心圆截面： Wt = I p R = D 3 16 Wt = I p R = D 3 (1 4 16 29 三、等直圆杆扭转时斜截面上的应力 低碳钢试件： 沿横截面断开。 铸铁试件： 沿与轴线约成45°的 螺旋线断开。 因此还需要研究斜截面上的应力。 30 M 1. 点M的应力单

15、元体如图(b： 2. 斜截面上的应力； (a 取分离体如图(d： x ´ (b (c ´ (d 31 ´ (d n 转角规定： x 轴正向转至截面外法线 ´ t 由平衡方程： 逆时针：为“+” 顺时针：为“” Fn = 0 ; dA + (dAcos sin + ( dAsin cos = 0 Ft = 0 ; dA (dAcos cos + ( dAsin sin = 0 = 解得： = sin2 ; = cos2 32 = sin2 ; = cos2 分析： 当 = 0°时， 当 = 45°时， 0° = 0 , 0&#

16、176; = max = 45 ° = min = , 45 ° = 0 90 ° = 0 , 90 ° = max = 由此可见：圆轴扭转时，在横截 当 = 45°时， 45 ° = max = , 45 ° = 0 当 = 90°时， 面和纵截面上的切应力为最大值；在 45° ° 方向角 = ± 45°的斜截面上作用有最 大压应力和最大拉应力。根据这一结 ´ 论，就可解释前述的破坏现象。 33 四、圆轴扭转时的强度计算 强度条件： 强度条件： max ( 称为许

17、用切应力。 Tmax 对于等截面圆轴： 对于等截面圆轴： Wt 静载下: 静载下 = ( 0.5 0.6 ( 钢 = ( 0.8 1.0 ( 铸铁 强度计算三方面： 强度计算三方面： 校核强度： max Tmax = Wt 设计截面尺寸： Wt Tmax 实： D3 16 3 Wt D（ 4） 空： 16 1 34 计算许可载荷： Tmax Wt 例2 功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图， 许用切应力 =30M Pa, 试校核其强度。 m m 解：求扭矩及扭矩图 A B D3 =135 m C D2=75 D1=70 TBC T P = m = 9.55 n 150 =

18、9.55 (kN m 15 .4 × 60 = 1.55(kN m x T 1.55 ×103 = = = 23MPa 3 Wt × 0.07 16 35 计算并校核切应力强度 max 此轴满足强度 要求。 §45 圆轴扭转时的变形 · 刚度计算 一、扭转时的变形 由公式 d T = dx GIp 知：长为 l一段等截面杆两截面间相对扭转角 为 长为 一段等截面杆两截面间 一段等截面杆两截面间相对扭转角 T dx = d = GI p l 0 单位: 弧度(rad 单位 弧度 36 = Tl (若T 值不变） GI p 二、单位扭转角： 或 d

19、 T = = (rad/m dx GIp d T 180 = = (°/m dx GI p GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度 截面的抗扭刚度。 截面的抗扭刚度 三、刚度条件 或 max max T = ' GI p (rad/m (°/m T 180 = ' GIp 称为许用单位扭转角。 37 根据机器要求、轴的工作条件确定。 可查手册。 精密机器轴： 一般传动轴： = （ 0.15 0.30 ）º/m = （ 0.30 .0 ）º/m 精度不高的轴： = （ .0 . ）º/m 刚度计算的三方面： 刚度计

20、算的三方面： 校核刚度： 设计截面尺寸： 计算许可载荷： max G T max GIp 38 Ip T m ax 有时，还可依据此条件进行选材。 例3长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图， 3 若杆的内外径之比为 =0.8 ，G=80GPa ，许用切应力 =30MPa，试设计杆的外径；若=2º/m ，试校核此杆的刚 度，并求右端面转角。 解：设计杆的外径 Tmax Wt 3 D（ 4） Wt = 1 16 16Tmax D 4 1 （ ） 39 1 3 16Tmax D 4 1 （ ） 代入数值得： D 0.0226m。 40Nm 1 3 T 由扭转刚度

21、条件校核刚度 max x Tmax 180 = × GI P 40 max Tmax 180 32 × 40 × 180 = × = = 1.89 o < GI P 80 × 10 9 × 2 D 4 (1 4 右端面转角为： = L 0 T dx = GI P 2 0 40 20 x 10 dx = (4 x x 2 GI P GI P T 40Nm 2 0 = 0 .033 (弧度） 41 x 例4 某传动轴设计要求转速n = 500 r / min，输入功率N1 = 500 马力， 输出功率分别 N2 = 200马力及 N

22、3 = 300马力，已知： G=80GPa ， =70M Pa，´=1º/m ，试确定： AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2 ？ 若全轴选同一直径，应为多少？ 主动轮与从动轮如何安排合理？ 解：图示状态下,扭矩如图 ，由强度条件得： T (kNm 7.024 4.21 A 500 B 400 x C N1 N2 N3 max N1 N3 TAB = 7.024 = 7.024(kN m TBC = 7.024 = 4.21(kN42 m n n Tmax = Wt T d 3 16TAB = 3 16 × 7024 = 80mm Wt = 1 3.14 &#

23、215; 70 × 106 16 d13 d2 3 16TBC 16 × 4210 = = 67.4mm 6 3.14 × 70 × 10 3 N1 由刚度条件得： A B 500 T (kNm 7.024 N2 N3 C max T = GI p (rad/m 400 x 4.21 43 T Ip = 32 G d 4 32 TAB 32 × 7024 ×180 4 d1 4 = = 84mm 2 9 G 3.14 × 80 ×10 ×1 32 TBC 32 × 4210 ×180

24、4 d 2 4 = = 74.4mm 2 9 G 3.14 × 80 ×10 ×1 综上： d1 = 85mm , d2 = 75mm d = d1 = 85mm 44 全轴选同一直径时 轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应 该换位。换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最大直径 为 75mm。 T (kNm 2.814 x 4.21 45 圆轴扭转的超静定问题 解决扭转超静定问题的方法步骤： 解决扭转超静定问题的方法步骤： 平衡方程； 平衡方程； 几何方程变形协调方程； 几何方程 变形协调方程； 变形协调方程 Tl 物理方程； 物理方程； = GI

25、 p 补充方程：由几何方程和物理方程得； 补充方程：由几何方程和物理方程得； 解由平衡方程和补充方程组成的方程组。 解由平衡方程和补充方程组成的方程组。 46 例5长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图， 5 若杆的内外径之比为 =0.8 ，外径 D=0.0226m ，G=80GPa， 试求固端反力偶。 解：杆的受力图如图示， 这是一次超静定问题。 平衡方程为： m A 2m + mB = 0 47 几何方程变形协调方程 BA = 0 综合物理方程与几何方程，得补充方程： BA 2m A 40 T 2 m A 20 x = =0 dx = 0 dx = GI P GI

26、 P GI P L 0 m A = 20 N m 由平衡方程和补充方程得： m B = 20 N m 另:此题可由对称性直接求得结果。 48 §46 非圆截面杆扭转简介 非圆截面等直杆： 非圆截面等直杆：平面假设不成立。即各截面发生翘曲成空 间曲面。因此，由等直圆杆扭转时推出的应力、变形公式不 适用，须由弹性力学方法求解。 49 一、自由扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲不受限制，任意两相 自由扭转 邻截面的翘曲程度完全相同。 (纵向纤维长度不变, 无 , 只有 纵向纤维长度不变, 约束扭转： 二、约束扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲受到限制，相邻截面 的翘曲程度不同。 产生 、 （ 三、

27、矩形杆横截面上的切应力: 矩形杆横截面上的切应力: 1. 切应力分布如图： （角点、形心、长短边中点） b max 1 注意！ h b 50 h T 2. 最大切应力及单位扭转角 T max max = Wt b 其中 : W = b2h t max 1 = h max 1 注意！ h b = T , GI t 其中 : I t = b 3 h It相当极惯性矩。 T 和 可查表求得。 对于狭长矩形 ( 即 : h 10 ; b 1 3 51 例8 一矩形截面等直钢杆，其横截面尺寸为：h = 100 mm， b=50mm，长度L=2m，杆的两端受扭转力偶 T=4000N·m 的 作用 ，钢的G =80GPa ，=100M Pa，=1º/m ，试校核 此杆的强度和刚度。 解：查表求 、 h 100 = = 2; b 50 = 0.246 ; = 0.229 校核强度 W = h b 2 = 0