曲面及其方程1

1、第三节 曲面及其方程教学目的掌握曲面方程、旋转曲面、柱面、二次曲面方程概念，了解空间常用二次曲面的标准方程，会用“截痕法”画出其简图教学重点曲面方程、旋转曲面、柱面、二次曲面方程教学难点空间想象能力和曲面图形的描绘教学过程一、问题的提出 在日常生活中，我们经常遇到各种曲面，例如反光镜的镜面、管道的外表面以及锥面等等。那这些曲面相应的方程是什么呢，怎样才能准确地画出准确的图形呢？二、曲面方程的概念（一）曲面方程的基本概念在一般情况下，如果曲面与三元方程 （1）有下述关系：（1） 曲面上任一点的坐标都满足方程（1）；（2） 不在曲面上的点的坐标都不满足方程（1）那么方程（1）就叫做曲面的方程，而曲

2、面就叫做方程（1）的图形。象在平面解析几何中把平面曲线当作动点轨迹一样，在空间解析几何中，我们常把曲面看作一个动点按照某个规律运动而成的轨迹。（二）建立几个常见的曲面方程例1 若球心在点，半径为，求该球面方程。解：设是球面上任一点，那么又 故 （2）这就是球面上的点的坐标所满足的方程，而不在球面上的点的坐标都不满足该方程，所以该方程就是以为球心，为半径的球面方程。如果球心在原点，那么，从而球面方程为将（2）式展开得所以，球面方程具有下列两个特点：（1） 它是之间的二次方程，且方程中缺项；（2） 的系数相同且不为零。（三）曲面研究的两个基本问题以上表明作为点的几何轨迹的曲面可以用它的点的坐标间的

3、方程来表示，反之，变量间的方程通常表示一个曲面。因此在空间解析几何中关于曲面的研究，有下面两个基本问题。（1） 已知一曲面作为点的几何轨迹时，建立曲面方程。（2） 已知坐标间的一个方程时，研究这方程所表示的曲面形状。例2 方程表示怎样的曲面？解：配方，得所以所给方程为球面，球心为，半径为。三、旋转曲面（一）旋转曲面的定义一条平面曲线绕该平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面。旋转曲线和定直线依次叫做旋转曲面的母线和轴。（二）旋转曲面的方程设在坐标面上有一条已知曲线，它的方程为，曲线绕轴旋转一周，得到一个以轴为轴的旋转曲面设为曲线上一点，则有 （3）当曲线绕轴旋转时，点随绕到另一点，这时，且点到轴

4、的距离为 将，代入（3）式，便得到 （4）这就是所求的旋转曲面的方程。由此可知，在曲线的方程中将改成便得曲线绕轴旋转所成的旋转曲面的方程。同理，曲线绕轴旋转所成的旋转曲面的方程为 （5） 例3 直线绕另一条与相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫做圆锥面。两直线的交点叫做圆锥面的顶点，两直线的夹角（）叫做圆锥面的半顶角。试建立顶点在原点，旋转轴为轴，半顶角为的圆锥面的方程（图6-24）。解：在坐标面上直线的方程为，因为旋转轴为轴，所以只要将方程中的改成，便得到这圆锥面的方程或 其中。例4 将坐标面上的双曲线分别绕轴和轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。解：绕轴旋转所生成的旋转曲面叫做旋转单叶双曲

5、面，它的方程为绕轴旋转所生成的旋转曲面叫做旋转双叶双曲面，它的方程为四、柱面（一） 柱面的定义设直线平行于某定直线并沿定曲线移动形成的轨迹。定曲线叫做柱面的准线，直线叫做柱面的母线。我们只讨论准线在坐标面上，而母线垂直于该坐标面的柱面。这种柱面方程有什么特点呢？ （二）柱面的分类一般地，如果方程中缺，即，它表示准线在坐标面上，母线平行于轴的柱面。方程分别表示母线平行于轴和轴的柱面方程。例如，方程，方程中缺，所以它表示母线平行于轴的柱面，它的准线是面上的抛物线，该柱面叫做抛物柱面例如，方程表示母线平行于轴的柱面，其准线是面上的直线，所以它是过轴的平面五、二次曲面（一）定义我们把三元二次方程所表示

6、的曲面称为二次曲面。（二）举例（1） 椭圆锥面 截痕法：通过综合截痕的变化来了解曲面形状的方法。以垂直于轴的平面截此曲面，当时得一点；当时，得平面上的椭圆当变化时，上式表示一族长短轴比例不变的椭圆，当从大到小变为0时，这族曲线从大到小并缩为一点。伸缩变形的方法：把空间图形伸缩变形形成新的曲面。曲面沿轴方向伸缩倍，曲面的点变为点，其中，因为点在曲面上，所以有，故。O例如将圆锥面的图形沿轴方向伸缩倍，则圆锥面即变成椭圆锥面。（2） 椭球面 把面上的椭圆绕轴旋转，所得的曲面方程为，该曲面称为旋转椭球面。再把旋转椭球面沿轴方向伸缩便得椭球面。（3）双曲面 单叶双曲面 双叶双曲面 把面上的双曲线绕轴旋转，得旋转单叶双曲面，把此旋转曲面沿轴方向伸缩倍，即得单叶双曲面，类似的方法可得双叶双曲面。 （4）抛物面 椭圆抛物面 双曲抛物面（马鞍面）把面上的的抛物线绕轴旋转，得旋转抛物面，把此旋转曲面沿轴方向伸缩，即得椭圆抛物面。我们用截痕法来讨论双曲抛物面的形状。用平面截此曲面，得截痕为平面上的抛物线此抛物线开口向下，其顶点坐标为。当变化时，的形状不变，只是